Calculus - Colloc01 - V.N. Chubarikov (1108268)
Текст из файла
Вопросы к коллоквиуму №1I семестр, I поток, осень 2006 г.1 Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения, функции.Взаимно-однозначное соответствие. Обратная функция.2 Эквивалентность множеств. Счётные множества. Счётность множества рациональных чисел.3 Теорема Г. Кантора о неэквивалентности множества и множества всех его подмножеств.4 Множество мощности континуум. Несчётность континуума.√5 Иррациональность 2.
Десятичная запись вещественного числа. Свойства вещественных чисел.Аксиома Архимеда.6 Теорема о существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества.7 Лемма об отделимости множеств. Лемма о системе вложенных отрезков. Лемма о последовательности стягивающихся отрезков.8 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности и их свойства.9 Неравенство Бернулли и бином Ньютона.10 Сходящиеся последовательности и их арифметические свойства.11 Предельный переход в неравенствах.12 Монотонные последовательности.
Теорема Вейерштрасса.13 Число e и его иррациональность. Постоянная Эйлера.14 Теорема Больцано–Вейерштрасса о существовании частичного предела ограниченной числовойпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.15 Критерий Коши сходимости последовательности.16 Теорема Штольца. Предел последовательности средних арифметических членов сходящейсяпоследовательности.
Существования решения уравнения И. Кеплера.17 Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии. Итерационная формула Герона. Предельные соотношения:lim a1/n = 1, a > 0; lim n1/n = 1.n→∞n→∞Лектор, профессор—1 —В.Н. ЧубариковЗадачи для подготовки к коллоквиуму №1I семестр, I поток, осень 2006 г.1 Пусть x, y ∈ [a, b]. Доказать, что |x − y| 6 b − a.2 Доказать равенствоx + y + |x − y|= max(x, y).23 Пусть f (1) = 2 и f (n) = f (n − 1) + 12 .
Доказать, что f (n) = 2 +n−12 .4 Построить такие множества B ⊂ A ⊂ X и отображение f : X → X, что f (A \ B) 6= f (A) \ f (B).5 Пусть f : X → Y . Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:(a) f – вложение (инъективное отображение)(b) f −1 (f (A)) = A для любого подмножества A ⊂ X.(c) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) для любых подмножеств ∀A, B ⊂ X.(d) A ∩ B = ∅⇒f (A) ∩ f (B) = ∅ (A, B ⊂ X).(e) f (A \ B) = f (A) \ f (B) для любой пары подмножеств B ⊂ A ⊂ X.6 Пусть f : A → B, g : B → C, h : C → D и отображения f ◦ g и g ◦ h биективны. Доказать, чтовсе отображения f, g, h являются биективными.7 Доказать, что множество всех конечных подмножеств множества натуральных чисел счётно.8 Доказать, что для того, чтобы множество X было бесконечно, необходимо и достаточно, чтобыдля каждого отображения f : X → X существовало такое непустое множество A ⊂ X, что A 6= Xи f (A) ⊂ A.(Указание.
Если бы f не обладала бы этим свойством и X было бесконечным, то X было бысчётным. Тогда можно считать, что X = N и f (n) > n при n > 0; это приводит к противоречию).9 Пусть E – бесконечное множество, D ⊂ E, D – не более, чем счётное множество и E \ Dбесконечно. Доказать, что E \ D и E равномощны.10 Показать, что множество всех иррациональных чисел равномощно множеству всех вещественных чисел R.11 Доказать, что [a, b] ∼ (a, b),[a, b] ∼ [a, b).12 Доказать, что sup A = − inf(−A),sup(A ∪ B) = max(sup A, sup B).13 Пусть определены выражения в правых частях соотношений.
Доказать, что справедливы следующие утверждения:(a) inf (−f (x)) = − sup f (x)x∈Ax∈A(b) sup(f (x) + g(x)) 6 sup f (x) + sup g(x)x∈Ax∈Ax∈A(c) sup(f (x) + g(x)) > sup f (x) + inf g(x), если sup g(x) существуетx∈Ax∈Ax∈A(d) sup(f (x) + c) = c + sup f (x)x∈Ax∈Aµ¶(e) supsup f (x1 , x2 ) =x1 ∈A1(f)x2 ∈A2sup(x1 ,x2 )∈A1 ×A2sup(x1 ,x2 )∈A1 ×A2f (x1 , x2 )(f (x1 ) + f (x2 )) = sup f (x1 ) + sup f (x2 ).x1 ∈A1x2 ∈A2—2 —14 Пусть B – непустое ограниченное множество вещественных чисел, b = sup B и b 6∈ B. Доказать,что b является предельной точкой множества B.15 Пусть {xn } – бесконечно малая последовательность неотрицательных вещественных чисел.Доказать, что ∀m ∈ N ∃ бесконечно много номеров n > m таких, что xn 6 xm .nknn→∞ 216 Доказать, что limlim n(a1/n − 1) = ln a, a > 0.= 0,n→∞17 Пусть lim xn = +∞.
Доказать, что limn→∞n→∞x1 +···+xnn= +∞.18 Пусть ∀n ∈ N pn > 0 и lim pn = p. Доказать, что lim (p1 . . . pn )1/n = p.n→∞n→∞¢n¡19 Исходя из равенства lim 1 + n1 = e доказать, что limn1/nn→∞ (n!)n→∞= e.20 Доказать, что последовательность an = (1 + 1/n)n+p строго убывает тогда и только тогда,когда p > 1/2.21 Доказать, что ∀r ∈ Q : |r| < 1 верно равенство 1 + r 6 er 6 1 +³´11122 Доказать, что lim n+1= ln 2.+ n+2+ · · · + 2nr1−r .n→∞23 Пусть {xn } последовательность с ограниченным изменением, т.е. ∃c > 0 : ∀n ∈ N верно неравенствоn−1X|xk+1 − xk | < c.k=1Доказать, что последовательность {xn } сходится.xn.n→∞ n24 Пусть 0 6 xm+n 6 xm + xn . Доказать, что ∃ lim25 Верно ли, что(a) lim (an + bn ) 6 lim an + lim bn , если последние пределы существуют;n→∞n→∞n→∞(b) если lim an = a и lim bn = b, то lim an bn = ab;n→∞n→∞n→∞(c) lim an = − lim (−an ).n→∞n→∞26 Пусть lim an = +∞.
Доказать, что ∃ min an .n→∞n∈N27 Пусть lim an = a. Доказать, что последовательность {an } имеет либо наибольший, либоn→∞наименьшей элемент, либо и тот и другой.28 Пусть sn = a1 + · · · + an → ∞, ak > 0,lim an = 0. Доказать, что множество предельныхn→∞точек дробных частей {sn } совпадает с отрезком [0; 1].29 Пусть lim (sn+1 − sn ) = 0 и не существует ни конечного, ни бесконечного предела lim sn ,n→∞и пусть l = lim sn ,n→∞n→∞L = lim sn . Доказать, что последовательность {sn } расположена всюдуn→∞плотно на отрезке [l; L].30(a) Пусть an > 0 и lim an = 0. Доказать, что существует бесконечно много номеров n таких,n→∞что an > max(an+1 , an+2 , . . .
).(b) Пусть an > 0 и lim an = 0. Доказать, что существует бесконечно много номеров n таких,n→∞что an < min(a1 , a2 , . . . , an−1 ).—3 —Список литературыНепосредственно подготовка к коллоквиуму начинается здесь.За часть доказательств огромное спасибо Толокольникову Александру [109], Соколовой Татьяне Владимировне [доценту кафедры мат. анализа МГИЭТ (ТУ) (г. Зеленоград)], а также всей102 группе.Борис Агафонцев, 102 группаСписок литературыc МехМат, I курс, первый поток, 2006-2007 уч.г.[1] Конспекты лекций по мат. анализу. °[2] Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н.
Чубариков. Лекции по математическому анализу, 4-еиздание, исправленное. М.: Дрофа, 2004. – 640 с.[3] И.И. Ляшко и др. Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. Справочное пособие по высшей математике, том 1. М.: Едиториал УРСС, 2001. – 360 с. [В народе– «Антидемидович»].c Первая группа,[4] Конспекты лекций И.Б. Кожухова в физико-математическом лицее №1557, °2004-2006.[5] Никольский С.М. Курс математического анализа, том 1. М.: Наука, 1983.Последние изменения: 17 октября 2006 г.Об опечатках и неточностях пишите на agava@zelnet.ruЗа информацией о последних изменениях и по другимвопросам обращайтесь по ICQ #216-059-136Верстка в системе LATEX 2ε .Краткие комментарии к вопросам, некоторые доказательства1. Надеюсь, данный вопрос не требует дополнительного освещения.
В книге [2]: лекция 1, стр. 7-13.2. Приведу осмысленное доказательство теоремы о счётности множества рациональных чисел:Теорема 1. Множества Q и N равномощны.Доказательство. ∀ m(m, n) = 1, m ∈ Z, n ∈ N введём понятие высоты h = |m| + n ∈ N.n ∈ Q,При заданном значении h для знаменателей дробей n допустимы только значения 1, 2, . . .
, h −1 в силу определения |m| = h − n > 0. Для каждых n и h допустимыми являются не болеедвух значений m (может быть и ни одного, если при данных h и n m таково, что (m, n) 6= 1).Следовательно при фиксированной высоте h имеем не более 2h − 1 пар (m, n).Пересчёт дробей будем производить следующим образом:(a) по возрастанию высоты(b) при h = const по возрастанию знаменателя(c) при h, n = const по возрастанию числителяИтак, каждое число получит свой номер, все элементы из Q будут пересчитаны.В книге [2]: лекция 2, стр. 14-16.—4 —Список литературы3. Приведу осмысленное мной доказательство теоремы Кантора:Теорема 2 (Кантора). Множество X и множество всех его подмножеств Ω = Ω(x) неравномощны.Доказательство.
Доказательство проведём методом «от противного»: пусть существует биекцияF : X ↔ Ω. Тогда назовём элемент a ∈ X правильным, если a ∈ F (a) ∈ Ω. В противном случаеэтот элемент назовём особым. Множество всех особых элементов назовём дефектом D.Множество D не пусто, потому что ∅ ∈ Ω и ∃a | F (a) = ∅, но a 6∈ ∅.Так как установлено взаимооднозначное соответсвтие, то ∃d ∈ X | F (d) = D.
Возможны двевзаимоисключающие ситуации:(a) d ∈ D. Но в множество D по определению включены все такие элементы d, что d 6∈ F (d) = D.Противоречие.(b) d 6∈ D. В этом случае элемент d – правильный, т.е. d ∈ F (d) = D. Противоречие.В книге [2]: лекция 2, стр. 16-18.4. В книге [2]: лекция 2, стр. 16-18.5.
Важно: аксиома Архимеда, свойство №17 (билет №6)В книге [2]: лекция 3, стр. 19-25; лекция 4, стр 26-28.6. В книге [2]: лекция 4, стр. 26-30.7. В книге [2]: лекция 4, §5, стр. 30-31.8. В книге [2]: лекция 5, стр. 32-35.9. В книге [2]: лекция 5, стр. 35-39.—5 —1 Пределы числовых последовательностей10. Изложение данного материала в книге лично мне кажется несколько неестественным, поэтомуприведу другие доказательства, основанные на определении предела последовательности, взятыеиз [4]:1Пределы числовых последовательностейIf I have seen further than others, it is by standingupon the shoulders of giants.Isaac Newton1.1Определение числовой последовательности. Ограниченность.Определение.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
