С.П. Стрелков, Д.В. Сивухин, В.А. Угаров, И.А. Яковлев - Сборник задач по общему курсу физики. Т1. Механика (1108148), страница 52
Текст из файла (страница 52)
от — = — ( Š— —, (Е»)). и! (. Указание. Раскрыть левую часть (11), произведя дифференцирование, и учесть (28). 751. Выберем ось д параллельно начальной скорости электрона, а ось х— в направлении, противоположном полю Е. Движение происходит в плоскости ху Уравнение движения запишется в виде — =- еЕ, ор о',! поскольку сила, действующая со стороны электрического поля на заряд, равна еЕ. Импульс — релятивистский — Р = пьт». Уравнение движения в компо- нентах Р, = еЕ, Р„ = О, откУда Р, = еЕ! + Ро„ Р,, = Рою Так как, исходЯ из начальных Условий, Рое = О, а Роя — — Ро, то Р = Р + Рэ = (еЕ!) +Ро. П.-...,..
° ° »-5-Е ° -.- ° г -ь,~~Ее ",ои ° б =Ею( ! е~е, Н= ге Ьг. сз Согласно (ЗО)» = —,р, откуда х е!х р сэ ау ряс~ — оэ —— о! Е' Ж й Подставляя полученные выше выражения для р„, р, и 8 и интегрируя, с уче- том начальных условий найдем х = — йь+ (сеЕ1)' —— г йь еЕ еЕ рьс сеЕ! у = — АгвЬ еЕ (ь Следствием этой формулы должен быть классический закон сложения скоростей. Однако он получается только при условии А = 0 е! г ть 748. ( 1 = Г. Интегрируя, получим о! ° ~! — (»тс)т л 230 Ответы и решения Исключив Г из этой системы, получим траекторию Е ( .
) (цепная линия). Для сравнения с классическим результатом (он предполагается известным) полагают оггс « 1 Тогда У вЂ” 1, Ро = гное, а Во = тс'. КРоме этого, нУжно использовать формулу, годную для а « 1: аг сЬ а = 1 -1- + ... 2 752. Кинетическая энергия равна работе поля, так что 7'„= гпс (у — 1) = еИ, ер откуда у = 1 -1- —,, а следовательно, о = стуг! — (1гу)г . Окончательно: пгез 2~Х 1 -1- етг)(2<пег) т (! 4 е!г (пи г))г Если е)г « тс', то если еИ )) тс, то я=с[1 — — ( )1 с. последние преобразования выполнены для ультрарелятивистских частиц, когда, согласно (30), для в = с имеем р = 1г,гс, а )ггс - 1.
Этот же результат легко получается из обшей формулы (13) !г,=те у, где у' относится к скорости частицы 1 в системе Л'. Согласно (6) о!' = —, у' = = уг(1,'- в,гс') = 2уг. уу ! — (е'гге)-' Но в системе Л Г = т, и следовательно, )уг = 27<<псе, т. е. )Г! = 2ГК. Отсюда видно, что ту же <полезную» энергию столкновения можно получить при покоящейся частице 2, разгоняя частицу / до энергии 2Г(г, в Г раз большей, чем для <встречных» пучков.
754. Релятивистское уравнение движения имеет вид <! е, — (твом)! = — (чН). е!! с' В последних двух случаях используется разложение подкоренного выражения основной формулы в ряд по малому параметру. 753. В лабораторной системе Л 3! = (гг = тс<Т = (Г; импульсы частиц р! = — туч, рз = т7»г; 4-векторы частиц: Рг( — Р, — Ф), Рг(Р, — 3). В системе Л', где частица 2 покоится (ч', = О), р', = 0 Согласно (29) )г', = Г((г, — ! р„) = Г(5 + Г 3) = 2Г(г; с 231 9 14. Спеииальная теория относительности Так как магнитное поле не меняет энергии частицы и т = сопвд то уравнение аижения и инимает ви д Р д — (иН), где множитель перед векторным произведением — постоянная величина.
Это уравнение движения отличается от нерелятивистского только тем, что вместо массы тела т стоит масса т ~. 755. По закону сохранения энергии кинетическая энергия 7'„ полностью расходуется на работу против сил поля: 7; = 8 — птс =- еЕ1, откуда и можно 2 определить 1. Другой способ использует соотношение где г — время полной остановки частицы. Из формулы (30) о = сзр/)г, а из (1!) йр = еЕ с(1, поэтому о а о Ро ео с 1 рз+ тзс! — гпс) = (5 — пгс ). сЕ о сЕ 756. Воспользовавшись разложением бинома: получим для (о/с) «1: тьз 3 тиз 'Г„=- тс ( у — 1) =- Составив отношение второго члена Т„к первому, приравняем это отношение одной сотой 3 цз е Г4 — — = 0,01, откуда — = О, 1)) —.
4 се с 3 В этом же приближении: 7, ез/сз ! тот 2 130 757. Энергия покоя электрона 0,51 МэВ, протона — 938,2МэВ. 758. Если пренебречь потерями при распространении света, полная энергия, излучаемая Солнцем в секунду, равна солнечной постоянной, умноженной на площадь сферы, проведенной из центра Солнпа радиусом, равным расстоянию от Солнца до Земли. Эта площадь равна 3. 10аз мз, а энергия (1,4Дж!(с.мз)) . (3. 10зз м~) — 4 10~~ Дж/с. Таким образом, Солнце за счет излучения света теряет в секунду массу: 4 !паз Дж/с 9 !Ом гу . 4 10 кг!с. 232 Отвегаь» и решения » и» вЂ” — Г! и» + з — и»), из = ии из = из, и, = Г(оч — ! — и»); с с подставляя значения компонент, имеем у о„= Г(уо., — у)г), "» о =-»о„, » о, = уо,; (6. ) »с у' = Г((су — тВ уо,).
7 0.1 Из последнего равенства вытекает, что С помощью этого соотношения три первых равенства (760.1) сводятся к (6). 761. 1) Воспользуемся соотношениями (5), связывающими значения о, о„, о, и о'„, о'„, о'„для того, чтобы найти связь между бесконечна малыми приращениями скоростей г(г», и с»ю,' (и остальных). Имеем ! — !/з/сз г (! 4- ! о' /сз)з Разделим обе части этого равенства почленно на Ж = Г(Ж -~ —,г(х ) А сз (см. (3)). Левая часть полученного равенства г»о„»»г(» даст значение ускорения тела о„в системе К, а отношение г(о,',»й' = о,' — ускорение тела в системе К'.
Окончательно имеем о, Гз(! Ч. уг ~ » з)з * Г' (! + !го„'усз)з Формула для о', записывается аналогично формуле для бо Движение тела в системе К не будет равноускоренным даже а том случае, если оно равно- ускоренно в К', так как о„бю о„зависят от о',. 2) В формулы (17) подставляют значения компонент 4-вектора ЪЧ и ЪЧ'. ~м Яо + - ~чу, ес"»ч ), ху»7 ("» о + охъ -!, осу -'» ). Из соотношения А» = Г(А» — 1 — А4»» следует, например, .
1» с ы.г 7 о„+ уо,у = Г(» с„+ у »9 у — ! — гсу у ). с Или г уо„+ оьб = Г (у о,. + у о„ч-)гб ). т (761.1) Десятая часть массы Солнца составляет 2. !О'з кг. Она будет израсходована за 2 10з~,»4 10з = 5 10- с = 10'з лет 760. Пусть в К задана 4-скорость ту(уо,»су). Компоненты 4-скорости в системе К выразятся уже через новые переменные: зг(у о,осу ), так как абсолютная величина скорости меняется: 7 ф у'. Используя формулы (17) и (19), запишем 3 14.
Спеу(иальная теория относительности 233 1/ Из соотношения Аэ = Г(А~ Ч-2 — А',) следует: с у.=à — ('у 4 —,(уи,+ ус,)). у -у с2 (761.2) Используя соотношение à — = у 14 го'ус2 и (761Г2), найдем выражение для 26 из (761.1), совпадающее с выражением, найденным способом (1).
Для нахождения формул преобразования ии и о. нужно воспользоваться соотношениями Аз = А'„Аз = Аз 762. В системе Ко 4-имнульс: Ро(0,2(уо/с), где ро = упс — энергия покоя. Переход к К' производим по формулам (!7). Р( =- 1'1 Р~ + 2 — Рэ), Р2 = Р2, с 2 Рз =- Рз, Р„=- Г( Рг — 2 — Р1 ), с т.е. р', = — Г йо = — 3 = — И, так как Уг = 1 ро, р = р= = О. т'у с Ь'22с,, 3 с с со 2 .-г то из 763. Р = Р(2 Ь Р22 + Р2 2+ Рэе = р —,, = (т"ум~у) — ( ) = — тес2, с ,г рз — „= — тгсо, 3 = сиуря Ч- нуусу. 764. В системе К"; Р = Р(Р,О).
Используя (17), яолучим -у'Р' = Р -' у'(Р.'27) = Г( —,— Р,), с с (764. 1) откуда (так как -у' = Г) Физический смысл равенства (764.1) предоставляем выяснить читателям. 2 ч — Ч 4 (1' — 1) „((чЧ) Ч Г/2) 765. ч' = ч!, Ч- чь = — — — — —: —,,— — — — -, Г(1 — чЧУсе) (à — 1Ц"Ч)Ч (чЧ)ч ч'=,, ив + 1 9 122212 Г222с2 ' Ь (аЬ) Ь Ь а1 = — =- — „(аЬ), аь = а — ау =- а — —, (аЬ).
Ь Ь Ь2 ' Ь2 3-радиус-вектор можно представить, следовательно, так: Ъ' Ъ' г = гь + г1 = —, (гЪ ) Ч- г — —, (гЪ ), 122 1 '2 г1 = л1, гь = уз + з1с. где з .= 1 — чЪ"у'с'. Р е ш е н и е. В векторной записи необходимо различать яреобразование векторов, параллельных направлению относительной скорости и перяендикулярных к ней.
Если есть два вектора а и Ь, то слагающими вектора а, параллельными и перпендикулярными вектору Ь, будут векторы 234 Ответы и решения Помня о том, что пространство изотропно и что ось г в наших обычных формулах (1) направлена по 22, можно переписать (1) следующим образом: гх = г; г! = Г(г! — 2Х!), г' = г'~ Ч- г!, = Гх ж Г(г! — Дт!) = Г(г — Ч!) Ч- (! — Г)г = Г(г — 222) + (1 — Г), = Г(г — 222) + (à — 1) рс = 2/Т(Т+ 22ис2) . 767. Исходя из (30) и результата задачи 763, имеем с2 ср ч=, р= Ч~тзсз -!- р- 768.
Исходим из соотношения 3 = !2о22~~! — о2,2сз, откуда ч22с = = ч2! — (!Хо,2!2)2, где ро = тис'. Для перехода к нерелятивистскому случаю нужно учесть, что 8 = 7'+ тс', причем по условию задачи Т « тс'. Тогда: о22с = 2 2Т!0ю. Ультрарелятивистский случай соответствует неравенству (!2о226) « 1, откуда о/с — ! 22( (6 2~',)2 769. Запишем законы сохранения энергии и импульса: 2 2 Е2 = п22с, Е2 .= тяс ч- Т2, р2 =- О, рг задан. Е2-1-Е = Е, где Р2+Р2 = р где Масса ЛХ образовавшейся системы определяется из соотношения ЛХ с = —, — Р .=.с (т2+ те) + 2Тть 22 Е2 2 2 с- Суммарная масса примерно равна сумме масс исходных частиц, если (т т222сз) « (пн ч- тз)2.
скорость образовавшейся частицы 2Я22тжзР2 Е (т2 + т2)сз ж Тз Аналогично для преобразования скорости и ускорения нужно воспользоваться формулами (6) и формулами, полученными в задаче 76!. Формула для ч' может быть получена дифференцированием формулы для г' по М' = Ъ' = Г(Ж вЂ” —,2(г). Аналогичным образом из формулы для ч можно получить с2 выражение для О . 22 766.
Воспользуемся соотношениями р = —, — ти с, 8 = тс + Т. Подс2 ставляя !ч выраженное через Т, в выражение для импульса, непосредственно находим 2 14. Сггециальная теория относительности 235 770. М сг = — Р', Е = Е~ и- Ег, Ег 2 = с рг2 Ч- тг,с', Р = Р~ Ч- Рш где индексы 1 и 2 относятся к частицам, возникшим после распада, г 2 (Е~ ч-Ег)2 ( сг = (т~ + гпг)с + 2( — р~р созО). в системе, где 771.
Запишем законы сохранения энергии и импульса покоится исходное тело: Мог = (41 ч- О, р~ ч- рг = О, (771.1) откуда р, '= рг, т. е. (74 — т,с = 11, — пг,с, или (П вЂ” 172 —— с (т, — тг). 2 24 г 44 .2,2 4 г Разделив это на (771.1), получим гы — 122 = (т( — т,). И Из (771.1) и (771.2) найдем )Г~ и 112..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
