И.С. Ломов - Алгебра и геометрия (1108716), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A ïîðÿäêà n ≥ 3 ÿâëÿåòñÿ òð¼õäèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé ñëåäóþùåãî âèäà:7 43 32 132.A=.........1 3 21 3Âûÿñíèòü, ìîæåò ëè å¼ îïðåäåëèòåëü áûòü ðàâåí 69 è, åñëè äà, òîïðè êàêîì çíà÷åíèè å¼ ïîðÿäêà n.2. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü n-ãî ïîðÿäêà (n ≥ 3):n . . . n n 2n − 11 n . . . n n22n − 1n .
. . n 3nn .n . . . 4 nnn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n . . . n nnn 3. Èçâåñòíî, ÷òî âåêòîðû a, b, c, d ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V ëè-íåéíî íåçàâèñèìû. Âûÿñíèòü, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ λ ëèíåéíîíåçàâèñèìû âåêòîðû x = a + b − 2c + d, y = a + 2b + λd,z = −3a − b + 10c + 4d.4. Îáðàòèòü òð¼õäèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà n:2 01 2 0... ....1 2 01 234Êîíòðîëüíûå ðàáîòû5. Èñïîëüçóÿ ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, íàéòè îáùååðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèéx1 − x2 + x4 = 2,8x1 − x3 − 3x4 = 4.6. Äëÿ êàæäîãî λ èññëåäîâàòü è ðåøèòü ñèñòåìóλx1 + 2x2 + x3 = −4,−2x1 − λx2 − x3 = 2 + λ,4x1 + 4x2 + λx3 = −8.7. Äîêàçàòü, ÷òî ïðèñîåäèíåííûå ìàòðèöû Ab, Bb ê ïðîèçâîëüíûìêâàäðàòíûì ìàòðèöàì A, B îäèíàêîâîãî ïîðÿäêà óäîâëåòâîðÿþòd=BbAb.ñîîòíîøåíèþ: ABn+1n = 6, Dn = 5 + 2n .
2. Dn = n!(−1)b 2 c /(n2−10 −2−22−102−3−2−2 2−1Ïðè λ 6= 4, 5. 4. ... ...Îòâåòû:3.1.(−1)n−1 2−n−2−2− 2)..2−11(1, −3, 0, 0) + c1 (1, 1, 8, 0) + c2 (3, 11, 0, 8).6. Ïðè λ 6= −4; 22åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x3 = 2x1 = −4/(λ + 4), x2 = −(λ + 6)/(λ + 4); ïðèλ = −4 ñèñòåìà íåñîâìåñòíà; ïðè λ = 2 îáùåå ðåøåíèå x3 = −2(x1 +x2 + 1).5.x =Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà1 21. Èçâåñòíî, ÷òî îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòî-ðàõ a, b, c, ðàâåí 2. Íàéòè îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãîíà âåêòîðàõ a + b − c, a − b è c + b.2. Íàéòè âñå âåêòîðû x, óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâó [a, x] = b,ãäå a = {3, −2, 5}, b = {1, −1, −1}.3.
 òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíû åãî âåðøèíà C(5, 3) è óðàâíåíèÿ äâóõ âûñîò 3x−2y = 0 è 5x+3y −25 = 0. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèåñòîðîíû AB .1 çàäà÷àõ 17 ñèñòåìà êîîðäèíàò ïðÿìîóãîëüíàÿ.35Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå áèññåêòîðíîé ïëîñêîñòè äâóãðàííîãî óã-ëà ìåæäó ïëîñêîñòÿìè 6x − 3z + 2 = 0, 2x − 5y + 4z − 1 = 0, âêîòîðîì ëåæèò òî÷êà M (1, 1, −1).5. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê ïðÿìûìx−3y+4z+6xy−4z−3==,==.2−7−40326. Öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC , ðàñïîëîæåí â òî÷êå (1, 3).
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí Bè C , åñëè èçâåñòíî, ÷òî A(5, 1).7. Ïëîñêèé âûïóêëûé ÷åòûð¼õóãîëüíèê çàäàí ñâîèìè âåðøèíàìè â ïðîñòðàíñòâå: Mi (ri ), i = 1, 4. Íàéòè íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òîãî, ÷òî çàäàííàÿ òî÷êà M0 (r0 ) ÿâëÿåòñÿ åãîâíóòðåííåé òî÷êîé.V = 6. 2. x = {x1 , x2 , x3 }, ãäå x1 = (3x3 − 1)/5, x2 =x−(2x3 + 1)/5. 3. 5x − 2y = 0.4.
8x − 5y + z + 1 = 0.5.=1√√√√y−1z−1=.6. B(−1 −3, 4 − 2 3), C(−1 + 3, 4 + 2 3).2−3Îòâåòû:1.Ïðèìåðíûå âàðèàíòû, 2 ñåìåñòðÊîíòðîëüíàÿ ðàáîòà2 11. Íàéòè áàçèñû ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâ L1 è L2 ,ãäå L1 = L {a1 , a2 , a3 }, a1 = (1, 2, 1, 1), a2 = (2, 3, 1, 0), a3 =(3, 1, 1, −2), à L2 = {x ∈ R4 | x1 + x2 + x3 + x4 = 0}.2. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî L = {p(t) ∈ M3 | p(1) = 0, p0 (1) +p(0) = 0} îáðàçóåò ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà M3 .Íàéòè äâà ðàçëè÷íûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïîäïðîñòðàíñòâà ê L.3.
Ïîñòðîèòü êàêîé-ëèáî îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ëèíåéíîé2 1021 −1., B3 =îáîëî÷êè âåêòîðîâ B1 =, B2 =1 01 −1014. Íàéòè îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ âåêòîðà g = (2, 2, 0, 1) íà ïîäïðîñòðàíñòâîL = {x ∈ R4 | x1 − x2 + x3 − x4 = 0, 3x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0}.2Ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ â ïðîñòðàíñòâàõ R2×2 , R4 è M3 ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè ñòàíäàðòíûì îáðàçîì.36Êîíòðîëüíûå ðàáîòû5.
Îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå îò ìíîãî÷ëåíà g(t) = 3t3 − 3t2 − t + 2äî ìíîãîîáðàçèÿ P = {p(t) ∈ M3 | p(1) = 2, p0 (0) = 1}.6. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè äâå ãèïåðïëîñêîñòè íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî îíèïàðàëëåëüíû.Îòâåòû:1. dim L1 = dim L2 = 3, dim(L1 + L2 ) = 4, çíà÷èò, â êà÷åñòâå áàçèñà L1 + L2 ìîæíî âçÿòü ëþáîé áàçèñ R4 , íàïðèìåð, a1 , a2 , a3 ,b1 = (1, −1, 0, 0). dim(L1 ∩ L2 ) = 2, áàçèñ L1 ∩ L2 ñîñòîèò, íàïðèìåð, èçâåêòîðîâ c1 = (0, 2, −1, −1) è c2 = (−4, −1, 0, 5).
2. Îäíî ïðîñòðàíñòâîL01 , äîïîëíèòåëüíîå ê ïðîñòðàíñòâó L, ñîñòîèò èç ëèíåéíîé îáîëî÷êèL (p1 , p2 ), ãäå p1 (t) = 1 + t + t2 + t3 è p2 (t) = 1 + t + 2t2 + 3t3 . Äðóãîåäîïîëíèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî L02 , íàïðèìåð,L (q1 , q2 ), ãäå q1(t) = 1 +t,11 −5 −41−1q2 (t) = 1 + t + t2 + 2t3 .3. C1 = √, C2 = √,013 r51 −3 11 −3 13C3 = √. 4. (1, 2, 1, 0). 5..251 5 4Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà 21. Îïåðàòîð A äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå M3 ïî ïðàâèëó A f (t) =f (2t) − f (t + 1).
Ïîñòðîèòü ìàòðèöó ýòîãî îïåðàòîðà â áàçèñåe1 (t) = 1, e2 (t) = 1 − t, e3 (t) = t + t2 , e4 (t) = t2 − t3 è óêàçàòüêàêèå-ëèáî áàçèñû åãî ÿäðà ker A è îáðàçà im A .2. Íàéòè çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàò âñå ñîáñòâåííûå3 1 −1 −1−1 111.ðèöû 1 11 −11 0 −1131 03. Ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà D = 2 2 0 äèàãîíàëèçóåìà, è4 −4 4ïðèâåñòè å¼ ê äèàãîíàëüíîé ïîäõîäÿùèì ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ.4.
Íàéòè æîðäàíîâó ôîðìó ñëåäóþùåé ìàòðèöû è ïîñòðîèòü ñî37Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿîòâåòñòâóþùèé êàíîíè÷åñêèé2 1A= 2−4áàçèñ:−400−200.131−2 −6 −20 −1 05. Îïåðàòîð H çàäàí ìàòðèöåé 7 4 1 â áàçèñå f1 =−11 0(1, 1, 0), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 0, 1) ïðîñòðàíñòâà R3 ñî ñòàíäàðòíûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Íàéòè ìàòðèöó ñîïðÿæ¼ííîãî îïåðàòîðà H ∗ â ýòîì æå áàçèñå f1 , f2 , f3 .21 −16. Íàéòè êâàäðàòíûé êîðåíü èç ìàòðèöû S = 1 2 −1.−1 −127.
Èçâåñòíî, ÷òî îïåðàòîðû A ∈ L (V, W ), B ∈ L (W, V ) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ: ïðîèçâåäåíèå BA ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûìîïåðàòîðîì â ïðîñòðàíñòâå V . Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðîñòðàíñòâà Vè W èìåþò ðàçíóþ ðàçìåðíîñòü, òî ïðîèçâåäåíèå A B íå ìîæåòáûòü òîæäåñòâåííûì îïåðàòîðîì â ïðîñòðàíñòâå W .Îòâåòû:1.0 00 1Ae = 0 00 0−64302−2, ker A = L (e1 ), im A = L (2e1 − e3 , e2 , e4 ).−17λ1 = 1 êðàòíîñòè 2, ñîáñòâåííûå âåêòîðû α · (1, −1, 1, 0), ãäå α 6= 0;λ2 = 2 êðàòíîñòè 2, ñîáñòâåííûå âåêòîðû α1 · (1, 0, 1, 0) + α2 · (1, 0, 0, −1),ãäå α12 + α22 6= 0.0 1 0 01 1 00 0 0 01 0, T −1 DT = diag{1, 4, 4}. 4. J = 3. T = −20 0 0 0;−4 0 10 0 0 1(2, 1, −5, 10), (1, 0, 0, −7), (0, 0, 1, −3), (0, 0, 7, −14).54 −2∗−1 3 .5. Hf = −31102.38Êîíòðîëüíûå ðàáîòû6.411S =3−1121 −14 −1 .−1 439Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿÇà÷¼ò1 ñåìåñòð. Ïðèìåðíûé âàðèàíò çà÷¼òíîãîçàäàíèÿ â ãðóïïå31.
Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü n-ãî ïîðÿäêà (n ≥ 3) . 13800 ···00−4 −3 −40 ···00 051 −4 · · ·00.051 ..00 .Dn = 0 ...... . . . . . ... ........ 01 −4000 .. 0000 ···512. Ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå10 ...001 ···1 ···.. . ...0 ···0 ···1 111 1 0.. .. · X = .... . 01 10 10a ···a a1 ···a a... .
. . .. ....0 ···1 a0 ···0 1,ãäå X ìàòðèöà ïîðÿäêà n.3. Íàéòè ðàíã ìàòðèöû1λ −1 22 −1λ 51 10 −6 1â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðû λ.4. Èññëåäîâàòü è íàéòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû2λ + 1−λ λ + 1λ−1 λ − 2 λ − 1 λ − 2 · x = λ 2λ − 1 λ − 1 2λ − 1λâ çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðà λ.340 çàäà÷àõ 710, 13 ñèñòåìà êîîðäèíàò ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà.Çà÷¼ò5. Íàéòè ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé äëÿ óðàâíåíèÿ1 · x1 + 2 · x2 + 3 · x3 + .
. . + n · xn = 0.6. Ïîñòðîèòüñèñòåìó óðàâíåíèé Ax = θ ïî çàäàííîé ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìå ðåøåíèé: e1 = (−2, 1, 1, 1), e2 =(0, 1, 2, 0), e3 = (1, −1, 0, 1).7. Âû÷èñëèòü îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA1 B1 C1 D1 , çíàÿ åãîâåðøèíó A(1; 2; 3) è êîîðäèíàòû êîíöîâ âûõîäÿùèõ èç íå¼ ð¼áåð:B(9; 6; 4), D(3; 0; 4), A1 (5; 2; 5).8.
Íà ïëîñêîñòè çàäàíû äâå ñèñòåìû êîîðäèíàò: {O; ~e1 , ~e2 } è00{O0 ; ~e1 , ~e2 }. Âòîðàÿ ñèñòåìà ïîëó÷åíà èç ïåðâîé ïîâîðîòîì âîêðóãòî÷êè A(1; 1) íà óãîë ϕ = 45◦ â íàïðàâëåíèè êðàò÷àéøåãî ïîâîðîòà îò ~e1 ê ~e2 . Íàéòè êîîðäèíàòû (x, y) òî÷êè â ïåðâîé ñèñòåìåêîîðäèíàò, åñëè èçâåñòíû å¼ êîîðäèíàòû (x0 , y 0 ) âî âòîðîé ñèñòåìåêîîðäèíàò.9. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå áèññåêòðèñû îñòðîãî óãëà ìåæäó ïðÿìûìè x − 3y = 0 è 3x − y + 5 = 0.10. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êóA(5; 2; 0) è óäàëåííîé îò òî÷êè B(6; 1; −1) íà ðàññòîÿíèå 1, à îòòî÷êè C(0; 5; 4) íà ðàññòîÿíèå 3.11.
Ðåøèòü óðàâíåíèå â êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ: |z| + z = 8 + 4i.12. Íàéòè âñå îáðàçóþùèå ýëåìåíòû ãðóïïû 11-ãî ïîðÿäêà.13. Îïðåäåëèòü âèä êðèâîé è ñäåëàòü ðèñóíîê íà ïëîñêîñòè (x, y):îäíîðîäíóþ5x2 + 8xy + 5y 2 − 18x − 18y + 9 = 0.Dn = 5n − 2 · (−4)n 2. 1 íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, a − 1íàä íåé. 3. rg A = 2 ïðè λ = 3, èíà÷å rg A = 3. 4. ïðè λ = 0 è3x33x3λ = 1 íåò ðåøåíèé, ïðè λ = −1 x1 = 1 −, x2 = −1 −, ∀x3 ∈ R,5522λ − 2λ + 1λïðè λ 6= 0; ±1 x1 = −x3 =, x2 =. 5. (2, 1, 0, · · · , 0),λ(λ − 1)λ−1(−3, 0, 1, · · · , 0), .. . , (−n, 0, 0, · ·· , 1), s= n−1.
6.0 x1 +2x2 −x3 +x4 = 0.1 1 −1 x1√x. 9. 4x−4y+5 = 0.7. V = 48.8.=+√·1 y0y1− 22 110. x + 2y + 2z − 9 = 0, èëè y − 2 = 0.11. z = 3 + 4i.12. Âñå ýëåÎòâåòû:1.41Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿìåíòû ãðóïïû, êðîìå íåéòðàëüíîãî. 13. ýëëèïñ, öåíòð (1; 1), óãëîâîé(x0 )2(y 0 )2êîýôôèöèåíò áîëüøåé îñè k = −1,+= 1.911 ñåìåñòð. Îáðàçåö çàäàíèÿ çà÷¼òíîéêîìèññèè41. Ïóòåì âû÷èñëåíèÿ ïðèñîåäèíåííîé ìàòðèöû âû÷èñëèòü−12 5 −61 2 −4 .1 302. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé: x1 − 3x2 − 3x3 − 14x4 = 8,2x1 − 6x2 − 3x3 − x4 = −5,3x1 − 9x2 − 5x3 − 6x4 = −4.3.
 òðåóãîëüíèêå ABC çàäàíû óðàâíåíèÿ ñòîðîíû AC : x−2y +7è ìåäèàí AM : x+y−5 = 0,CL: 2x+y−11 = 0. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèåâûñîòû òðåóãîëüíèêà, ïðîâåä¼ííîé èç âåðøèíû A.4. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè α, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðÿìîél:x+2y−3z−1==,45−2íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (−2; 3; 1) äî ýòîé ïëîñêîñòè è êîîðäèíàòû ïðîåêöèè ýòîé òî÷êè íà ïëîñêîñòü α.5. Îïðåäåëèòü âèä ïîâåðõíîñòè, çàäàííîé óðàâíåíèåì 4x2 +6y 2 +4z 2 + 4xz − 8y − 4z + 3 = 0.6. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê z êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè,óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ |z + 2i| − |z − 2i| = 3.−1214Îòâåòû:1.2−1−7 − 9x2 , ∀x2 , x4 ∈ R.188−6 −2. 2. x1 = −13 + 3x2 − 13x4 , x3 =113.
11x − 17y + 57 = 0.4. α: 4x + 5y − 2z = 0,4 çàäà÷àõ 34 ñèñòåìà êîîðäèíàò ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà, â çàäà÷å 5ñèñòåìà êîîðäèíàò àôôèííàÿ.42Çà÷¼ò√522 22 11, ïðîåêöèÿ òî÷êè M íà ïëîñêîñòü α: M 0 (− ; ; ).39 9 9225. ýëëèïñîèä.6. Âåòâü ãèïåðáîëû 36x − 28y + 63 = 0, ïðîõîäÿùàÿ3÷åðåç òî÷êó (0; ), ò.å. íàõîäÿùàÿñÿ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè.2ρ(M, α) =2 ñåìåñòð. Ïðèìåðíûé âàðèàíò çà÷¼òíîãîçàäàíèÿ â ãðóïïå1. Íàéòè áàçèñû ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ,íàòÿíóòûõ íà ñèñòåìû a1 , a2 , a3 è b1 , b2 , b3 ñîîòâåòñòâåííî:a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1, −1, −1), a3 = (1, −1, 1, −1); b1 =(1, −1, −1, 1), b2 = (1, −1, 0, 0), b3 = (3, −1, 1, 1).2.
Ïðèìåíÿÿ ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè, ïîñòðîèòü îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà, íàòÿíóòîãî íà çàäàííóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ: x1 = (2, 3, −4, −6), x2 = (1, 8, −2, −16), x3 = (12, 5, −14, 5),x4 = (3, 11, 4, −7).3. Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðîì a = (−3, 15, 1, −5) è ëèíåéíûìïîäïðîñòðàíñòâîì L, íàòÿíóòûì íà âåêòîðû b1 = (2, 3, −4, −6),b2 = (1, 8, −2, −16), b3 = (1, −5, −2, 10).4. Íàéòè êàíîíè÷åñêèé áàçèñ è æîðäàíîâó ôîðìó ìàòðèöû−31 −3 −2 −2 0 −2100 10011. 10101101105. Äîêàçàòü, ÷òî íåîäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèéAx = b ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîð-ñòîëáåöb îðòîãîíàëåí âñåì ðåøåíèÿì ñîïðÿæåííîé îäíîðîäíîé ñèñòåìûA∗ y = 0 .6.
 ïðîñòðàíñòâå M2 ñî ñòàíäàðòíûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì((f, g) = a0 b0 +a1 b1 +a2 b2 , ãäå f = a0 +a1 t+a2 t2 , g = b0 +b1 t+b2 t2 ).çàäàí îðòîãîíàëüíûé îïåðàòîð A ñ îïðåäåëèòåëåì, ðàâíûì −1,êîòîðûé ïåðåâîäèò ìíîãî÷ëåí 1 + t + t2 â ìíîãî÷ëåí −1 − t + t2 , àìíîãî÷ëåí 1 − t2 â 1 − t.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
