Calculus - Colloc02 - V.N. Chubarikov (1108269)
Текст из файла
Задачи для подготовки к коллоквиуму №2I семестр, I поток, осень 2006 г.ВНИМАНИЕ! АВТОР НЕ НЕСЁТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ ЗА ЛЮБЫЕ ПОСЛЕДСТВИЯ,КОТОРЫЕ ПРЯМЫМ ИЛИ КОСВЕННЫМ ОБРАЗОМ МОГУТ БЫТЬ ВЫЗВАНЫИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВСЕГО НИЖЕНАПИСАННОГО ПО НАЗНАЧЕНИЮ И НЕТ!1. Доказать, что(a)(b)nlim xxx→+∞ alimx→+∞= 0 (a > 1, n > 0)loga xxε= 0 (a > 1, ε > 0)Доказательство.nknn→+∞ a(a) Воспользуемся, тем, что было доказано ранее для последовательностей: limНапомним сначала его краткое доказательство:0<Тогда иnkan(n+1)knn→+∞ alim6nman³=(b) Положим´m=¡ n ¢mbn,b > 1;nbn=n(1+(b−1))n= 0, т.е. ∀ε > 0 ∃N : ∀n > Nположим n = [x], тогда 0 <xεn√manxkan<(n+1)kan<2nn(n−1)(b−1)2(n+1)kan= 0.→0< ε.
Пусть x > N + 1,< ε, что и доказывает исходное утверждение.= t. Тогда исходное выражение перепишется в видеlimx→+∞loga x1loga tlim.=xεε t→+∞ tОпять же воспользуемся уже доказанным утверждением для пределов последовательностей: lim logna n = 0. Приведём и его краткое доказательство:n→+∞Из предыдущего примера получаем, что для достаточно больших nиε>что 010 – произвольное.
Тогда aεn < anεn < 1 или 1log n< loga n < εn, откуда 0 < na < ε. Отсюда<n<aεn .1bn<nbn< 1. Положим b = aε , где a > 1Логарифмируя последнее неравенство получаем,и следует исходное равенство.Сделаем такой же трюк, как и в предыдущем случае: заметим, что и limСделав соответствующие замечания получаем, что 0 <доказывает наше утверждение.—1 —loga tt<loga (n+1)nn→+∞loga (n+1)n= 0.< ², что и2.
Пусть функция f (x) ограничена на любом интервале (1, b). Доказать, что(a)(b)limx→+∞f (x)x= lim (f (x + 1) − f (x))x→+∞lim (f (x))1/x = limx→+∞x→+∞f (x+1)f (x) ,f (x) > C > 0Доказательство. В обоих случаях воспользуемся аналогичными утверждениями, доказанными нами ранее для пределов последовательностей и определением предела функции поГейне.
Если всё время стараться быть абсолютно строгим, то получится (сам не проверял)3. Пусть функция f (x) ограничена на любом интервале (1, b) и пусть lim (f (x + 1) − f (x)) =x→+∞= ∞. Доказать, чтоlim f (x)x→+∞ x= ∞.Доказательство. Нестрого – вытекает из предыдущей задачи. Строго – мудрите сами поопределению.4.
Пусть при x > 1 задана последовательность функций f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x), . . . . Доказать,что найдётся функция f (x), растущая быстрее любой из этих функций при x → +∞.Доказательство. Тривиально5. Пусть f (x) непрерывна на отрезке [a, b].
Доказать, что ∀c > 0 функция −c, если f (x) < −cf (x), если |f (x)| 6cfc (x) =c, если f (x) >cтакже непрерывна.Доказательство. Очевидно, что достаточно проверить непрерывность функции только втаких точках xi , для которых выполняется условие |f (xi )| = c.—2 —Рассмотрим какую-либо точку x0 , в которой значение функции равно, например, −c. Покажем, что lim fc (x) = fc (x0 ) = −c.
По определению непрерывности по Коши нам надоx→x0доказать, что∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x − x0 | < δ⇒|fc (x) − c| < εЕсли в δ-окрестности точки f (x0 ) есть такие точки ξ, что ξ > −c, то для них это утверждениевыполняется в силу непрерывнсти функции f (x). А для таких точек ζ, что f (ζ) < −cутверждение перепишется следующим образом:∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : 0 < |x − x0 | < δ⇒0 = |c − c| < ε,что, несомненно, верно.6. Пусть f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Доказать, что функции m(x) = inf f (y) и M (x) =a6y<x= sup f (y) также непрерывны на отрезке [a, b].a6y<xДоказательство. По теореме о достижении функцией, непрерывной на отрезке, точнойверхней и точной нижней граней на любом отрезке [a, xi ] функция f (x) этих значений достигает.
Теперь имеем право воспользоваться предыдущей задачей, из которой следует, чтоM (x) и m(x) – непрерывны, так как являются кусочно заданными функциями: на некоторых отрезках они совпадают с f (x), а на некоторых – тождественно равны константе.7. Пусть f (x) непрерывна и ограничена на интервале (a, +∞).
Доказать, что для любого действительного числа T найдётся последовательность xn → ∞, такая, что lim (f (xn + T ) −n→+∞− f (xn )) = 0Доказательство. . . . I don‘t know—3 —8. Пусть f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Доказать, что1 )+···+f (xn )∃ξ ∈ (a, b) : f (ξ) = f (x0 )+f (xn+1Доказательство. По теореме о достижении функцией, непрерывной на отрезке, точнойверхней и точной нижней граней существуют такие точки, в которых значения функции(xn )сверхуравны M и m соответственно. В таком случае оценим выражение ζ = f (x0 )+···+fn+1и снизу:m + ··· + mf (x0 ) + · · · + f (xn )M + ··· + Mm=6<= M.n+1n+1n+1В таком случае по теореме Коши о промежуточных значениях ∃ξ : f (ξ) = ζ.9.
Доказать, что для того, чтобы функцию f (x), непрерывную на конечном интервале (a, b),можно было продолжить непрерывным образом на [a; b] необходимо и достаточно, чтобыфункция f (x) была равномерно непрерывна на интервале (a, b).Доказательство. Чтобы продолжить функцию равномерным образом с интервала на отрезок нам нужно определить значения ζ = f (a) и ξ = f (b) таким образом, чтобы lim f (x) = ζx→a+и lim f (x) = ξ. Докажем необходимость и достаточность равномерной непрерывности дляx→b−одного из этих пределов, например, для второго.Достаточность: почти очевидно.Необходимость: из равномерной непрерывности функции на (a, b) следует, что любая последовательность {ξn } : ξi → b слева является фундаментальной, а значит имеет предел,равный l.
От противного доказываем, что для любой последовательности этот предел будет одним и тем же, а значит функция f (x) будет иметь предел при x → b равный l поопределению предела функции по Гейне.10. Пусть функция f (x) определена на всей числовой оси, непрерывна хотя бы в одной точке,периодична и отлична от постоянной.
Доказать, что она имеет наименьший положительныйпериод.Доказательство. Так как функция отлична от константы, то существует как минимум дваеё различных значения y1 и y2 . Запишем по опеределению тот факт, что f (x) непрерывнав некоторой точке x0 :lim f (x) = f (x0 ) = y1x→x0Предположим противное: наименьшего положительного периода нет.
Тогда предъявим последовательность Гейне {xn } : xn = xn−1 + tn , где f (x1 ) = y2 , 0 < · · · < tn < tn−1 < . . .– последовательность периодов, xn → x0 . В таком случае получаем противоречие с тем,что f (x) – непрерывна в точке x0 .—4 —11. Пусть функция f (x) непрерывна на всей числовой оси, отлична от постоянной и удовлетворяет функциональному уравнению f (x + y) = f (x)f (y). Доказать, что f (x) = ax , гдеa = f (1). Доказать, что в этой задаче условие непрерывности можно заменить на условиеограниченности функции на любом интервале (0; α).Доказательство. Покажем, что f (0) = 1. Далее легко проверяется, что ∀n ∈ N f (n) = an ,из этого следует то, что f (m) = am ∀m ∈ Z.
Теперь, располагая этим, покажем, что этоже верно и для x = mn ∈ Q:f (1/n + · · · + 1/n) = f (1) = a⇒f n (1/n) = aВ таком случае понятно, что ∀x ∈ R x = lim sn (x),n→+∞рывности f (x) следует, что f (x) = lim f (sn (x)) =n→+∞⇒f (1/n) = a1/nxi ∈ Q, а следовательно из непре-ax .Теперь докажем вторую часть утверждения. Вполне очевидно, что f (x) монотонна. А разона монотонна и ограничена, от она имеет предел при x → α. А значит это то же самое,что она непрерывна в любой точке α ∈ R. Q.E.D.12. Привести пример функции, определённой на всей числовой оси, непрерывной и разрывнойпочти всюду на ней.Ответ:(f (x) =0,если x ∈ R \ Q1n,если x =mn∈QДоказательство.
Покажем, что во всех рациональных точках она разрывна: действительно, так как между двумя рациональными точками всегда найдётся вещественное число, тов рациональных точках эта функция разрывна.В каждой иррациональной точке эта функция непрерывна, так как для любой последовательности Гейне, сходящейся к этой точке lim xn = 0 как предел lim n1 .n→+∞n→+∞13. Пусть f (x) дифференцируема на [1, +∞) и lim f 0 (x) = 0. Доказать, что limx→+∞наоборот: если f (x) = o(x) при x → +∞, то lim |f 0 (x)| = 0x→+∞f (x)x=0иx→+∞Доказательство. По следствию из теоремы Лагранжа ∀x, x0 ∃t ∈ (x0 ; x) : f (x) − f (x0 ) == f 0 (t)(x − x0 ). Поделим это равенство на x и возьмём предел при x → +∞:µ¶f (x) f (x0 )lim−= lim f 0 (t)(1 − x0 /x)x→+∞x→+∞xxВ таком случае устремим и x0 → +∞, вместе с этим к бесконечности устремится t.
Длялюбого x0 имеемf (x)= lim f 0 (t) = lim f 0 (t) = 0limx→+∞x→+∞ xt→∞Докажем обратное, потребуются те же формулировки и теоремы. Если f (x) = o(x), то0(x0 )|0)lim f (x)= 0 = lim |f (x)−f= lim |f (t)|(x−x. В данном случае опять устремляемxxxx→+∞x→+∞x→+∞x0 → +∞ и получаем то, что и надо доказать.—5 —14.
Пусть уравнение x3 + px + q = 0,Доказать, что p < 0.p, q ∈ R имеет три различных вещественных корня.Доказательство. Тривиально.15. Пусть функция f (x) непрерывна на [a, +∞), f (a) < 0 и при некотором положительном kдля всех x > a выполняется неравенство f 0 (x) > k. Доказать, что уравнение f (x) = 0 имеетединственный корень на (a, a − f (a)/k).Доказательство. Очевидно, что на (a, a−f (a)/k) функция f (x) строго возрастает, по условию f (a) < 0. Для того, чтобы эта непрерывная функция на данном отрезке имела единственный корень достаточно того, чтобы f (b) = f (a − f (a)/k) > 0. Докажем это.Рассмотрим функцию g(x) = f (a) + k(x − a), g 0 (x) = k. Получаем, что g(b) = 0.
Тогда таккак ∀x > a f 0 (x) > g 0 (x) = k и f (a) = g(a), то ∀x > a f (x) > g(x). Тргда f (b) > 0. Что итребовалось доказать.16. Пусть функции f (x) и g(x) дифференцируемы n раз при x > x0 , пусть также f (x0 ) = g(x0 ),f (k) (x0 ) = g (k) (x0 ) при k = 1, . .
. n − 1 и f (n) (x) > g (n) (x) при всех x > x0 . Доказать, что приx > x0 справедиливо неравенство f (x) > g(x).Доказательство. Запишем по определению f (n) (x0 ) > g (n) (x0 ):f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 )g (n−1) (x) − g (n−1) (x0 )> limx→x0x→x0 +x − x0x − x0limТак как оба этих предела существуют, то имеем право переписать в видеÃ!f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) g (n−1) (x) − g (n−1) (x0 )lim−>0x→x0 +x − x0x − x0Учитывая, что f (n−1) (x0 ) = g (n−1) (x0 ), получаем, чтоÃ!f (n−1) (x) − g (n−1) (x)lim>0x→x0 +x − x0Таким образом ∀x > x0f (n−1) (x) > g (n−1) (x)Повторяя похожую операцию n раз, получаем, что ∀x > x0f (x) > g(x)17.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
