С.П. Стрелков, Д.В. Сивухин, В.А. Угаров, И.А. Яковлев - Сборник задач по общему курсу физики. Т1. Механика (1108148), страница 53
Текст из файла (страница 53)
12~ = — 14М с + с (т~ — тг)), 2М 1,4г2 г О = — (ЛХ с — с (гп; — т;)). 2Лг ' (771. 2) Отсюда Т1 = 141 — т1с .= — ((М вЂ” гпг) — тг), г сг 2 2 2Лг с- г Тг =- — ((Лу — тг) — гп1 ). 2М То = 71 + -12 -12 = -10 2) Ро=Р~Ч Рг, Рг=ро — Рг, 2 2 2 2 2 (ро — р~) = р., рг — рг — ро = — 2рор1 совО4. Но ргс = Т(Т+ 2тсг), поэтому 2Т~ (Ть -1- 2тсг) Рг Р1 Ре = сг (772.1) С другой стороны: -2рор~ совО =— 42со~ (772.2) Приравнивая (772.1) и (772г2), получим после некоторых алгебраических преобразований. Ть сове О~ Т 1+ — —, вшго~ 2 гпсг 772. Запишем законы сохранения энергии и импульса для процесса соударения: ПРИЛОЖЕНИЕ З = Г(1 — — х), ! = Г(З' + —, х'), х =Г(х — )г!), у =у, х = Г(х'-~)г!'), у = у', з = з', где (2) В (2) входит постоянная скорость относительного движения двух систем от- счета, поэтому à — постоянная величина.
Ниже вводится величина у = 1г' )! — г','с'. в которую входит переменная скорость частицы о. Преобразования Лоренца (1) и (1') подразумевают, что наборы часов, покоящихся в каждой системе отсчета, синхронизованы по Эйнштейну, а в момент совпадения начал отсчета О и О часы из систем К и К~, находящиеся в точке О, О', показывают соответственно г = 0 и Е = О. Если рассмотреть два события с координатами (хп уп зп !1) и (хы уэ, зз, !з), то, записав для каждого из них преобразования (1) и составив разности:г',— — х, =гзх,у,,— у, =-гзу,з,— з, =гзз,ь.,— г, =-ььт,х — х|=гзхитд.,мы В специальной теории относительности (СТО) под событием понимают все то, что происходит в данной точке пространства в данный момент времени.
В СТО рассматриваются только инерг(иильньге сисшежы огпсчета, которые определяются как системы отсчета, в которых справедливы все три закона Ньютона. Все инерциальные системы отсчета движутся друг относительно друга равномерно и поступательно (с различными скоростями) В задачах предполагается, что во всех системах отсчета оси у, у' и з, з' соответственно параллельны друг другу, а относительная скорость любых двух систем отсчета направлена по общей оси х, х'. Скорость системы К' относительно К обозначается через )г (скорость системы К относительно К равна †'). Система отсчета всегда связана с материальными телами, и поэтому ее скорость )' всегда меньше с. Здесь и всюду через с обозначена скорость электромагнитных волн (света) в вакууме В каждой системе отсчета можно определить координаты любого события (в «координатыь включается также и время наступления события). Преобразования Лоренца — зто преобразование координат события при переходе от одной системы к другой Эти преобразования при переходе от К к К' и от К' к К имеют следующий вид: 237 Приложение получим удобные формулы для преобразования пространственных расстояний и промежутков времени между событиями: г)х' = Г(лзх — )л!та), г.'ту' = г) у, тат' = Г(!л! — „тлх), г.'тх = Г(глх' Ч- )ллэ!'), Ьу = Ьу', ст! — Г(!л! + —, тлх ).
(3) (3') Промежутком собственного времени между двумя событиями называется промежуток времени, отсчитываемый в той системе отсчета, в которой эти два события наступают в одной точке; промежуток собственного времени отсчитывается одними часами; здесь мы его будем обозначать через !лт. Промежуток собственного времени для двух данных событий можно отсчитать лишь в одной системе отсчета.
Во всех других системах отсчета эти события наступают уже в разных точках, и промежуток времени между их наступлением отсчитывается уже двумя часами, находившимися в точках, где наступили события. Отсчитанный промежуток времени будет промежутком координатного времени лз!. Промежутки координатного и собственного времени пропорциональны друг другу: (4) !лт = Г!лт. При переходе от одной системы отсчета к другой компоненты скорости преобразуются следуюшим образом; для перехода от Л' к К с„' ту! — Ъ"-'/с! с' ~! — ~'т/ст 1 -1- —, с„' 1+ — с' ст г '* с! чу у 1 Ч- — с,' сз для перехода от К к К' св тг ! — !'-','сд и„ 1 — — с„ ст и' = ' (6) 1 — — с„ гз с„— у 'х= 11 ст Сигналом в СТО называется любой способ передачи энергии и импульса из одной точки пространства в другую, так что, передав сигнал, можно инициировать (прекратить) некоторое явление или включить (или выключить) какой-либо прибор.
СТО учит, что всякая передача энергии связана с передачей импульса. Скорость передачи сигнала не может превышать с. Интервалом между двумя событиями 1 и 2 называется выражение ь! 2 с (сэ И) (хз т!) (уз у!) (зэ з!), (7) 1!э=та — 1! =Ж !!т =- (хэ — х!) + (уэ — у!) + (лг — л!) = (!хх) + (!ху) + (!хг) . (8) Тогда в!г = с'!ы — !!г = с'(т!!)з (Ьх) — (!ту) (лг) . (9) где (х!, !у!, г!, !! ) и (х, у!, за, !э) — координаты первого и второго событий. Удобно ввести обозначения 238 Приложение Основное свойство интервала — его инвариантность по отношению к преобра- зованиям Лоренца: 2 2 2 2 42 2 42 12 эщ = — с !12 112 — — з12 -= с 142 — (и (10) Релятивистское уравнение движения частицы имеет вид 4! — (тухг) = Е, Ж где Т(2) = 1 444 ! — с 2 (2) 2'сз о =- с(!) — скорость частицы.
Полная энергия частицы (12) тс ,'! — сз(2)(сз ' (13) зрг = 4' — 4'о = тс ( à — 1), (14) где Ко = гпсз — энергия покоя частицы. В формулах (11)-(14) через т обозначена масса покоя. Никакой другой массы ни в формулировках задач, ни в решениях не встречается. Очень плодотворной оказалась четырехмерная интерпретация теории относительности. В 4-пространстве-времеии (эмир Минковского» ) в каждой точке с координатами (х,у,з,!) может наступать событие.
Существенное упрощение в выкладках достигается введением четвертой мнимой координаты ') зс! и симметризацией обозначений х1 = х, хз = у, хз = 2, х4 —— тс! (2 = †!). Таким образом, вводится 4-радиус-вектор В (4-векторы обозначаются стрелочкой над буквой) с компонентами: Х1 Хз ХЗ Х4 1,х У 2 зст/ (15) Преобразования Лоренца — это преобразование компонент 4-вектора К: 24 — 1(С4 4 11), с Х4 = 1 ( Х4 -ь '4 — х1).
Х1 = Г(:21 -1- 1,— Х4), с Х1 = — Г(Х1 — 2 — Х4), с Хз =Х4, Хз Х2 хз =- хз, (!6) хз = хз, (16') (С помощью (15) нетрудно проверить, что эти формулы совпадают с (!) и (1').) ') Необходимо подчеркнуть, что появление мнимой координаты связано исключительно с тем, что мы хотим сохранить тот вид основных геометрических формул, к которому привыкли в трехмерном евклидовом пространстве. Можно избежать введения мнимой координаты, но тогда появляется необходимость введения метрического тензора и разделения ко- и контравариантных координат; введение этих понятий едва ли оправдано в курсе общей физики.
Кинетическая энергия в релятивистской механике '1'„ определяется как разность 239 Приложение Все 4-векторы преобразуются по правилам преобразования 4-радиуса-вектора. Если заданы компоненты 4-вектора А(АпАл Ам А,) в системе К, то компоненты этого же вектора в К' найдутся по формулам (мы приводим также и формулы обратного перехода): Аз = Аз, А~=Аз, Аз = А, А,=А',, Квадрат модуля 4-вектора является инвариантом и определяется по формуле А =А~ +Аз+Аз+А1 — А( +Аз -ЬАз +Аз. (18) В механике СТО вводят 4-векторы: 4-скорости Йй. Йт где Йт = ЙГ,УТ вЂ” собственное время частицы.
Компонентами 4-скорости являются (приводим обычные и симметричные обозначения в фигурных скобках, а также сокрашенное обозначение с использованием трехмерных векторных величин) и~ из из из (... )ж--= Пч„У»ь Тс, !сУ ) (19) 4-импульса (20) Р = тч, где пз — инвариантная масса покоя, с компонентами т Й 1з 13 Рз туч, пас» туч, г — ! 1, с) (21) (22) ( Ж Вз 3з Ь Г„Ги Г„-'~(Р ) ~ = 'УУ', У( )) с (23) (24) ш~ шя шз шз -( уз» т ууч !суу ) (25) сур Йч — = гп — = Р Йт Йт (26) А~ = Г(А1+ з — А4), .
ь' А1 = Г(А1 — 1 — Ао), с В (21) р — релятивистский импульс частицы: р=уп~ч, а К вЂ” релятивистская энергия частицы (13); 4-силву Минковского Р с компонентами где Р— обычная трехмерная сила; 4-ускорения Йч ЪУ =— Йт с компонентами Запишем четырехмерное уравнение движения А4 = Г(Аз — 1 — А~), (!7) .К с ус Аз = Г(А'„+ з — А(). (17') 240 Приложение в компонентах (первые трн компоненты сведены в одно трехмерное векторное уравнение): — (гп «») = Р, о' Ф йь (тс «) = Р». (27) (28) Уравнения (27) и (28) легко получаются из (24), если воспользоваться (21), (23) и учест~, что с(т = с(1)7. Используя (!7) н определение (21), получим закон преобразования импульса н энергии частицы.
р,', = Р(р„ — '„ (г), р'„ = р„, р', = р„ ((' = Г(8 — Ур,). (29) Из определения релятивистской энергии частицы и релятивистского импульса следует полезное соотношение тсз«р р=ту»= »= —,». с' са (30) (31) где суммирование ведется по всем частицам, а (ы и р„определяются согласно (13) и (22). Для системы невзаимодействующих частиц можно определить также скорость центра масс системы. Из (29) видно, что для того, чтобы р'„= О, необходимо скорость Г принять равной 1' = с р «'Г. (32) Обобщение этого результата на систему частиц очевидно \г— ~к, (33) Для системы невзаимодействующих частиц масса ЛХ системы определяется соотнощением .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
