1Thermod (1106116), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

случае)VПритоки тепла могут быть поверхностные и массовые.Например теплопроводность - поверхностный приток, а излучение массовый приток тепла.Предположение 5. Приток тепла к индивидуальному объему можно представить в видеZZρdqdτδQe = − q~n dσdt +VΣГде q~n - количество тепла, протекающего через ds за единицу времени в направлении внешней нормалиПредположение 6.Приток энергии δQ∗∗ обладает массовой плотностью.Z∗∗δQV =ρdq ∗∗ dτVт.е.

существует функцияdq ∗∗такая, что1)dq ∗∗ =δQ∗∗lim∆V −→0 ρ∆V2) δQ∗∗ - аддитивная функция по частям объема.Тогда уравнение притока тепла для индивидуального объема запишется в видеZZZZZZddqdq ∗∗ij~ i · ~v dtdτ.ρudτ =p eij dτ −qn dσ +ρ dτ +ρdτ −ρFdt VdtdtVΣVVVЗамечание.

Предложения 4, 5 выполняются часто но не всегда. Например, в случае самогравитацииаддитивности нет.119.1. Вектор потока тепла.Утверждение 1.При выполнении условий:1) Если границы двух объемов проходят через точку X и имеют в ней общую внешнюю нормаль,то q~n для них одинаков.2) Движение достаточно гладкое (нет поверхностей разрыва скорости).3) На поверхности S q~n непрерывно зависит от точки поверхности.q~n = −q−~n .Доказательство.Следует из уравнения притока тепла и аналогично доказательству утвержденияp~~n = −~p−~nУтвеждение 2.В условиях утвеждения 1. существует вектор ~q, зависящий от точки пространства и от моментавремени, такой, чтоqn = ~q · ~n = q i · niОпределение 25.

Вектор ~q называется вектором потока тепла.Доказательство.Аналогично доказательству утверждения о существовании тензора напряжений.Схема доказательства.1)Ввести q i = q~ei , i = 1, 2, 32)Записать уравнение притока тепла для тетраэдра. В него войдут q i .3) Перейти к пределу1lim 2 (уравнение притока тепла)h−→0 hГде h -высота тетраэдра.9.2. Дифференциальная форма уравнения притока тепла.Утверждение 3.Если выполнены условия утверждения 1 и массовые силы отсутствуют, то уравнение притока теплаэквивалентноdqdq ∗∗duρ= pij eij − div~q + ρ + ρdtdtdtДоказательство.Запишем уравнение притока тепла для индивидуального объемаZZZZZZddqdq ∗∗ij~ i · ~v dtdτρudτ =p eij dτ −qn dσ +ρ dτ +ρdτ −ρFdt VdtdtVΣVVVТак какqn = ~q · ~n,тоZqn dσ =ΣZ12div~qdτVКроме того,ddtСледовательноZ VρZρudτ =VZρVdudτdtdudqdq ∗∗− pij eij + div~q − ρ − ρdtdtdtdτ =Z~ i · ~v dtdτρFVОткуда в силу произвольности V для непрерывных движений имеемρdudqdq ∗∗= pij eij − div~q + ρ + ρdtdtdtт.к.Z~ i · ~v dtdτ −ρF→0Vпри стягивании объема в точку.Замечание.1)dq,dtdq ∗∗dtне являются производными по времени от какой-нибудь функции состояния, аdudtявляется.Закон теплопроводности Фурье.

Уравнение теплопроводности .Законы определяющие вектор ~q могут быть различны. Наиболее распространенным, хорошо оправдывающимся во многих случаях на практике законом, определяющим ~q, является закон теплопроводности Фурье, который имеет вид~q = −λ grad T, λ > 0Если λ = сonst, то для притока тепла на единицу массы среды получимλλdq (e)= −div~q = div grad T = ∆TdtρρДля совершенного газа калорическим уравнением состояния является уравнениеu = cV T + u0Если предположить , чтоdqdq ∗∗= 0, ρ= 0,dtdtто уравнение притока тепла для совершенного газа будетρρcVdT= λ∆ T + pij eij ,dtdT∂T=+ ~v · ∇T.dt∂tВ покоящейся среде или при ~v = const имеем уравнение теплопроводности.ρcV∂T= λ∆ T∂t13.

Характеристики

Список файлов лекций