IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 130
Текст из файла (страница 130)
В то время, однако, 709 1 142 МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ как для электронных систем эти моменты могут быть, в принципе, вычислены по волновым функциям (как матричные элементы соответствующих операторов), в электродинамике адронов они выступают как феноменологические величины, значения которых находятся из опыта. Нормировка этих величин в (142.7) — (142.9) выбрана в соответствии с их определением в ~ 46. В этом можно убедиться, рассматривая токи (142.7) †(142.9) как компоненты Фурье тока перехода в координатном представлении.
Так, разложив множитель е дь-" в интеграле ру,(14) = ру,(г)е '"'<1 т, (142.10) с помошью формулы (46.3), получим рр (е) =д 12 д2 )1 рр4 )У,' ('-)д(/Ц )д,' 1, пр Оставив здесь член с наименьшим 1, для которого интеграл отли- чен от пуля, и заменив функцию 91(~14~с) при ~1с~г << 1 ее первым членом разложения (46.5), мы вернемся к формуле (142.9), при- чем ВН=уГ" 1 "рр4)У.Ядре (142.11) Мдд = — еъд4ле*Л7,.
(142.12) Если в начальном и конечном состояниях ядро обладает определенным значением проекции момента (М; н М7), то в сумме по кв в (142.7) — (142.9) остается лишь по одному члену". Нт = М,— — Мд. Поскольку согласно (16.23) произведения Ъ'„,е~ )* или л* Ъ " е1А1 (Л = ~1 спиральность фотона, РР0 3 и) пропорциональны РА, мы возвращаемся к формулам, рассмотренным в з 48. в соответствии с определением (46.7). Покажем также, что при применении к испусканию реального фотона полученные формулы приводят к уже известным нам результатам.
Амплитуда перехода с испусканием фотона с импульсом 14 = = О2п и полЯРизаЦией е = (Ор е): 710 гл, хгк ЭЛЬКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ Ру;(1с) = — — 1с ( ру;(т)т Й ак 6 Сравнив с (142.14), найдем сбю — Р7 Я" 6 ./ (142.15) Сходство этой величины с квадрупольным моментом очевидно. ) Множитель 2хб в этой формуле вместо 12я)эбьи в (64.11) связан с тем. что при пренебрежении отдачей ядра импульс не сохраняется, так что остается лишь сохранение энергии. Дифференциальная вероятность излучения ') с1пз = 2яд~оз — (Е, — Е7ДМ7Д2 (1423 3) 2ш(2я) э (Еб Еу начальная и конечная энергия ядра).
Полная вероятность получится су.ммированием по поляризациям и интегрированием по с1зк. Подставив (142.7) или (142.9) в (142.12) и затем в (142.13) и произведя указанные действия, мы вернемся к формуле (46.9) (или (47.2)). Формулы (142.7) .(142.9) включают в себя все случаи, которые могут иметь место для испускания реального фотона. Для виртуальных же фотонов возможен еще и другой случай, не описываемый этими формулами (т7. Н. Е'оа1сг, 1930). Если спины и четности начального и конечного состояний ядра одгпсаковы, то из нх волновых амплитуд можно составить скаляр Яе, а с его помощью ток перехода вида Ру~ = сбо1с ~ Дуг = сбо«'1с. (142.14) Величину Щ называют монопольным (ЕО) моментом перехода.
Для испускания реального фотона соответствующая амплитуда перехода обращается в нуль (так как е*1с = 0). Монопольный ток, однако, может быть источником переходов, связанных с испусканием виртуального фотона. Более того, он является единственным таким источником при В1 = В2 = О,. когда все мультипольные моменты равны нулю. По своей зависимости от ю и 1с монопольный ток (142.14) аналогичен электрическому квадрупольному. Соответственно и момент Яо представляет собой величину того же порядка, что и квадрупольный момент. 14 этому заключению можно прийти также и путем истолкования (142.14) как компоненты Фурье тока в координатном представлении.
Разложив в (142.10) множитель е ' ' по степеням 1сг и положив функцию ру, (г) сфсрическисимметричной, получим 711 з 142 МУЛЬТНПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ Задачи 1. Найти вероятность ионизации атома из К-оболочки за счет энергии возбуждения ядра м (так называемая внутренняя конверсия у-излучения) при ядерном Л41-переходе в пренебрежении энергией связи электрона в атоме и влиянием поля ядрана его волновые функции '). Р е ш е н и е.
Процесс описывается диаграммой )Ч рэ р1 где р~ и рэ относятся к неподвижному ядру в различных состояниях, а р = = (т, О) и р' = (т+м, р') — 4-импульсы начального и конечного электронов. Этой диаграмме отвечает амплитуда Мд = с~ — в(р')(у,70)и(р), 1э где 0 и ток перехода ядра.
После суммирования по конечным и усреднения по начальным поляризациям электрона получим (ч')' — ~Л11,~~ = е' (9э(уд,71,) -~4(удр)(Уу,р)) (использовано, что 7Н9 = 0 и поэтому Удр =,Уу,р'). Вероятность конверсии вычисляется как 4ш„„„, = 2~ф,(0)~ ( — 4п) где г)а — сеченио рассеяния, изображенного диаграммой (1) с р = (с, р), а ль - волновая функция атомного электрона; для К-электрона 'РСА(0)) = (Кот) /х. Множитель 2 учитывает два электрона в К-оболочке атома. Сечение 4п вычисляется как ,з ~ 4п = йг 6(е -Р м — е )~ЛХП( 2~р~2е'(2я)з (ср. примеч. на с. 710). Для ЛР1-переходов ток,7д надо взять из (142.9). Интегрирование г(ш„,„„ по 4Е' устраняет б-функцию, а ингегрирование по 4о' обращает квадрат ~Ъ'~„,~ ~в в 1. В результате вероятность конверсии окажется выраженной через квадрат ~11,"', ~ .
Но через эту же величину выражается согласно (46.9) ве( ) роятность ю спонтанного излучения фотона при толг же ядерном переходе. Окончательно получается 2 '"" = 2О(ло)~ — (1 4- — ) шэ Ю (это отношение называют коэффициентом конверсии). ') Это приближение требует малости заряда ядра и достаточно больших энергий возбуждения ш (в то же время 1/м предполагается большим по сравнению с размерами ядра). Фактически такое приближение малоудовлетворительно, и более точное вычисление требует учета кулонова гюля ядра. 712 гл, хш ЭЛЬКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ '2. То же для ядерного Е!-перехода.
Р е ш е н и е. Тем же способом с током перехода из (142.7),(142.8) получается " "" = 2О(ЯО) (> + — ) 3. То же для монопольного перехода ядра. Р е ш е н и е. С током перехода из (142.14) получается з> -.... = --'( -)зшз-'( + — '"') 'йМ' Поскольку л>онопольпое непускание фотона невозможно, исключить отсюда Це~ нельзя й 143. Неупругое рассеяние электронов адронами 4яе> л Му, = — (и;у„ие) 77, ,)> е (143.1) (такая амплитуда уже использовалась в задаче 1 к 8 142, где рассматривалась передача энергии электрону; аналогичную структуру имеет амплитуда в задаче о возбуждении ядер электронами) . Будем считать энергию начального электрона достаточно большой, чтобы в конечном состоянии могло образоваться большое число адронов.
Мы будем интересоваться так называемым и>зклюзив>гь>м сечением, отвечающим тому, что в конечном состоянии фиксируется только импульс электрона, а по всем адронным состояниям произведено суммирование. В 8 139 было рассмотрено упругое рассеяние электронов адронами. Аналогичным образоь> может быть поставлена задача о неупругом рассеянии.
Отличие состоит в том, что конечное адронное состояние будет теперь отвечать другому адрону или же совокупности адронов. Закон сохранения импульса (139.1) останется в силе, если под р~ь подразумевать 4-импульс конечного адрона или суммарный 4-импульс всей образовавшейся в процессе рассеяния совокупности адронов. Таким образом, теперь р'ь ф рзь у= М2, где М масса начального адрона.
С этим отличием процесс неупругого рассеяния описывается той же диаграммой (139.2). Нижнюю вершину этой диаграммы мы обозначим через,уу>з как это делалось в 8 138. Однако в отличие от (138.3) или (138.Г>) мы не будем выражать ток перехода через вершинный оператор и амплитуды состояний, чтобы не фиксировать заранее характер конечного адронного состояния. Теперь можно записать амплитуду рассеяния в аналогичном (139.3) виде 1 143 НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ АДРОНАМИ Такое дифференциальное сечение запишем, в соответствии с формулами 3 64, в виде 3» Г1о = Р' ~~ (2Я)46Г'111А + рр~ — р, — р',Иму,.~~. (143.2) 41(2Я)»2«', "у Инклюзивное сечение может зависеть лишь от трех кинематических инвариантов, которые могут быть определены путем измерений, про1лзводимых только над электронами.
Таких 14нвариантов существует три: 2 (, !)2 ( + )2 (143 3) и р А. Необходимость учета третьего инварианта связана с тем, ~г что в отличие от упругого рассеяния р А -- «масса» конечного ~2 адронного состояния - теперь не задана. Вместо р'А удобно, однако, пользоваться инвариантом (143.4) " = ЧР1О Связь между и и р ь следует из равенства рь — — ра + д: ~2 / р'~, —— М + 2+ 2и. (143. 5) Если начальный адрон стабилен (например, протон), то энергия покоя конечного состояния больше чем М, т, е, р А » М, и из р2 (143.5) следует (ввиду того, что 2 ( 0): и > )1)/2 (143.
6) (знак равенства отвечает упругому рассеянию). Кинематические инварианты можно выразить через энергии электрона в начальном и конечном состояниях е«и е', и угол рассеяния О. Ниже будем считать электрон ультрарелятивистским (е, » т, е', » т) и пренебрегать его массой. Тогда в системе покоя начального адрона (лабораторная система) получим 2 = — 4е«е',ЕГП (О/2), и = М(е, — е',),  — М2 = 2МЕ.
(143.7) Подставив (143.1) в (143.2) и выполнив обычным образом суммирование по поляризациям электронов, получим сечение рассеяния неполяризованных электронов. ЗВ11ишее1 его в виде 43 (143.8) (22)» (2я)». ЗЛЗ« е~ или (143.9) 714 гл. хтм ЭЛЬКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ где тори — 4Редреи 2птеиЧи + РеиЧД) + Ч влит (143.10) Ие"' = ~~) (2тт)~бИ)(р~~ — РА — Ч)Я~.Я/,'. (143.11) / Тензор И~"", конечно, существенно зависит от свойств адронных токов, и мы можем в общем случае только поставить задачу о его феноменологической структуре, аналогичную задаче о формфакторах адронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
