IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Меняется лишь конкретный вид вершин и пропагаторов. При этом оказывается, что после усреднения по поляризациям адронов и фотона остается справедливой формула (140.14) (Т. У. Втгпей, 55". М. КРОИ, 1968). й 141. Низкоэнергетическая теорема для рассеяния фотона на адроне й' / 41 / 14 / (141.2) р' а б в из которых первые две снова характеризуются наличием одночастичного промежуточного состояния и потому обладают полюспой особенностью.
Аргументация и принципиальная сторона вычиг1ений остаются теми же, что и в З 140. Достаточно фактически вычислить лишь вклад от полюсных частей диаграмм (141.2,а б), причем электромагнитные вершины в них выражаются через статические формфакторы (заряд Уе и аномальный мап1итпый момент /5. В пределе малых частот сечение рассеяния фотона на всякой неподвижной заряженной частице стремится к своему к.лассическому значенин5, даваемому формулой Томсона. Эток1у пределу соответствует не зависящая от частоты фотона Н5 амплитуда, которуто обозначим через МВ . Оказывается, однако, что и 00 для рассеяния фотона (как и для рассмотренного в предыдущем параграфе тормозного излучения) от деталей электромагнитной структуры адрона не зависит не только этот первый, но и следующий член разложения амплитуды по степеням ш: (141.1) где МП) н5 (Е Е.
ЕОИ5, 1954: М. СЕП-Мапп, М. В, Г ОЫЬехуег, 1954) Рассматриваемый процесс изображается диаграммами трех видов: 704 ГЛ. Хга ЭЛВКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ Му, = — 4уу(Ое)~е'*е,(й'арии), (141.3) где абри ( р+ур)тр Рук "Лу( и 8 ) + 17 — Ои) ~р у ~ (у" + Он'), (141.4) и — М~ В = (р+ Й) = (р'+ Й'), и = (р — Й') = (р' — Й) и для краткости введены обозначения рааууУ ЙЛ = хс~~~ раапи ЙЛ вЂ” — 8ЕООР'. р рл г ги Переставляя операторы ур+ М и учитывая уравнения й (ур — М) = (ур — М)и = О, можно преобразовать выражение (141.4) к виду у~Ни ~( р + ур) ('уй)у + 2р + у ('уй) 2р' ( л + ур)~ 20уй) 2(рий) уи(уь') + 2р'и Ои Ои у'(.уЙ') — 2р" ~ -Г '.
2(р%') 2(рй') „, ур Р ть -Р М,. ~, тр — уЙ' -Р М,в У 2(рй) 2(рй)' Такая форма записи (и аналогичная с переставленными Й и Й') делает очевидной калибровочную инвариаптпость выражения (141.3), условием которой являются равенства й~ (й С~' и) = (й арии) Й„= 0 (141. 7) (при проверке надо помнить, что ( уй)( уй) = О, ЙЯ = Й~У = 0). Однако, в отличие от случая тормозного излу.чепия, интересующие нас теперь поправки к сечению комптон-эффекта существуют лишь для частиц со спином.
Дело в том, что в случае тормозууого излучения кроме поправок, связанных со спином, имеются также ууоправки, связанные с энергетической зависимостью амплитуды «упругогоа процесса. 11о в данном случае роль последней играют формфакторы, которые для «физических концова сводятся к постоянным и от энергии не зависят. Поэтому для рассеяния фотона поправки возникают только за счет магнитного момента, отсутствующего у частиц без спина. Ниже мы рассмотрим рассеяние фотона на адроне со спипом 1уУ2.
Понимая под Муп вклад в амплитуду рассеяния от полюсных диаграмм, имеем (ср. (86.3),(86.4)) 141 ниэкОэнеРГетическая теОРемА для РАссеяни5! ФОГО5!А 705 Поскольку полюсная часть амплитуды рассеяния оказывается, таким образом, калибровочно-инвариантной уже сама !ю себе, должна быть инвариантной сама по себе также и регулярная часть амп,литуды, включающая в себя и вклад диаграммы (141.2,в).
Отсюда в свою очередь следует, что разложение этой части по степеням Й и Й должно начинаться с квадратичных членов (ср. аналогичное замечание в связи с условием (127.5)). Другими словами, регулярная часть амплитуды содержит лишь члены, начиная с пропорциональных н505 05, т.
е. не дает ни- ! 2 какого вклада в интересующие нас члены, пропорциональные н5~ и 05 . Все последние содержатся, следовательно, в выражении 1 (141.3). Для их фактического вычисления выбираем лабораторную систему отсчета, в которой покоится начаиы1ый адрон. Для фотонов же выбираем трехмерно поперечную калибровку, в которой ев = е50 — — О. Тогда (ре) = О, (р е'*) [р'[ 05, и из (141.6) видно, что первые члены разложения Му; будут пропорциональны 05, а члены, соДеРжаЩие 45аи, ДаДУт вклаД лишь в члены, 0 пропорциональные 05 .
Волновые амплитуды начального и конечного адронов в лабораторной системе отсчета с нужной точностью имеют вид Где ю, ю'-- З-спипоры. Прямое вычисление приводит к следующему результату; М . = — 855(УЕ) (е'*е)(ш'*н!), (141.8) М,,~ = — 16тМр~~ио5(т' 55И5) [[и'е" Цне~й— — 44ГгУер„,ГН(И5' ГГТН)(п([пе)е' ) + [пе)(пе' )— — и'([и'е5*) е) — [и'е'*) (пе) — 2[е" е) ), (141.9) где п = 14/ГН, п' = 14'55ц5'.
Сечение рассеяния (141. 10) (см. (64.19)). Для рассеяния на заряженной частице отличны от нуля как Му,, твк и М7, . Принятая точность допускает при этом (1) , [0) сохранение в квадрате [М1;[ членов [М1, [ и В.е(Му! Му,. ). 2 (О) 2 (О) (В* Первый дает томсоновское сечение, Второй же обращается в нуль 23 Л. Д. Лацдау и Н.М, Лифшиц, том 1У 706 гл. хне ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ 4 с(ст = ~' (2+ Вшй д)с(о', Лее4 (141.11) где д угол рассеяния фотона, а аномальный магнитный момент совпадает с полным моментом )4. Отметим, что по своей угловой зависимости это сечение соответствует случаю антисимметрического рассеяния (см.
задачу 2 к 8 60). 8 142. Мультипольные моменты адронов Рассмотрим теперь ток перехода, соответствующий такой же как (138.2), диаграмме (142.1) в которой, однако, линии р1 и ро отвечают разным частицам (массы ЛХс и Мз); фотонную линию Л = р| — рв удобнее представлять здесь исходящей из вершины.
При этом фотон может быть теперь как виртуальным, так и реальным: должно быть лишь к~ ( (ЛХ~ — ЛХэ), так что значение кз = 0 допустимо. Таким образом, применения рассматриваемой диаграммы включают в себя, в частности, процессы испускания фотона при превращениях частиц, в том числе ядер (в последнем случае начальной и конечной частицами является ядро в различных состояниях).
В связи с поставленным вопросом наиболее интересен случай, когда длина волны фотона велика по сравнению с характерными «размерами» частицы (т. е. размерами, входящими в ее форм- факторы; для ядра опи совпадают, конечно, с его «радиусом»). Тогда ток перехода может быть разложен по степеням )е ') .
Отметим прежде всего, что должно быть (142.2) ХХ; = 0 при й = О. ') Ниже мы следуем методике, предложенной В, Б. Бересжеиким (4948). при усреднении по поляризациям фотонов и адронов. Поэтому при рассеянии на заряженном адроне рассматриваемые поправки проявляются только в поляризационпых эффектах. Для рассеяния же на электрически яейтральном адронс (о) (1) з МХ, — — 0 и сечение определяется квадратом ~МХ, ~ . После усредпейия по поляризациям начальных и суммирования по поляризапиям конечных частиц оно оказывается равным (в обычных единицах) 707 4 142 МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ Действительно, пределу и — + 0 отвечает постоянный в пространстве и времени потенциал. Но такой потенциал не имеет физического значения и не может являться причиной каких-либо реальных процессов. К этому же выводу можно подойти и с более формальной точки зрения: рассмотренные в 3 138 токи были отличны от нуля при и = 0 за счет членов, пропорциональных 4-вектору Р = р1 + р2, но при М1 ф МР произведение (РЛ) ф О, так что такие члены запрещены условием поперечности тока.
Запишем условие поперечности тока ф = (рХ;, ДХ;) в трехмерном виде; [142. 3) 14-гХг = шРХ4 Этому ушювию можно удовлетворить двумя способами: (142.4) 37, = гнп(~, ы)г ру, = 1стг(1сг ш) или [142 5) ЛХ, = [1га(14, )), ~Х, = О. Здесь ч.— некоторый полярный, а а-- аксиальный векторы. В первом случае говорят о токе электрического, а во втором — магнитного типа. Согласно [142.2) гг и а при 1сг ш — 4 0 остаются конечными или обращаются в ну.ль.
Пусть энергия фотона ы « М1. Тогда можно пренебречь эффектом отдачи и считать покоящейся (в системе покоя частицы М1 ) также и конечную частицу Мз, при этом ш становится заданной величиной: ш = М1 — Мз. Состояния покоящихся частиц М1 и ЛХя хаРактеРизУютсЯ тРехмеРными спиноРами нг1 и гнв Рангов 2Н1 и 2вз, где в1 и вз спины частиц.
Ток перехода должен быть билинейной комбинацией ю1 и ш~. Из произведений компонент этих спиноров можно составить неприводимые тензоры рангов 1 = в1+ вя,, ~Н1 — вз~ [при заданном 1 это будет истинный или псевдотензор в зависимости от внутренних четностей частиц ЛХ1 и ЛХЕ). Кроме этих тензоров в нашем распоряжении имеется только вектор 14. Чтобы построить первый член разложения тока по степеням 1с, надо с помощью этих величин составить вектор как можно более низкой степени по 14.
ггХы достигнем этой цели, взяв тснзор наименыпего ранга и умножив его скалярно 1 — 1 раз ва вектор 14. Это и будет полярный вектор тг или аксиальный вектор а. Пусть 1,11„, сферические компоненты тензора, составленного из волновых амплитуд частглц. Сферические же компоненты тензора ранга 1 — 1, составленного из компонент 14, равны ~14~~ 11'1 1 (и), где п = 1сггнг. По общему правилу сложения сферических тензоров [см. Ш, (107,3)) сферические компоненты 708 гл. хге ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ вектора и можно написать в виде ч = ( — 1)л-ь1,4 А74К 21-"1~1 ~1 1 х (21 — 1)0 'т' х /1 — 1 1 ~ (Л+ т, — Л вЂ” т) 1~)й — тУЬ-1 Лэтм(П)1 т где Л пробегает значения 0, ~1 (о выборе общего множителя см. ниже). Исгюльзуя формулы (7.1б), можно выразить и через шаровые векторы: ъ'4г~Ц~ 1 ~ ( )~ (21 — 1)!!А7)(21+ Ц (,У)+1К,"( )+ЛК,',"„)( )), (142.б) Подставив в (142.4), найдем Е1-ток перехода; 4 ъ'44~"~Ч' ' ~ ~~ 11с-тф) ' (21 — 1)0 7(21 + 1) ~ х Ф+ 1з~г~п,(п) + ~Р~1„, (и)), (142,7) (мы различаем везде (Ц и Вэ, имея в виду возможные применения как к реальным, так и к виртуальным фотонам, для которых эти величины не совпадают).
В (142.7),(142.8) подразумевается, что сферический тензор 01. (обозначенный здесь 1,), ) истинный тензор. Коли же (В) это псевдотензор (в таком случае обозначим его фт ), то форму(И) ла (142.6) определит псевдовектор а. Подстановка в (142.5) дает тогда М1-ток перехода: ъ'4е 1-Р 1 ~~ ~~ ~ ~( )1 т~)(м) ~,(м)( 1)й ~) 1(21+ 1) ~ м м0 — т ьт т Р7, =0. Величины Я и Ят представляют собой адронные элоктри- (В) М ческие и магнитные мультипольные моменты перехода. Их роль в электродинамике адронов вполне аналогична роли соответствующих величин в электродинамике электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
