part4 (1106113), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для доказательства этого достаточно переномеровать машины (первая машина станет второй, а вторая - первой), тогда, повторяя только что проведенное рассуждение, получим требуемый результат. Поэтому остается только одна возможность: h₁= h₂, и первая теорема Карно доказана.

Доказательство второй теоремы проводится аналогично. Пусть КПД необратимой машины h₁> h₂, где h₂ - КПД обратимой машины, имеющей общие с необратимой машиной нагреватель и холодильник. Поскольку в рассуждении доказательства первой части первой теоремы Карно обратимость или необратимость первой машины не играла никакой роли, то вывод о неправильности предположения о том, что h₁> h₂, где h₁= h_{необрат} сохраняет свою силу. Однако опровергнуть обратное предположение (h_необ< h_обр ), невозможно, т.к. необратимая машина не может работать по обратному циклу. Поэтому неравенство h_необ< h_обр остается справедливым, и вторая теорема Карно доказана.

§ 14-4. Цикл Карно.

Из теорем Карно следует, что теоретическое значение КПД тепловых машин не зависит от конструкции машины, но могут зависеть лишь от свойств нагревателя и холодильника. Наиболее простым является случай, когда температуры нагревателя и холодильника остаются постоянными, и процессы теплообмена между рабочим телом и тепловым резервуаром должны быть изотермическими.

Цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, впервые был рассмотрен

плообмен с окружающей средой, и газ, расширяясь, совершает работу, величина которой А₂₃=С_v(T₁- T₂). В точке 3 газ подвергается изотермическому сжатию при температуре Т₂, и внешние силы совершают работу А₃₄= RT₂ ln V₄/V₃. Наконец путем адиабатического сжатия до первоначального объема газ возвращается в прежнее состояние 1. В этом процессе совершается работа А₄₁= С_v( T₂ -T₁). Общая работа газа на всем цикле складывается из работ на каждом из его участков, т.е. А_общ = А₁₂ + А₂₃ + А₃₄ + А₄₁, или

А_общ= RT₁lnV₂/V₁+C_V(T₁+T₂)+RT₁lnV₄/V₃+C_V(T₂ -T₁) = RT₁lnV₂/V₁+RT₁lnV₄/V₃.

Отношения объемов V₂/V₁ и V₄/V₃ связаны между собой. Чтобы найти эту связь, вспомним частный вид уравнения адиабаты: TV^g-1 = const. Тогда для адиабаты 2-3:

. ( 14-5 )

Аналогично для адиабаты 4-1:

. ( 14-6 )

Перемножив почленно два последних выражения и сократив обе части получившегося результата на величину Т₁Т₂, получим:

. ( 14-7 )

Последнее соотношение легко преобразовать к виду:

.

Поэтому lnV₂/V₁= lnV₃/V₄ или

lnV₄/V₃ = - lnV₂/V₁. ( 14- 8 )

Отсюда КПД цикла Карно равен:

= ,

откуда с учетом ( 14- 8 ) следует, что

h = = . ( 14-9 )

Величина полученной рабочим телом теплоты Q при изотермическом нагревании газа при температуре Т₁ определяется на основании первого закона термодинамики. Поскольку при изотермическом процессе изменения внутренней энергии не происходит, то Q = A₁₂ = RT₁lnV₂/V₁. Тогда

,

и величина КПД определяется лишь значениями температур нагревателя и холодильника:

= 1 - . ( 14-10 )

Следует отметить, что формула (14-10) получена в предположении о равновесности (точнее, квазиравновесности) и обратимости процессов, составляющих рассмотренный цикл.

§ 14-5. Двигатель Стирлинга.

Принцип действия этого двигателя предложен в 1816 году шотландским священником Р. Стирлингом. Диаграмма, описывающая работу этого двигателя, состоит из двух изохор и двух изотерм. Отличительной чертой двигателя Стир-линга является наличие второго (кроме основного - рабочего) вытеснительного поршня.Схема двигателя изображена на рис.59. В отличие от двигателей внутрен-

него сгорания в двигателе Стирлинга рабочее тело (газ) находится в замкнутом и изолированном объеме. Газ лишь поочередно перемещается из горячей области с температурой Т₁ в область холодильника с температурой Т₂. Важным преиму-ществом двигателя Стирлинга является наличие в нем экономайзера (регене-ратора), в котором часть тепла после расширения газа и совершения им работы снова возвращается двигателю. Также как в двигателе внутреннего сгорания в работе двигателя Стирлинга можно выделить четыре такта (см. рис.59):

а) поршень - вытеснитель находится в крайнем верхнем положении, газ под
действием рабочего поршня, движущимся направо, поступает через холодиль-
ник в область под поршнем - вытеснителем, приобретая температуру Т₂ ;

б) рабочий поршень находится в крайнем правом положении, поршень - вытес-
нитель движется вниз, перегоняя газ через экономайзер в горячую область; при
этом газ получает тепло от экономайзера;

в) поршень - вытеснитель находится в крайнем нижнем положении, нагретый газ
расширяется и заставляет двигаться рабочий поршень налево, совершая полез-
ную работу (рабочий ход);

г) рабочий поршень находится в крайнем левом положении, поршень - вытесни-
тель движется вверх, прогоняя часть горячего газа через экономайзер, который
отбирает у газа некоторое количество теплоты.

Двигатель Стирлинга обладает самым высоким КПД (свыше 43%) среди других тепловых двигателей, кроме того он практически бесшумен, т.к. в нем не проис-ходит никаких взрывов. К тому же он является экологически чистым двигателем, потому что рабочее тело не расходуется, теплота же может получаться при опти-мальных условиях сжигания топлива или за счет электроэнергии. К недостаткам этого двигателя относятся сравнительно сложная конструкция и необходимость использования материалов с высокими эксплуатационными качествами.

Лекция 15. Энтропия и ее свойства.

§ 15-1. Неравенство Клаузиуса.

Итак, мы получили новое и достаточно общее выражение для КПД обратимой тепловой машины (14-10). В то же время начальное определение КПД (14-4) остается в силе, и с его помощью можно оценивать КПД любой ( в частности, необратимой) машины. Сравнивая эти два выражения, можно записать (на основании второй теоремы Карно):

,

или . ( 15-1 )

В свою очередь, из выражения ( 15-1 ) следует:

. ( 15-2 )

В еличины Q₁ и Q ₂, входящие в последнее неравенство, характеризуют количества теплоты, которые получает рабочее тело от нагревателя (Q₁) при постоянной температуре Т₁ и отдает холодильнику (Q₂) при постоянной температуре Т₂. Если свойства нагревателя и холодильника таковы, что в процессе теплообмена с рабочим телом их температуры меняются, то каждый из двух ранее рассматриваемых
квазиравновесных процессов может быть разбит на ряд элементарных процессов, настолько малых, чтобы передачу в ходе каждого из них элементарного количества теплоты dQ_i можно было бы считать происходящим при постоянной температуре Т_i . В этом случае в неравенство (15-2) войдет сумма всех элементарных процессов:

(15-2а)

Однако в общем случае, когда рабочее тело может обмениваться с различными нагревателями и холодильниками (т.е. с любыми другими телами), это неравенство

у добно формализовать, приписав всем dQ_i алгебраический смысл: элементарная теплота положительна, если она сообщается рабочему телу, и отрицательна, если эту теплоту отбирают от тела. Например, в неравенстве (15-2) величине Q₂ следует приписать отрицательный знак, тогда оно приобретает такой вид:

,

или . ( 15-3 )

А налогично, неравенство (15-2а) становится таким:

. ( 15-3а)

Выражения (15-3) и (15-3а) известны как неравенства Клаузиуса. Следует отметить, что эти выражения становятся равенствами, если рассматриваемый цикл является обратимым, но они становятся строгими неравенствами, если хотя бы один из процессов, входящих в состав цикла, необратим.

Характеристики

Список файлов лекций