IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Аналогичным образом и-й член ряда может быть представлен в виде М~, ) = М~,),Гги), где Гг Гг 2 Г ,71")(о) = ( — ) / сгСс псс)ю .. сг(грасс)иг (13717) с областью интегрирования ~г>с)г (г=1,2,...,п), ср>~и,г)и>0. Полная амплитуда рассеяния равна ~,=,'ф;Е '")~ )1 ( ) (137.18) гг=1 Для вычисления этой суммы введем теперь вспомогательные функции Аси)(б, О), которые даются теми же интегралами (137.17), но с областями интегрирования б; > г)г (г = 1г 2, ..., гг), ( > (и > Ог с) > г)и, > О (137.20) г г г г г (137.14) Для установления общего вида членов этой суммы рассмотрим еще диаграмму третьего приближения (третий член ряда (137.14)).
Соответствующий ей интеграл можно привести к виду 688 лоимптотичвокик логммлы кнлнтовой элвктгодинлмики гл. хш (137.22) (137. 24) (137.26) (различные пределы интегрирования по С„и п„вместо одинако- вых в (137.18)). Очевидно, что Му; = Му, А(щ о), где Ю А(~ и) ~~~'А~ ~(~ й) А(е) 1 (137.21) п=о Из опРеДелениЯ фУнкЦий А(")(См О) виДно, что они УДовлет- воряют рскуррентным соотношениям: А(")(С, г1) = — / ггс1сЬ~1А~" Оф, п1), 2к / а просуммировав эти равенства по и (от 1 до оо), найдем инте- гральное уравнение, определяющее функцию А(с, и): А(С, О) = 1 + — / А(СМ гд)г18дг2ОМ 2я у гл > 'йы с > с1 > О, и > п1 > 0 Для дальнейшего будет достаточно рассмотреть функцию А(С, и) в области С > и.
Тогда уравнение (137.22) можно запи- сать в виде л А(С, г1) = 1+ — Аф, п1)681 Адм (137. 23) о ~ Дифференцируя зто равенство по я, имеем = — / Аф, О)Н~м дл 2к„/ а дифференцируя затем еще и по с, находим для А(с, г1) диффе- ренциальное уравнение д2 4 — — А = О. (137 25) днд4 2я Это уравнение должно быть решено с граничными ушювиями А(с, 0) =1, — =О, дп (=л непосредственно следующими из (137.23),(137.24). Решение можно получить с помощью преобразования Лапла- са по переменной С: А(см О) = — еж Я(р, г1) др., (137.27) с 1 137 двлжды ЛОГАРиФмичеокля Асимптотикл лмплиттды 689 где контур С в плоскости комплексного р --замкнутая кривая, охватывающая точку р = О. Подставив (137.27) в уравнение (137.25) и приравняв нулю подынтегральное выражение, получим р — = — Я, Я = 1р(р) ехр —, дЯ о оч дн 2п 2.гр где ~р(р) произвольная функция.
Первое из граничных условий (137.26) дает теперыр(р) = 17р+ 1л(р), где гр(р) аналитическая функция, пе имеющая особенностей внутри контура С. Второму же условию (137.26) можно удовлетворить, положив 1р(р) = = -2яр/сг; действительно, тогда дА1ГН / и — = — — 1 — ехр С ( р + — ) 11р = 0. дч 4=-Л 2кгб / Ыр 2нр) с Собрав полученные выражения и положив С = 77 = о, найдем А(сг, о ) = — — —" р — ехр [сг (р + — ") ~ с1р. 2к1 ап у др 2кр С Наконец, проинтегрировав по частям и воспользовавшись из- вестной формулой гло= — '.~ [-'( - )'ре С (11(в) = — г,71(г в) -- функция ьесселя мнимого аргумента), получим окончательно для амплитуды рассеяния (137.28) Сечение же рассеяния (на угол д = 7г) соответственно равно а1п (в7тД 1 1' к гпз / ве где йт1 1 — сечение в борновском приближении в ультрареляти- 60 вистском случае (см.
задачу 6, 8 81) ') . ' ) Дополнительныо ссылки па работы по дважды логарифмическим асимптотикам можно найти в обзорной статье: Горшков В. Г.ОУФН..-1973. —. Т. 110. — С. 45. ГЛАВА ХГЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ й 138. Электромагнитные формфакторы адронов До сих пор в этой книге речь шла о квантовой электродинамике частиц, не способных к сильным взаимодействиям, электронов, позитронов и мюонов. Существует также болыпое пило частиц, участвующих в сильных взаимодействиях; их называют ас«ромами ') .
Адронами являются, например, протоны и нейтроны, имеющие спин ',сз, л-мезоны со спином 0 и другие частицы. Адронами, разумеется, являются и атомные ядра, так как они состоят из протонов и нейтронов. Построение исчерпывающей электродинамики адронов в рамках существуюьцей теории невозможно. Ясно, что нельзя составить уравнений, определяющих электромагнитные взаимодействия адронов без учета значительно более интенсивных сильных взаимодействий. В частности, без у.чета последних нельзя установить и явный вид адронного тока, с помощью которого должны описываться взаимодействия в квантовой электродинамике.
В чтой ситуации адронный ток вводится как феноменологическая величина, структура которой устанавливается лишь исходя из общих кинематических требований, не связанных с какими- либо предположениями о динамике взаимодействий ') . Оператор же электромагнитного взаилюдействия будет иметь по-прежнему вид (138.1) е(,7А), где теперь ток обозначен прописной буквой,1 (в отличие от электронного тока у). Поскольку порядок величины этого взаимодействия задается тем же элементарным зарядом е, можно по- прежнему пользоваться методами теории возмущений а) . Установим вид тока перехода между двумя состояниями свободно движущегося адрона (не сопровождающегося каким-либо 1 ) От греческого слова «хадрось, означающего крупный, массивный. ) Вопросы юсектродинамики адронов, связанные с кварковой моделью, в этой книге не рассматриваются.
а) В этой главе е обозначает элементарный заряд Се ) О). элвктРОМАгнитныь' ФОРЫФАктОРы АДРОНОВ 691 1 138 превращением самого адрона). Этот ток входит в «треххвостку» Л (138.2) ) Напомним, что плоская волна записывается в виде 41 = е '"*. Норт/2е мнровке на одну частицу в еднннчном объеме отвечает (для частиц со спнном О) нормировка скаляра согласно и*и = 1; прн атом можно положить просто и = 1 (см. 8 10).
Мы определяем ниже ток перехода по отношению к амплитудам и1, н» в соответствии со способом обозначений, принятым в 8 64, Р» Р1 которая сама может входить как часть в какую-либо более сложную диаграмму (например, упругого рассеяния электрона на адроне). Штриховая линия в диаграмме (138.2) изображает виртуальный фотон; она не может отвечать реальному фотону., так ьак свободная частица не может поглотить (или испустить) такой фотон. При этом п~ = (ря — р1) ( О. Рассмотрим сначала адрон со спипом О. Пусть иг н ит --вол новые амплитуды начального и конечного состояний адрона, в которых он имеет 4-импульсы р1 и р2, для частицы со спином О эти амплитуды скаляры (или псевдоскаляры) ') .
Адронный ток перехода .711 между этими двумя состояниями должен быть билинеен по и1, и и1. Запишем его в виде гуг = и2Гиг, (138. 3) где 4-вектор Г неизвестный вершинный оператор (кружок на диаграмме (138.2)). Если положить иг = и2 = 1, то будет просто ,11, = Г. Универсальным свойством тока в электродинамике, связанным с калибровочной инвариантностью теории, яв.ляется его сохранение. В импульсном представлении оно выражается ортогональпостью тока перехода 4-импульсу фотона д = р2 — р1: 0,1,; =О. (138.4) В данном случае это значит, что оператор Г должен иметь вид Г = РР(0'), (138.5) где Р = р1 + ря, Р(0 ) скюгирная функция единственной инвариантной независимой переменной — квадрата д~.
Поскольку род адропа при переходе не меняется, то р1 — — р2 —— М (М-- масса адрона), и потому Рг1 = О. 692 эльктРОдннАмнкА АдРОнОВ Гл х!м Матричные элементы (138.3) с Г из (138.5) (а с ними и сам оператор 1) истинные 4-векторы. Поэтому оператор взаимодействия (138.1) истинный скаляр.
Таким образом, электромагнитное взаимодействие адронов со сонном 0 оказывается Р-инвариантным автоматически. Оно оказывается также и Т-иьи вариантным. Действительно, обращение времени, во-первых, переставляет начальный и конечный 4-импульсы; при этом сумма Р = р1+ ря не меняется. Во-вторых, обращение времени меняет знак пространственных компонент 4-импульсов, не меняя их временных компонент; но таким же образом преобразуются и компоненты 4-потенциала А, так что произведение ХА не меняется.
Инвариантную функцию Р(д~) называют злектролзагнитнььм дзормфакторолз адрона. В рамках феноменологической теории ее вид, разумеется, не может быть установлен. Можно, однако, утверждать, что эта фуякция вещественна (в рассматриваемой области г)з < 0). Это следует из тех же соображений, которые были применены в 3 116 к формфакторам электрона: при й < 0 во всяком случае отсутствуют промежуточные состояния, 2 которые могли бы фигурировать в правой стороне соотношения унитарности; поэтому матрица Ыу;, а с нею и 1г, оказываются эрмитовыми. При о = 0 начальное и конечное состояния совпадают, так что 11; становится диагональным матричным элементом. В частности, е(по)н/2е, = еР(0) есть плотность заряда, совпадающая (нормировка на одну частицу в единичном обьеые!) с полным зарядом частицы Уе.
Для электрически нейтральной частицы Р(0) = О. Подчеркнем, однако, что это отнюдь не означает еще истинной нейтральности частицы. Если частица истинно нейтральна и обладает определенной зарядовой четпостью, то Р(д~) = 0 при всех д~: так как оператор тока зарядово-нечетен (см. )) 13), его матричные элементы между двумя состояниями одного и того же адрона равны нулю ') . Перейдем к адронам со саином 1/2. В этом случае волновые амплитуды им иг -- биспиноры и адронный ток имеет вид (138.6) ,УП = изГиы 1 ) Это не означает, конечно,что такой адрон вообще не взаимодействует с электромагнитным полем.
Произведение двух операгоров тока, Х(х), Х(х~), уже зарядово-четно,и его матричные элементы отличны от нуля для переходов между состояниями с одинаковой .зарядовой четностью. Поэтому истинно нейтралы|ый адрон может рассеивать фотон, а также испускать одновременно два фотона,т. е. участвовать в процессах более высокого порядка по о. ЭЛККТРОМАГНИТНЫЕ' ФОРМФАКТОРЫ АДРОНОВ 693 138 Из билинейных комбинаций йг и и1 и 4-векторов р1, рг можно составить как истинные 4-векторные, так и псевдовекторные величины (удовлетворяющие условию (138.4)).
Поэтому условие Р-инвариантности взаимодействия не удовлетворяется автоматически и должно быть поставлено дополнительно ') . Как было показано в 9 116, при этом условии вершинный оператор содержит два независимых вещественных (при дй ( О) формфактора. Запип|ем его теперь в виде ) Мы не рассматриваем возможные нарушения сохранения четности в электромагнитных взаимодействиях, связанные е учетом виртуальных слабых взаимодействий. ~) Целесообразность определения формфакторов согласно (138.7) (гг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
