И.С. Ломов - Алгебра и геометрия (1108716), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Íàéòè ìàòðèöó ýòîãî îïåðàòîðà â áàçèñå1, t, t2 .43Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ7. Ïðèâåñòè ê íîðìàëüíîìó âèäó òðåóãîëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåìêîîðäèíàò êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó è ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò:F (x1 , x2 , x3 ) = x21 + 2x22 + 3x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3 .Íàïèñàòü ïîëó÷åííûé íîðìàëüíûé âèä è ïðèâîäÿùåå ê íåìó ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò.8. Íàéòè íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû x1 + x2 + x3 + x4 = 2,x1 + x2 + x3 + x4 = 3,x1 + x2 + x3 + x4 = 4.9.
 ïðîñòðàíñòâå M2 ââåäåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåZ+1(f, g) =f (t)g(t)dt.−1Íàéòè ìàòðèöó îïåðàòîðà, ñîïðÿæåííîãî ê îïåðàòîðó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, â áàçèñå 1, t, t2 .10. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî M3 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ L1 è L2 , è íàéòè ïðîåêöèþ ìíîãî÷ëåíà p(t) = t3 +1 íàL1 ïàðàëëåëüíî L2 : L1 = {f (t) ∈ M3 | f (0) = f (1)}, L2 = {f (t) ∈M3 | f (2t) = 2f (t), ∀t ∈ R}.L1 : x1 −x2 −x3 +x4 = 0, L2 : x1 +x2 −x3 −x4 = 0; dim L1 =3; dim L2 = 3; dim(L1 +L2 ) = 4; áàçèñ: a1 , a2 , a3 , b1 . dim(L1 ∩L2 ) = 2; áàçèñ: z1 = (1, −1, 1, −1), z2 = (1, 0, 1, 0) èëè c1 = (1, 0, 1, 0), c2 = (0, 1, 0, 1).π2.
y1 = x1 = (2, 3, −4, −6); y2 = (−3, 2, 6, −4); y3 = (4, 6, 2, 3).3..40 −1 1 0 −1 1 , −1, −1 ; (−3, 1, 1, 1, 1), (−2, 0, 1, 1, 1),4. J = diag00 −11 −2 −21−2 −2 1 .(1, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, −1, 0), (1, 0, 0, 0, −1). 6. Ae =32 −1 22227. y1 = x1 + x2 + x3 , y2 = x2 + x3 , y3 = x3 , F = y1 + y2 + y3 .0 −5 0310 2. 10. t3 − t + 1.8.(1, 1, 1, 1). 9. De∗ = 6420 15 0Îòâåòû:441.Çà÷¼ò2 ñåìåñòð. Îáðàçåö çàäàíèÿ çà÷¼òíîéêîìèññèè1. Íàéòè áàçèñû L1 + L2 , L1 ∩ L2 , åñëè L1 çàäàíî îäíîðîäíîéñèñòåìîé9x1 − 6x2 + 3x3 = 0,6x1 − 4x2 + 2x3 = 0,à L2 ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì ê ìíîæåñòâó ðåøåíèéñèñòåìû 2x1 + 3x2 − x3 = 0,x1 + 2x2 + 2x3 = 0,x1 + x2 − 3x3 = 0.2. Íàéòè áàçèñûîáðàçàîòîáðàæà îïåðàòîðà, ëèíåéíîãî è ÿäðà0 00 00 11 0ñîîòâåòñòâåííî â,,,þùåãî ìàòðèöû0 11 00 00 0 2 33 −11 02 1.,,,ìàòðèöû−4 5521 10 33. Ïîñòðîèòü æîðäàíîâó ôîðìó è êàíîíè÷åñêèé áàçèñ äëÿ ìàòðèöû1 0 0 0 01 1 0 1 0A=0 1 1 0 1 .0 0 0 1 00 0 0 0 24.
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè, çàäàííîé âåêòîðîì x = (5, 3, −1, −1),äî ëèíåéíîãî àôôèííîãî ìíîãîîáðàçèÿ H , çàäàííîãî ñèñòåìîé2x1 + x4= 6,óðàâíåíèé2x1 + 2x2 − x3 = 3.5. Âûïèñàòü êàíîíè÷åñêèé âèä è ïðèâîäÿùåå ê ýòîìó âèäó îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò äëÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìûf = −3x23 − 2x2 x3 + 6x1 x2 + x21 + 2x1 x3 + x22 .6. Íàéòè äâóìåðíîå èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî äëÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, äåéñòâóþùåãî â ïðîñòðàíñòâå R3 è çàäàííîãî â45Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿíåêîòîðîì åãî áàçèñå ìàòðèöåé4 −6 4A = 1 0 0 .0 1 0Îòâåòû:1. dim L1 = dim L2 = 2, dim(L1 +L2 ) = 3, òàê ÷òî â êà÷åñòâå3áàçèñà L1 + L2 ìîæíî âçÿòü åñòåñòâåííûé áàçèñ R.
Áàçèñ L1 ∩ L2 :~e =1 00 11 −5−3 4(3, 5, 1). 2. Áàçèñ îáðàçà,, ÿäðà,.1 1−2 1100 1 1 1 03. J = diag2, 0 1 1 , 1 ; (0, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0, 0),0 0 1r1733. 5. f = −4y12 − y22 + 4y32 ,(2, 1, 1, −1, 0), (−1, 0, 0, 1, 0). 4. ρ =29x1x2x3x12x2x32x1x2y1 = − √ − √ + √ , y2 = √ + √ + √ , y3 = √ − √ . 6. Áàçèñ63263263èíâàðèàíòíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà g1 = (2, 1, 0), g2 = (0, 1, 1).46ÝêçàìåíÝêçàìåíÝêçàìåí ñäà¼òñÿ â óñòíîé ôîðìå. Íà ýêçàìåíå ñòóäåíò äîëæåí:- ïðîäåìîíñòðèðîâàòü çíàíèå è ïîíèìàíèå îñíîâíûõ ïîíÿòèéè ôàêòîâ ïî ïðîãðàììå êóðñà;- óìåòü äàâàòü ÷¼òêèå îïðåäåëåíèÿ è ôîðìóëèðîâêè òåîðåì;- âëàäåòü ëîãèêîé äîêàçàòåëüñòâ òåîðåì;- ðåøàòü çàäà÷è.Äëÿ ñòóäåíòîâ, íå ñäàâøèõ ýêçàìåí, ó÷åáíûì ïëàíîì ïðåäóñìàòðèâàåòñÿ ïåðåýêçàìåíîâêà. Ïîâòîðíûé ýêçàìåí íà÷èíàåòñÿñ êîíòðîëüíîãî òåñòèðîâàíèÿ ïî îïðåäåëåíèÿì, ôîðìóëèðîâêàìòåîðåì è ôîðìóëàì.Ýêçàìåíàöèîííûå âîïðîñû, 1 ñåìåñòðËèíåéíàÿ àëãåáðàÎïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè è èõ ñâîéñòâà.Ïðèâåäåíèå ìàòðèöû ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó.
Ïðèâåäåíèå ê äèàãîíàëüíîìó âèäó.3. Ïåðåñòàíîâêè, òðàíñïîçèöèè, ÷¼òíîñòü.4. Îïðåäåëèòåëü è åãî ñâîéñòâà êàê ôóíêöèè ñòîëáöîâ (ñòðîê).5. Îïðåäåëèòåëü òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöû.6. Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö.7. Ìèíîðû è èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ. Òåîðåìà Ëàïëàñà.8.
Íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû. Îáðàòíûå ìàòðèöû. Êðèòåðèé îáðàòèìîñòè ìàòðèöû.9. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. Àðèôìåòè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî.10. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå.11. Áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.12. Ïåðåõîä ê äðóãîìó áàçèñó, ìàòðèöà ïåðåõîäà.13. Ðàíã ìàòðèöû. Òåîðåìà î áàçèñíîì ìèíîðå.14.
Ðàíã ìàòðèöû è ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ñòðîê è ñòîëáöîâ.15. Ðàíã ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö. Ðàíã ìàòðèöû è ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ.16. Ýêâèâàëåíòíûå ìàòðèöû. Êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè.17. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ýêâèâàëåíòíîñòüñèñòåì. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì.18. Ñèñòåìû ñ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé. Ïðàâèëî Êðàìåðà.1.2.47Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿÊðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Êðèòåðèé åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ.20. Èññëåäîâàíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îáùåãîâèäà.
Ãëàâíûå è ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå. Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû.21. Ìåòîä Ãàóññà èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. ×èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé â ìåòîäå Ãàóññà.22. Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé. Îáùåå ðåøåíèå.23. Ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà ðåøåíèé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Îáùååðåøåíèå.19.Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿÍàïðàâëåííûå îòðåçêè. Ñâîáîäíûé âåêòîð.Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè. Êîîðäèíàòû âåêòîðà.3. Ïðîåêöèè âåêòîðà. Ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ïðîåêöèé.4. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ. Êîëëèíåàðíûå èêîìïëàíàðíûå âåêòîðû.5.
Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïðÿìîé, íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò.6. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò. Îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû.7. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ.8. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ.9. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ.10. Âåêòîðíîå è ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèÿ â ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõêîîðäèíàòàõ.11. Àëãåáðàè÷åñêèå ëèíèè è ïîâåðõíîñòè. Èíâàðèàíòíîñòü ïîðÿäêà ëèíèè (ïîâåðõíîñòè).12.
Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòè âïðîñòðàíñòâå.13. Îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè â àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Êðèòåðèé ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðà ïðÿìîé.14. Îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå â àôôèííîé ñèñòåìåêîîðäèíàò. Êðèòåðèé ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðà ïëîñêîñòè.15. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòåé âïðîñòðàíñòâå.16. Ïó÷îê ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòåé â ïðîñòðàíñòâå.1.2.48ÝêçàìåíÏîëóïëîñêîñòè è ïîëóïðîñòðàíñòâà.Óðàâíåíèÿ ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå.19. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå.20.
Ìåòðè÷åñêèå çàäà÷è íà ïðÿìóþ è ïëîñêîñòü â ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàòàõ.21. Îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè. Ìàòðè÷íàÿçàïèñü îáùåãî óðàâíåíèÿ è åãî êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè.22. Ïðèâåä¼ííûå óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè. Ìåòîä âðàùåíèé.23. Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè.24.
Ýëëèïñ. Ôîêóñû è äèðåêòðèñû.25. Ãèïåðáîëà. Ôîêóñû è äèðåêòðèñû.26. Ïàðàáîëà. Ôîêóñ è äèðåêòðèñà.27. Îáùåå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà â ïðîñòðàíñòâå.Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü îáùåãî óðàâíåíèÿ è åãî êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè.28. Ïðèâåä¼ííûå óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ìåòîä âðàùåíèé.29. Ýëëèïñîèäû, ãèïåðáîëîèäû, ïàðàáîëîèäû, êîíóñû è öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè.30.
Ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå àëãåáðàè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãîïîðÿäêà.17.18.Îáùàÿ àëãåáðàÄåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ è áèíàðíîå îòíîøåíèå. Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Ôàêòîð-ìíîæåñòâî.2. Îòîáðàæåíèÿ. Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå.3. Àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè. Îáîáù¼ííûé çàêîí àññîöèàòèâíîñòè.4. Ãðóïïû. Îñíîâíûå ñâîéñòâà.5. Ïîäãðóïïû. Ñèììåòðè÷åñêàÿ è çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïû.6.
Ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö. Ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ òðåóãîëüíûõ ìàòðèö. Ãðóïïà îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö.7. Êîíå÷íûå ãðóïïû. Òåîðåìà Ëàãðàíæà.8. Ñòåïåíè ýëåìåíòà â ãðóïïå. Öèêëè÷åñêèå ãðóïïû. Ïîäãðóïïû öèêëè÷åñêîé ãðóïïû.9. Ïîäãðóïïû, ñìåæíûå êëàññû, íîðìàëüíûå äåëèòåëè.10. Èçîìîðôèçì ãðóïï.11. Ãîìîìîðôèçì ãðóïï.12. Êîëüöî.13. Ïîëå. Õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ. Àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ.14. Êîëüöî âû÷åòîâ. Ïîëå âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ.1.49Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ15.ëå.Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
