Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 96
Текст из файла (страница 96)
1Коды Maple-процедур591DS , TS , sg :=⎡⎢1⎢0⎢⎢⎢⎢0⎢0⎢⎢⎢⎢0⎢⎢⎢0⎢⎢⎣0010000000-10000000-10000000-100⎡⎢⎢⎢⎢⎢0 ⎤ ⎢⎢⎥ ⎢0 ⎥⎥ ⎢⎢⎥ ⎢0 ⎥⎥ ⎢⎢0 ⎥⎥, ⎢⎢⎥ ⎢0 ⎥⎥ ⎢⎢⎥ ⎢0 ⎥⎥ ⎢⎢⎥ ⎢0 ⎥⎦ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣00000-1022000000022000000220002000000002200000000000630> T:=TL.TS;# Вычисление матрицы "сквозного" перехода# к нормализирующему базису.⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢T := ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣22−22−22−22−2202222220200− 222022220−−220000220000000000> DS-Transpose(T).A.T;# Проверка.⎡0⎢⎢⎢⎢0⎢⎢0⎢⎢0⎢⎢⎢⎢0⎢⎢0⎢⎢⎣0000000000000000000000000000000000000⎤⎥0 ⎥⎥⎥0 ⎥⎥0 ⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥0 ⎥⎦−63−660−6666630⎤0 ⎥⎥⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥⎥⎥-1 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥⎥1 ⎥⎦⎤0 ⎥⎥⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥⎥, [ 2 , 4 ]0 ⎥⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥⎥1 ⎥⎦592Коды Maple-процедурПрил.
1> A1:=A: A1[1,1]:=1: evaln(A1)=A1;# Изменим один элемент в матрице А# и снова попытаемся применить процедуру Jacob.⎡1⎢⎢⎢⎢1⎢⎢0A1 = ⎢⎢1⎢⎢⎢⎢0⎢⎢1⎢⎢⎣0101111101001011100111011101011011010⎤⎥1 ⎥⎥⎥1 ⎥⎥1 ⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥1 ⎥⎥⎥0 ⎥⎦> Jacob(A1);Δ 1 = 1 Δ 2 = -1 Δ 3 = -1 Δ 4 = 1 Δ 5 = -2 Δ 6 = 1 Δ 7 = 0μ1 = 1 μ2 = -1 μ3 = 1 μ4 = -1 μ5 = -2 μ6 =⎡1⎢⎢⎢⎢0⎢⎢⎢0⎢T= , ⎢⎢0⎢⎢⎢⎢0⎢⎢⎢⎢0⎢0⎣t 1, 2t 1, 3t1, 4t1, 5t 1, 61t 2, 3t2, 4t2, 5t 2, 601t3, 4t3, 5t 3, 6001t4, 5t 4, 60001t 5, 60000100000-1μ =02 7t 1, 7⎤⎥t2, 7⎥⎥⎥⎥t3, 7⎥⎥⎥t4, 7⎥⎥⎥⎥t5, 7⎥⎥⎥t6, 7⎥⎥⎥1 ⎥⎦[ 1 , t 1, 2 + 1 , t 1, 3 + t 2, 3 , t 1, 4 + t 2 , 4 + 1 , t 1, 5 + t 2 , 5 + t 4, 5 , t 1 , 6 + t 2, 6 + 1 + t 4 , 6 ,t 1 , 7 + t 2, 7 + t 4 , 7 + t 6, 7 ][ 1 , t 1, 2 , t 1, 3 + 1 , t 1 , 4 + 1 + t 3 , 4 , t 1 , 5 + 1 + t 3 , 5 + t 4, 5 , t 1, 6 + 1 + t 3, 6 + t 4, 6 + t 5, 6 ,t 1 , 7 + 1 + t 3 , 7 + t 4, 7 + t 5, 7 + t 6, 7 ][ 0 , 1 , t 2, 3 , t 2, 4 , 1 + t 2 , 5 , t 2, 6 + t 5 , 6 , 1 + t 2, 7 + t 5 , 7 ][ 1 , t 1 , 2 + 1 , t 1, 3 + t 2 , 3 , t 1, 4 + t 2 , 4 , t 1, 5 + t 2, 5 + 1 , t 1, 6 + t 2, 6 + 1 + t 5, 6 ,t 1 , 7 + t 2, 7 + 1 + t 5 , 7 + t 6, 7 ][ 0 , 1 , 1 + t 2, 3 , 1 + t 2 , 4 + t 3, 4 , t 2, 5 + t 3 , 5 + t 4, 5 , 1 + t 2 , 6 + t 3, 6 + t 4 , 6 ,t 2 , 7 + t 3, 7 + t 4 , 7 + t 6, 7 ][ 1 , t 1 , 2 + 1 , t 1, 3 + t 2 , 3 , t 1, 4 + t 2 , 4 + 1 , t 1, 5 + t 2 , 5 + 1 + t 4, 5 , t 1, 6 + t 2 , 6 + t 4, 6 + t 5 , 6, t 1 , 7 + t 2, 7 + 1 + t 4 , 7 + t 5, 7 ][ 0 , 1 , 1 + t 2, 3 , 1 + t 2 , 4 + t 3, 4 , t 2, 5 + t 3 , 5 + t 4, 5 , 1 + t 2 , 6 + t 3, 6 + t 4 , 6 ,t 2 , 7 + t 3, 7 + t 4 , 7 + t 6 , 7 ]Прил.
1Коды Maple-процедур593{ t1, 2 + 1 = 0 , t 1, 3 + t 2, 3 = 0 , t 1, 4 + t 2, 4 + 1 = 0 , t 1, 5 + t 2, 5 + t 4, 5 = 0 ,t 1, 6 + t 2 , 6 + 1 + t 4 , 6 = 0 , t 1 , 7 + t 2 , 7 + t 4 , 7 + t 6 , 7 = 0 , t 1, 3 + 1 = 0 , t 1 , 4 + 1 + t 3 , 4 = 0 ,t 1, 5 + 1 + t 3 , 5 + t 4 , 5 = 0 , t 1 , 6 + 1 + t 3 , 6 + t 4 , 6 + t 5 , 6 = 0 ,t 1, 7 + 1 + t 3 , 7 + t 4 , 7 + t 5 , 7 + t 6, 7 = 0 , t 2 , 4 = 0 , 1 + t 2 , 5 = 0 , t 2, 6 + t 5 , 6 = 0 ,1 + t2, 7 + t 5, 7 = 0 , t 1, 5 + t2, 5 + 1 = 0 , t1, 6 + t 2, 6 + 1 + t5, 6 = 0 ,t1, 7 + t 2, 7 + 1 + t5, 7 + t 6, 7 = 0 , 1 + t 2, 6 + t3, 6 + t 4, 6 = 0 , t 2, 7 + t 3, 7 + t4, 7 + t 6, 7 = 0 ,t1, 7 + t 2, 7 + 1 + t4, 7 + t 5, 7 = 0 }11{ t2, 4 = 0 , t6, 7 = 0 , t5, 7 = -1 , t5, 6 = , t4, 7 = 0 , t4, 6 = , t4, 5 = 1 , t3, 7 = 0 , t3, 4 = 0 , t2, 7 = 0 ,22-1t2, 6 = , t2, 5 = -1 , t2, 3 = 1 , t1, 7 = 0 , t1, 6 = -1 , t1, 4 = -1 , t1, 3 = -1 , t1, 2 = -1 , t1, 5 = 0 ,2t3, 5 = -2 , t3, 6 = -1 }⎡⎢1⎢0⎢⎢⎢⎢0⎢⎢0⎢⎢⎢0⎢⎢⎢⎢0⎢⎢⎢0⎣0-100000100000-100000-20000000000000-1201⎢⎢⎡0⎤ ⎢⎥ 00 ⎥⎥ ⎢⎢⎥ ⎢0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0⎢0 ⎥⎥ ⎢⎢⎥, ⎢ 00 ⎥⎥ ⎢⎢⎥⎥ ⎢⎢0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0⎥⎥ ⎢⎢0 ⎥⎦ ⎢⎢ 0⎢0⎣-1-1-10110-1010-20011000100000000> # Для матрицы А1 с помощью алгоритма Якоби# получен диагональный вид# и вычислена матрица перехода.-1-12-11212100⎤⎥⎥0 ⎥⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥⎥⎥-1 ⎥⎥⎥⎥0 ⎥⎥⎥1 ⎥⎦Приложение 2ИллюстрацииA⋅BA⋅BA⋅BA⋅BIРис.
1.1 (к п. 1.7). Разделительная сумма двух множеств:A ⊕ B = A⋅ B + A⋅ B .A ⋅B ⋅CA ⋅B ⋅CA ⋅B ⋅CA ⋅B ⋅CA ⋅B⋅CA ⋅B ⋅CA ⋅B⋅CA ⋅B ⋅CIРис. 1.2 (к п. 1.7). Разделительная сумма трех множеств:A ⊕ B ⊕ C = A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅ C .Прил. 2Иллюстрации595YXf -1(f (A))f (X)fAf (A)Рис. 14.1 (к замечанию 14.1). Прообраз образа подмножества:f −1( f ( A)) ⊇ A; A ⊆ X .YXf (X)f -1(B)ff (f -1(B))BРис. 14.2 (к замечанию 14.1).
Образ прообраза подмножества:f ( f −1( B)) ⊆ B; B ⊆ Y .596ИллюстрацииyПрил. 2x+NMxϕ (x)u00NϕVWРис. 15.1 (к теореме 15.1). Послойное действие линейного оператора:ϕ :V → W ; N = Ker(ϕ ); M = Im(ϕ ).N′v+NMxvϕ (v)u00NVϕWРис. 15.2 (к теореме 15.2). Сужение линейного операторана прямое дополнение к ядру:ϕ :V → W ; N = Ker(ϕ ); N ′ ≤ V ; V = N ⊕ N ′;≅→M.M = Im(ϕ ); ϕ ′ = ϕ |N ′: N ′ ⎯⎯Приложение 3Столбчатые диаграммыДиагр. 25.1. Жорданов базис в стабильном ядре линейного эндоморфизма (столбчатая диаграмма D 0 )•↓•↓•↓#↓•↓•↓•"•"↓••"↓•↓•"↓#↓•↓#↓•"↓•↓•"↓•↓•↓0↓0↓0q (l ) стбp (l ) вект.p (l −1) вект."•"↓••"↓#↓•↓#↓•"↓•↓•"↓•↓•↓0↓0q (l −1) стб"•"↓#↓•"↓•"↓•p (l −2) вект.%"•"↓•"↓•↓0q (l −2) стб#"•"↓••"↓•↓•↓0↓0↓0"q (3) стбp (3) вект."•"↓••↓0↓0q (2) стбp (2) вект."•p (1) вект.↓0q (1) стбd (l ) вект.Диагр. 25.2.
Нильпотентная жорданова матрица J 0J l (0)%J l (0)J l −1 (0)%J l −1 (0)J l −2 (0)%J l −2 (0)%J 3 (0)%J 3 (0)J 2 (0)%J 2 (0)0%0Пояснения к диагр. 25.1 и 25.2Точки в ячейках диагр. 25.1 изображают базисные векторы в стабильном ядре N (l ) линейного эндоморфизма ϕ( l − показатель стабилизации). Стрелки изображают действие ϕ . Общее количество векторов равно стабильному дефекту d (l ) . Общее число строк диаграммы 25.1 равно l . Каждая строка (с номером k = 1,..., l ; нумерация − снизу вверх)изображает базис в прямом дополнении C (k ) к предыдущему итерированному ядру N (k −1) в итерированном ядре N (k ) ;размерность этого прямого дополнения равна приращению p(k ) итерированных дефектов.Общее число столбцов равно первому дефекту d (1) = p (1) . Зоны диагр. 25.1 содержат столбцы одинаковой высоты;длина k -й зоны (нумерация – справа налево) равна абсолютному второму приращению q(k ) итерированных дефектов(любая из этих длин, кроме q(l ) , может обращаться в нуль). Сквозная нумерация столбцов производится слева направо;длина столбца с номером j обозначается k j .
Каждый такой столбец изображает базис в некотором ( k j -мерном)циклическом подпространстве Z j . В этом базисе сужению л.э. ϕ на Z j отвечает матрица J k j (0) − нильпотентныйжорданов ящик размера k j × k j .Диагр. 25.2 представляет собой схему строения блочно-диагональной матрицы J 0 , отвечающей сужению ϕ наN (l ) (в жордановом базисе, представленном на диагр. 25.1). Общий размер этой матрицы равен d (l ) × d (l ) ."Малые" блоки являются нильпотентными жордановыми ящиками, отвечающими столбцам диагр.
25.1. Общееколичество "малых" блоков (ящиков) равно первому дефекту d (1) = p(1) . Максимальный размер ящиков равен l × l ;количество ящиков такого размера равно q(l ) > 0 ; при k = 1,..., l − 1 количество ящиков размера k × k равно q(k ) ≥ 0 ."Малые" блоки одинакового размера сгруппированы в "средние" блоки, отвечающие зонам диагр. 25.1.
Размеры"средних" блоков равны (k ⋅ q (k ) ) × (k ⋅ q(k ) ) ( k = l ,...,1 , вниз по диагонали); при k ≤ l − 1 некоторые из них могутотсутствовать. Каждый "средний" блок содержит q(k ) "малых" блоков размера k × k . Если q(1) > 0 , то в правом нижнемуглу присутствует чисто нулевой "средний" блок размера q(1) × q(1) .Диагр. 26.1. Жорданов базис в корневом подпространстве U i = Qλ (ϕ ) (столбчатая диаграмма Di )i•↓•↓•↓#↓•↓•↓•"•"↓••"↓•↓•"↓#↓•↓#↓•"↓•↓•"↓•↓•↓0↓0↓0qi(li ) стбpi(li ) вект."•"↓••"↓#↓•↓#↓•"↓•↓•"↓•↓•↓0↓0qi(li −1) стбpi(li −1) вект."•"↓#↓•"↓•"↓•pi(li −2) вект.%"•"↓•"↓•↓0qi(li −2) стб#"•"↓••"↓•↓•↓0↓0↓0"qi(3)стб"•"↓••↓0↓0qi( 2)стб"•pi(3)вект.pi(2)вект.pi(1)вект.miвект.↓0qi(1)стбДиагр. 26.2.
"Большой" жорданов блок J i , отвечающий сужению л.э. на корневое подпространство U i = Qλi (ϕ )J li (λi )%J li (λi )J li −1 (λi )%J li −1 (λi )%J 3 (λi )%J 3 (λi )J 2 (λi )%J 2 (λi )λi%λiПояснения к диагр. 26.1 и 26.2Точки в ячейках диагр. 26.1 изображают базисные векторы в корневом подпространстве U i = Qλi (ϕ ) л.э.
ϕ , т.е. встабильном ядре N ili л.э. ψ i = ϕ − λiε ( li – показатель стабилизации для ψ i ; стрелки изображают действие ψ i ). Общееколичество векторов равно алгебраической кратности mi собственного значения λi . Общее число строк диаграммы 26.1равно li . Каждая строка (с номером k = 1,..., li ; нумерация − снизу вверх) изображает базис в прямом дополнении Ci (k ) кпредыдущему итерированному ядру Ni ( k −1) в итерированном ядре Ni (k ) ; размерность этого прямого дополнения равнаприращению pi (k ) итерированных дефектов.Общее число столбцов равно первому дефекту di (1) = pi (1) , или, что то же, − геометрической кратности ni собственного значения λi . Зоны диагр. 26.1 содержат столбцы одинаковой высоты; длина k -й зоны (нумерация − справа(l )налево) равна абсолютному второму приращению qi (k ) итерированных дефектов (любая из этих длин, кроме qi i , можетобращаться в нуль). Каждый столбец (высоты k ) диаграммы изображает базис в некотором циклическомподпространстве (для л.э.
ψ i ). В этом базисе сужению л.э. ϕ отвечает матрица J k (λi ) − жорданов ящик размера k × k .Диагр. 26.2 представляет собой схему строения блочно-диагональной матрицы J i , отвечающей сужению ϕ на U i(в жордановом базисе, представленном на диагр. 26.1). Общий размер этой матрицы равен mi × mi ."Малые" блоки являются жордановыми ящиками, отвечающими столбцам диагр. 26.1. Общее количество "малых"блоков (ящиков) равно геометрической кратности ni . Максимальный размер ящиков равен li × li ; количество ящиков(l )такого размера равно qi i > 0 ; при k = 1,..., li − 1 количество ящиков размера k × k равно qi (k ) ≥ 0 .
"Малые" блоки одинакового размера сгруппированы в "средние" блоки, отвечающие зонам диагр. 26.1. Размеры "средних" блоков равны(k ⋅ qi (k ) ) × (k ⋅ qi (k ) ) ( k = li ,...,1 , вниз по диагонали); при k ≤ li − 1 некоторые из них могут отсутствовать. Каждый "средний" блок содержит qi (k ) "малых" блоков размера k × k . Если qi (1) > 0 , то в правом нижнем углу присутствует диагональный "средний" блок размера qi (1) × qi (1) .Диагр.
27.1. Жорданова матрица J ′ , отвечающая сужению л.э. ϕ на корневую сумму U ′ = Q(ϕ )J1J2%JsПояснения к диагр. 27.1Матрица J′ размера m′ × m′ , где m′ − сумма алгебраических кратностей собственных значений; отвечаетсужению л.э. ϕ на корневую сумму U ′ = Q(ϕ ) , т. е. (прямую) сумму всех корневых подпространств U i = Qλi (ϕ ) .Диагональные (mi × mi ) -блоки J i , соответствующие сужениям ϕ на U i , представлены на диагр.
26.2.Диагр. 28.1 (к демонстрационному примеру п. 28.3). Жорданов базисв корневом подпространстве U 2 = Qλ2 (ϕ ) (столбчатая диаграмма D2 )p2(4) = 1 вект.g5↓p2(3) = 1 вект.g4↓p2( 2) = 2 вект.g3g7↓↓g2g6g8↓↓↓000q2(4) = 1 стб.q2(2) = 1 стб.q2(1) = 1 стб.p2(1) = 3 вект.m2 = 7 вект.Пояснения к диагр. 28.1Столбчатая диаграмма содержит m2 = 7 векторов, составляющих базис в корневом подпространстве U 2 = Q−2 (ϕ ) ;три вектора нижней строки составляют базис в собственном подпространстве W2 = S−2 (ϕ ) .
Стрелки изображаютдействие л.э. ψ 2 = ϕ − λ2ε = ϕ + 2ε . Показатель стабилизации l2 = 4 задает высоту наивысшего столбца. В наличиичетыре зоны по высоте столбцов: одна из них (третья справа) пуста, остальные имеют единичную длину.Приложение 4Содержание [A1 ] — первой части курсаПредисловиеГлава 1. Системы линейных уравнений и алгебра матриц§ 1. Системы линейных уравнений и их решения. Матрицы и действия над ними§ 2. Законы матричной алгебры§ 3. Свойства решений систем линейных уравнений§ 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
