С.П. Стрелков, Д.В. Сивухин, В.А. Угаров, И.А. Яковлев - Сборник задач по общему курсу физики. Т1. Механика (1108148), страница 51
Текст из файла (страница 51)
725. Если на корабле отсчитан промежуток собственного времени гх1', то по земным часам будет отсчитан промежуток гхг =- Ггхз', где Г = 25/7, поэтому В = )гг'.гс = — с — зь1' =- 24ст 24 25 25 7 (Г'.Ь1' = 7т, т = 1 с). г=ьф багз . 727. Да, увидит; если пренебречь временем реакции глаза, мгновенно! 728. о = с/гйпо В обоих случаях скорости о не соответствуют распространению какого-либо физического объекта, а потому не являются скоростями распространения сигнала 729.
Пусть источник покоится в К, а наблюдатель — в К'. Если источник посылает импульсы с интервалом Т, то удаляющийся наблюдатель в К' получает эти сигналы через промежуток времени Т = 1 Т вЂ” 1-Ъ7с гпо часам К) Чтобы получить промежуток времени по часах наблюдателя К, следует перейти к собственному времени наблюдателя 7о, для которого То, = П+ Р7с,, = (1ггГ)Т', и мы получим 7о —— - )1 Т. Переходя к частотам, получим 'у' 1 — Ь'Г'с Аналогично, при сближении источника и наблюдателя Л+ЪУс ш = 1) — — ь'о.
'11 1- ь:1'с 726. Обозначим длину стержня в системе К через 1. Тогда промежуток времени ззг между посылкой и приходом светового сигнала в О можно сосчитать так. Время, необходимое свету, чтобы дойти до зеркала Вы равно 1~ = 1Дс — Ц, а чтобы после отражения вернуться к источнику гз = =- 1Дс + И). Ясно, что Ы = 1~ + Г, = (21Гс)Г'. Но Ь1 =- ГЬто =- Г(21огс). Из двух последних равенств следует искомая формула 225 3 14.
Специальная жеория огпносипгельности 730. 1) Используя формулу (3), получим при г.'гг = 0 гьь' = — Г()г,ге~)гьх ф О. 2) Используя формулу (3), получим при гзх = 0 г.'Ьх' = — Г(гг.'гг ф О. 731. Очевидно, 1ь = хг — хо Однако по формуле (3) ььх' = — Г)гг.'ьг = П (ггх = О), поскольку гьг = Гг — аи 732. ЬЬ = Ьть. Согласно (3) гьх' = — Г)гглто, а наблюдатель из К' должен считать гль = — (глх'гг)'); отсюда ЬУ = Ггхто. 733.
В системе К проекции стержня на оси х и у будут равны гьх = = гьх',гГ, гт,у = г.'гу'. Очевидно, (о = (гьх') + (гьу')г, а 13 р' = гьгд'углх', таким образом, в системе К: —,Ъ') Т~и— -гг) ! тгг Гь — —, (г'.Ьх')г = (ь 1 — —, созг Р', так как г)гх' = 1ь сов за'. Что касается угла:р, то он определится из соотношения гьу Гр н= — =11 р. н 734. Из формул (!) и (1'), положив 1 = 0 и Г' = О, получим искомые формулы. Различие в знаках обусловлено тем, что для К направление относительной скорости совпадает с положительным направлением оси х, а для системы К' эти направления противоположны. 735.
В системе К все точки стержня пересекают ось х, х' одновременно, однако этого нет в системе К'. В момент времени г = 0 (по часам К) часы из К вдоль положительной части оси х отстают от часов системы К, а вдоль отрицательной части их опережают (см задачу 734). Значит, по часам системы К' в момент У = 0 правый конец стержня уже пересечет ось х~, а левый будет только к ней приближаться, но середина стержня в момент У = О будет находиться на оси х (в начале координат). Следовательно, в системе К' стержень несколько наклонен по отношению к оси х,х'.
В системе К правый конец пересекает ось х в точке х~ = 1огг2 в момент 1 = О. Координаты этого же события в системе К' (см (1)): х'.= Пьгг2, Г = = — Г(1ь,г2)()гггс'). Но нам нужно положение правого копна в момент У = О, т.е, на время й' = Г((ь,г2)()гггс') позже.
Чтобы определить положение правого конца в этот момент времени, нужно знать компоненту скорости стержня по оси у в системе К'. Она найдется по формуле (6). иь = и,ГГ, тогда как ш', = — В момент У = 0 правый конец окажется в точке с координатами у„' = ги'„й' = (геГГ) Г(1ь,г2) (Ъгггс') = (1оГ2) (ги('ггс ), хо = Г((ь/2) = ш',й' = Па,Г2 — )гГ((ьгг2) ()'ггс') = = Г((ьгг2)(1 — 1' ггс ) = ((ьгг2Г). 8 Под ред. И.А. Яковлева 226 Отвешьг и решения Имея в виду, что в этот момент времени середина стержня находится в начале координат, получим для угла Эг' значение: !8 х = уо,гхо = Гш)',Гс . 736. Соударения не произойдет и в системе К'.
В системе К' стержень не подвергается лоренцеву сокрашению, но плоскость движущейся пластинки наклоняется (ср решение задачи 735). В итоге метровый стержень с полностью «сохранившейся» длиной проскальзывает через сократившееся отверстие, но расположенное уже под углом к стержню. При этом концы стержня в системе К проходят через плоскость пластинки не одновременно.
737. Запишем последовательно выполняемые преобразования Лоренца, при переходе от системы К к системе К' и от системы К' к системе К": 1 — Их!'сз, х — И!! тгà — (!Чср тг! — %!с)а ! г з — Ъзх Г'сэ „х — Ь'зй ,' -(ГзУ)' * ' -(!"()' " тз л где И' =- — относительная скорость систем К ' и К Последнее 1 -; Ъ'~ ЬЦсз выражение не изменяется при перестановке в нем величин )г! н )гю что и требовалось доказать. 738. Запишем последовательно выполняемые преобразования Лоренца при переходе от системы К к системе К' и от системы К' к системе К"; 1 — Их/с, х — И! х д = "а', з ~1 — (И!Ус)з т/1 — (И/с)а л à — гзв !с л и и тгз! т =х, р т/! — (1гз/с)з !/1 — Я/с)з Из написанных формул легко получить: Их 1зу и сз сз и х — ~! — — — — ьГ! — (Иг'с)з Г1 — (И!Iс)з ~'1 — Я/с)' ' ~'1 - (И/с)а ' П вЂ” 1'зг 0 з =з, ! — (~гус)'" откуда очевидна некоммутативность окончательного результата относительно скоростей )г! и Тз систем отсчета К' и К".
739. Если движение частнпы в К задано, то через преобразование Лоренца можно найти:х' =-х'(!'), у' = р'(!'), з' = з'(!'), поскольку Е = Е(!). Пусть в К время изменилось на Ж. Тогда непосредственно найдем г(х, ф, г(х, а согласно (1) и Нх' =- Г(с(х — И Ж), г(у' = г(у, г(з' =- г(з, Й!' = Г(Ж вЂ” —, г(х). Разделив спочленно первые три равенства на четвертое, получим формулы (6). 740. !) о' = ! — и ь'г'сз н з Путем простого пересчета можно показать, что выражения для !" и х" могут быть приведены к виду ! — И хг'сл ьГ 1 — (!т'г' с) з 227 2 14.
Специальная теория относительности 2) Решение. Согласно предыдущему результату нетрудно получить с' !э!/!с б ит с 1 — (ь/с)Ъ',Гс с откуда и следует нужный результат. 741. Пусть К вЂ” система отсчета, где вода покоится. В этой системе скорость света о' равна с)п. Переходя к системе К, относительно которой К' движется со скоростью )б, имеем Для скорости воды )г/с « 1 знаменатель можно принять равным единице с точностью до )л',бс'.
Тогда опять же с точностью до И ббс . 742. Пусть с~ направлено в положительном направлении оси х (о~ > 0), а се — в отрицательном (оя < 0). Скорость их сближения в системе К равна 'об =-о~ оа = (а! ! аа)с> с. Однако это не есть реальная скорость распространения чего бы то ни было физического.
Относитеяьная скорость частип в теории относительности— это скорость одной частицы в системе отсчета, где другая частица покоится. Воспользуемся формулой преобразования скоростей, полученной в задаче 740. Чтобы с,' было равно нулю, необходимо, чтобы (л = о~ = а~с (это очевидно, так как система К' связана с частицей). Но тогда аас а~с сч ! аа оз = — — — — с. а а~аесз 1 -1- а~аз са Остается только доказать, что при заданных условиях коэффициент при с всегда меньше единицы, но это сразу же следует из неравенства (а~ — 1) х х(1 — аа) < О. 743.
!) Используя формулы (5), легко обнаружить, что о, = О, т, е, что и в К частица движется в плоскости ху. Вводя углы 0 и 0', образуемые скоростью частицы соответственно с (совпадающими) осями х, х', запишем: о„= о сов 0, ои — — ов)п 0, о~ = о~ саад~, ю~„= о~ в(пдй Подставляя значения компонент в (5), получим (В = (б/с): и'сова' + 1' . с' вша',П вЂ” Вт оь0 = '; 0,, ов1п0 = 1-1- В ь' соя 0' 1-1- В о' сов 0' с с а разделив вторую формулу на первую,— ь'ъ'1 — Ве Мпя' 120 = ь'сов я'+ И 228 Отеешьг и решения Возводя в квадрат эти же формулы и складывая, получим тиз Ч- !ге -~-2е'!гсозе' — е зВзв!не О' ( Ч ) т ! о ( е созе )е 2) В случае распространения света (для фотона!) х = о' =- с. Пусть свет падает вдоль оси у'. Тогда 0' = х,У2 (свет идет сверху вниз), н из формулы для !80 предыдущей задачи имеем !80 = (~) ! — —,, г — ).
Угол аберрации с-' уу с о„— дополнительный к углу О (гх„+ 0 = х,у2); !до, = с!80 = — у ~)) ! в — . Ђ с сз По классическим формулам н,' = О, о„' =- с, в', =- О, н так как ч =- ч'+ тУ, то е, = И, о = с, о, = О; отсюда тйо, = (У,гс. Классическая и релятивистская формулы совпадают с точностью до )г у'с . 745. Озе = сз г(сз — г(х' — ду' — г(зе = с' Ф'з — йх" — Ву" — г(з". В системе К'. г(х = ду' = г(з' = О, а й' = т. Отсюда .'0 ' =.'(! — "' гг~"„,,~~' ) Оуз = .'(! — — ",,) 0!', и окончательно г(т = ху! — цеусе Ж. гз з м м 746. е„= е,, т. е, с у;з — !ы — — с У;т — 1„.
!) Если !'„= О, то е',з = с'У,",а > О; 2) если !ы = О, то ззе = — !(за < О; 3) если !ы — — О и т~м = О, то это означает (за исключением случая, когда распространяется световой сигнал), что !м = О и !|з = О 747. В обоих случаях применяем один и тот же прием. Обе части уравнения движения Ор)0! = Е скалярно умножаются на скорость ч Справа получим работу силы над частицей в единицу времени (мощность).
Следовательно, по закону сохранения энергии, слева должно стоять изменение энергии в единицу времени. Преобразование левой части для классического и релятивистского уравнений различно. Из уравнения Ньютона: гутг гу у тъе Х тп ч: — ( ) =Рч, Т= +уо, Г От(,2) причем То приравниваем нулю. Из релятивистского уравнения, имея в виду, что у = у'ДД (3 = нус), получим ч — (тутг) = ппуй+ то 'у = с (ту~33+ т~За ~з!!я г!г = тцяЗг'(! -у уз,)') = тс у = — (тс у). Мы воспользовались также соотношением х й = оЭ, вытекающим из равенства ч =- и . Таким образом. получается: е От — (тс' у) = Ръе, К = тс у-у А, 9 14.
Специальная теория относительности 229 где А — некоторая постоянная. Нужно показать, что она равна нулю. Для этого рассматривается предельный нерелятивистский сл»чаи о/с -ч О, )'/с— О. Из (29) имеем для преобразования импульса тпо, = то, — —,, (птс -1- А). се =- кт »'1 — (»/с)е (считаем, что при т =- О скорость о = 0). Из последнего выражения находится зависимость скорости от времени: Ет(т ь »'! Ч- (к!фпср ът»2 -~- сз где о, = Е!/т. 749. Так как р„= т7», а р, = и!», то их отличие определяется множителем 1 = 25/7 е!» ! г» 750.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
