Calculus - Colloc02 - V.N. Chubarikov (1108269), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть функция f (x) имеет производную (n − 1)-го порядка на интервале (a, b) и n раз дифференцируема на отрезке [a, b] и справделивы равенства f (x0 ) = f (x1 ) = · · · = f (xn ) (a == x0 < x1 < · · · < xn = b). Доказать, что ∃ξ ∈ (a, b) : f (n) (ξ) = 0Доказательство. Можем назвать это утверждение «обощённой теоремой Ролля». Напомнюформулировку самой теоремы Ролля:Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b). Пусть также f (a) = f (b). Тогда∃ξ : f 0 (ξ) = 0—6 —Рассмотрим функцию f (x) на каждом из отрезков [xi ; xi+1 ].

По теореме Ролля на этихотрезках ∃ξ1i : f 0 (ξ1i ) = 0. Рассматривая теперь функцию f 0 (x) на отрезках [ξ1i ; ξ1i+1 ] по тойже самой теореме Ролля получаем, что ∃ξ2i : f 00 (ξ2i ) = 0. Так можно продолжить n раз, темсамым показав верность данного утверждения.18. Доказать, что функция½2e−1/x , если x 6= 00,если x = 0f (x) =бесконечно дифференцируема при x = 02Доказательство. Возьмём первую и вторую производные функции y = e−1/x :2e−1/xy =2x302y 00 = 42e−1/xe−1/x−6x6x4Очевидно, что все следующие производные будут представляться в виде суммы слагаемыхвида C e−1/x2xk2e−1/xkx→0 x.

Рассмотрим limtk2et→±∞ t= lim= 0.Таким образом мы получили, что левая и правая производная непрерывной функции вточке x0 = 0 существуют и равны между собой.Последние изменения: 26 ноября 2006 г.Автор: Борис Агафонцев, 102 группаОб опечатках и неточностях пишите на agava@zelnet.ruЗа информацией о последних изменениях и по другимвопросам обращайтесь по ICQ #216-059-136Верстка в системе LATEX 2ε .—7 —.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий