VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 125
Текст из файла (страница 125)
65 Поскольку и близко к ко и мы рассматриваем область вблизи максимума, то 1г' 1г+Ь и знаменатель написанного выражения можно заменить на 2й. В числителе же раскрываем скобки и получаем -21гЬ вЂ” Ь = (-21гоЬ вЂ” Ь ) — 29Ь = -2»15 . Таким образам ~й' — й-Ь! „=- —. йг 1г Далее, вводим м согласно 1г' = (1г + Ь) (1 — — ) + и цЬ' '1 й) и, выбрав ось я вдоль направления 1г + Ь, сводим задачу к вычислению интеграла (ср.
вывод формулы (124.19И (' йг "-."- Г- ( — --) "' = ,, в1п (»15~2/2й) пм пну ~ е »15з/2й Наконец, воспользовавшись формулой (12438), получим окончательно: 2х~ / е 1 з з /' ет (65 7/2й) й» 1,тсз) .I (»15з/2й)з При»1 — г 0 зта формула переходит в (124.19), Если же »15~У/2й >> 1 (что не противоречит условию ц « 1), то квадрат синуса заменяется его средним значением 1/2 и получается где л' — площадь проекции (»тени») тела на плоскость лу, 633 1 125 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ИН'ГЕНСИВНОСТЬ 3 125. Интегральная интенсивность Формулы, полученные в предыдущем параграфе, определя- ют интенсивность дифракции при падении ва кристалл строго монохроматической и строго плоской волны. Рассмотрим теперь ряд случаев, в которых эти условия не выполнены.
Начнем со случая, когда падающая волна является плоской, но не монохроматической ). Другими словами, ее спектральное разложение содержит волны с волновыми векторами 1с, одина- ковыми по направлениям, во различными по величине й = аг/с. Обозначим через р(й) плотность распрсделевия интенсивности падающего излучения по частотам, нормированную на единицу условием ) р(й) Г1й = 1. Полная интенсивность дифракционвого пятна определяется сечением, получающимся интегрированием выражения (124.13) по с1о' и по р(й) ~й: сг= — ( ',) ~пь|~о / е й" " ")'Г1Ъ' (1+освод)р(й)до'Г1й.
(125.1) Введем временно обозначение К = )с' — к — Ь и напишем квадрат модуля в виде двойного ивтсграла; 2 -Гкг,1~, О К1гг — г,),11,,1~, Введя вместо г1 и г2 переменные (1/2)(г1+ г2) и г = г2 — гг и произведя интегрирование по первым по объему тела, получим егкг Д, ~ 1, ~ егкг Д,т В оставшемся интеграле можно теперь производить ивтсгриро- вавие по всем переменным в бесконечных пределах 2), в резуль- тате чего находим 2 ~* егкг ~ДГ~ (2х)з)У5(К) (125 2) Подставив этот результат в формулу (125.1), переписываем последнюю в виде 2 и = 4х~ ( ) ~пь!~1г(1+ сов2 до) О б()с' — )с — Ь)Р(й) до'дй; (125.3) ') Этот случай соответствует известному методу Лауэ рснтгеноструктурного анализа кристаллов. г1 ) Это можно сделать постольку, поскольку мы имеем целью вычислить лишь полную интенсивность днфракцнонного пятна, а не его ширину. б34 ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ ГЛ.
ХУ! ввиду наличия б-функции в подывтегральном выражении мы вынесли множитель 1+сов д, заменив его значением при д = де, 2 где де — угол между векторами )с и )с', удовлетворяющими условиям Лауэ (обозначим их как )сс и )се — — )се + Ь). Интегрирование по с)о' удобно произвести, заметив, что оно эквивалентно интегрированию по г1зй' — Ж!2 щ) (1 ) — 1)с| 4)с)2) с1 ' 2 при условии введения в подывтегральнос выражение дополнительного множителя (2/й)Б(й'2 — е2). Таким образом, интеграл в (125.3) заменяется на з г — о11с' — 1с — Ь) б 1(с'~ — е~) Р(к) г)з)с' (Дс „) Й Произведя интегрирование по г12й' с помощью первой б-функции, мы должны заменить во второй (с на 1)с+Ь), в результате чего )2 2 получаем 2 =(г )'('.) ( ~(!Р(1~ "о)) -г(гы~о)г(г)гг: 1125.4) Наконец, произведем последнее интегрирование по Ю (при заданном направлении и = )с,))с).
Аргумент 5-функции обращается в нуль при )с = йе, и интеграл равен РПо) 1 Р(ко) Рйо) 2йо (Ьп! 2~Ысо~ Ьг Таким образом, получаем окончательно: 2 п = 12х) ( ) (НЬ| у'11+ сов дс) . (125.5) Рассмотрим теперь другой случай, в котором падающая волна монохроматична, но содержит компоненты с различными направлениями )с, получающимися друг из друга вращением вокруг некоторой оси 1).
Единичный вектор вдоль направления последней обозначим через 1, а угол поворота вокруг нее через ф. Пусть функция Рф) дает распределение интенсивности падающего излучения по углам, нормированное на единицу: 2Х ~ИФ) Ф =1 О ') Этот случай соответствует известному методу Брзгга (или меп)оду вращения) рентгеноструктурного анализа, причем фактически речь идет не о повороте направления к, а о вращении самого кристалла вокруг оси 1. 635 1 125 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ИН'ГЕНСИВНОСТЬ Все вычисления, приведшие к формуле (125.4), полностью относятся и к атому случаю, с той лишь разницей, что интегри- рование по р(й) с(й надо заменить интегрированием по р(гр) (1гр: 2 — ) ( — ',) ( ь(1(1ь 'е ))(11(гьььь')ь(Е)гь, (125.6) Снова обозначим через )се значение )Г, для которого обращается в нуль аргумент б-функции, и будем отсчитывать ф от плоскости 1, 1со. Для малых ф имеем )Г = 1са + [1)го)гр'.
Тогда интеграл в (125.6) принимает вид Г 1 5(2Ь[1)с )~) (~) 1 ) р(0) р(0) 2р(0) сйн (де((2) й 2й[Ь(Псе)[ 2йг[Ь(1по)) Ьг[Ь(1пеП Таким образом, о. = ( ) [ — ') Нйп — ' (1+ сов2до)[пь[~Ъ' Р . (125.7) Ьг тег 2 [Ь(1пе)[' Наконец, рассмотрим дифракцию монохроматической плос- кой волны от тела, представляющего собой совокупность хаоти- чески ориентированных кристалликов 11 Обозначим через )г~~ и Ье векторы )с' и Ь, направлснныс так, чтобы удовлетворялось условие Лауз )с~с —— )Г+ Ьо. Направления )с~~ и Ье неоднозначны, так как условие Лауз, разумеется, про- 1 должает выполняться при любом повороте треугольника )ГЬ0)со вокруг направления )с.
Таким образом, главному максимуму от- вечают направления )Г', заполняющие коническую поверхность с углом 2до при вершине; вместо дифракционного пятна мы будем иметь теперь дифракционное кольцо. Искомое полное сечение определится формулой, отличаю- щейся от (125.4) лишь заменой интегрирования по р(й) ГЬй усред- нением по направлениям Ь; 2 =(г )у('* ) (,('(11-"е))' 11(гьь-,-ь)'— " (1гбг) (с)оь злемснт телесного угла в направлении Ь).
Обозначив угол между )с и Ь через Гг, запишем интеграл в (125.8) в виде й — б(2Ьй сов сг + Ь ) = = — в)п 4г( 4Ьйг Ьг 2 ') Этот случай соответствует рентгеноструктурному методу пороговое (метод Дебая-Шерреро). бЗб ДИФРАКЦИЯ РЕИТГЕИОЕЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ ГЛ. ХУ! Таким образом, г Х2 о. = (2Х)з ( — ') ~пь|2 — (1+ сое2 до) е1п — '. (125.9) Каждый из трех рассмотренных случаев соответствует определенному способу усреднения дифракционной картины.
Отметим, что зависимость полной усредненной интенсивности дифракции от объема тела сводится при этом, как и следовало ожидать, к простой пропорциональности. Напомним, что в неусредненной картине зависимость интенсивности и ее распределения по пятну от объема более резкая. й 126.
Диффузное тепловое рассеяние рентгеновых лучей В двух предыдущих параграфах мы понимали под п(л, у, е) электронную плотность в кристалле, усредненную по времени. Тем самым из нее выпадали вызываемые различными причинами колебания плотности, а с ними и соответствующая (некогерентная) часть рассеяния рентгеновых лучей. Одним из источников некогерентного рассеяния являются тепловые флуктуации плотности.
Это рассеяние диффузно распределено по всем направлениям, но его характерной особенностью является сравнительно болыпая интенсивность вблизи направлений, соответствующих резким линиям структурного рассеяния, рассмотренного в предыдущих параграфах. Мы рассмотрим теперь именно эти максимумы теплового рассеяния (К.Н. ЯЕСЬагтаееп, 1940). Тепловые колебания кристаллической решетки будем представлять разложенными на отдельные звуковые волны. Как будет видно из дальнейшего, в создании интересующих нас максимумов теплового рассеяния участвуют волны с большими (по сравнению с постоянной решетки) длинами.
Вызываемое такой волной изменение электронной плотности можно рассматривать в каждой точке пространства как результат простого сдвига решетки на величину, равную местному значению вектора смещения н в волне. Таким образом, изменение плотности (не усредненной по времени!) при прохождении заданной звуковой волны можно выразить через среднюю плотность с помощью соотношения бп = п(г — н) — п(г) = — и —. дл дг Рассматривая диффузное рассеяние вблизи определенной линии, надо заменить и2 на пье'ьг с заданным Ь, так что дп = — г(Ьп)пье'ь'. (126.1) 1 128 Ли геээнов твпловов гАссвянив гвнтгввовых лэчвй 637 Рассеяние на флуктуациях плотности, разумеется, некогерснтно с рассеянием на средней плотности и потому нс интерферирует с ним. Поэтому сечение диффузного рассеяния можно найти по формуле (124.10), подставив в нее бп вместо п и произведя затем статистическое усреднение по флуктуациям; г 2 21, 11п = — ( — ',) ~пь(~(1+ соэ219) ( / (пЬ)е *к'1Л~~ ) гало', (126.2) где введено обозначение К = 1г' — 1г — Ь.
Интенсивность рассеяния велика в тех направлениях, для которых вектор К мал (К « 6). Интеграл 1 пе згс' ЫР выделяет из и пространственную компоненту Фурье с волновым вектором К; поэтому мы можем понимать под и просто вектор смещения в звуковой волне с этим волновым вектором. Неравенство К « й означает, следовательно, что длина рассеивающей звуковой волны велика по сравнению с размерами элементарной ячейки кристалла. Таким образом, имеем (126.3) 2 так что ) (Ьп)е * '1Л' = -'г"Ьпо и сечение г2 йт = — ( ) )пь)~(1+сов219)Ьгбь(иогиоь)Ъ~11о'. (126.4) 8 ~тсг Усреднение произведений компонент пб производится аналогично тому,как это было сделано в 8 123 для звуковой волны в изотропном теле. Упругая энергия единицы объема деформированного кристалла дается выражением 2 -Лни ин а1 где ибь тензор деформации, а Лсн тензор модулей упругости (см.
УП, 8 10). Поэтому средняя упругая энергия всего кристалла равна 1 2 - 'гбь1 (ин а1 ). Подставим сюда и;Ь = — ( "* + "") = — Ке ~(гКЬиб; + г.К;ибЬ)еб 2 хдяг дя,/ 2 Члены с множителями е 21к' при усреднении обращаются в нУль. УчитываЯ также свойства симметРии тензоРа Лбыт (сим- 638 ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ Н КРИСТАЛЛАХ ГЛ. ХУ! метрия по индексам гк и 1т и по перестановке пары з)с с па- рой 1т), получим Ъ' Ъ' — Л,Ы~КАКГп(ио1по1) = — Дц,(ио1иеь)., где введено обозначение 81А = Лпь,пК1К,п (126.5) Согласно общей теории термодинамических флуктуаций, можно теперь сразу написать для искомых средних значений ) (иоеивь) = — д,ь (126.6) (д;~~ тензор, обратный тензору 81ь), а для сечения рассеяния окончательно имеем е дп = — (,) ТЪ')пь|~(1+ сов2 19)Ь,Ььд,„~ до'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
