part1 (1106110), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Доказательство этого утверждения следует из сравнения определения ускорения центра масс( 3-8 ) и выражения ( 3-13 ).
Примерами закона сохранения импульса могут служить отдача при стрельбе из огнестрельного оружия, реактивное движение, перемещение осьминогов и т.п.
Лекция 4. Динамика твердого тела.
§ 4-1. Кинематические соотношения.
Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко скрепленных друг с другом. Отсутствие такого закрепления существенно затруднило бы описание движения всего конгломерата точек. Для полного описания движения одной точки необходимо знать ее три координаты, поэтому для N точек число необходимых координат , а следовательно, и число уравнений для их определения составило бы 3N. Так как число N может быть как угодно большим, то возможности строгого решения системы из 3N уравнений весьма ограничены.
Кроме того характер движения тела как целого может быть различным. Обычно различают поступательное, вращательное и плоское движения. При поступательном движении все точки тела движутся по параллельным траекториям, так что для описания движения тела в целом достаточно знать закон движения одной точки. В частности, такой точкой может служить центр масс твердого тела. В этом случае задача описания движения тела решается с помощью теоремы о движении центра масс. При вращательном движении все точки тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной оси. Скорости точек на любой из окружностей связаны с радиусами этих окружностей и угловой скоростью
вращения: vi = [w ri ]. Так как твердое тело при вращении сохраняет свою форму, радиусы вращения остаются постоянными и
= [ bri] . ( 4-1 )
§ 4-2. Определение момента силы.
Для описания динамики вращательного движения твердого тела необходимо ввести понятие момента силы. При этом надо различать понятия момента силы
|
M O f r a A Рис.11. Момент силы от- носительно точки. | относительно точки и относительно оси. Если сила f приложена к материальной точке А(см. рис.11),то моментом силы М относительно произвольной точки О называется векторное произведение радиуса-вектора r, проведенного из точки О к точке А, и вектора силы: М = [ r f ] . ( 4-2 ) Модуль векторного произведения правление вектора М определяется правилом правого |
шему пути вращается к направлению второго вектора f, а движение оси буравчика
| f f O f r a А Рис.12. Момент силы от- | при этом вращении показывает направление вектора М. Моментом силы относительно произвольной оси z и составляющей f силы f , приложенной в точке А: М = [ r f ] , ( 4-3 ) где составляющая f представляет собой проекцию си- жащий в этой плоскости . |
§ 4-3. Основное уравнение динамики вращательного движения.
| ri mi О2 Рис.13 Вращение твердого тела. | Пусть имеется твердое тело произвольной формы (см. рис 13), которое может вращаться вокруг оси О1О2 . Разбивая тело на малые элементы, можно заметить, что все они вращаются вокруг оси О1О2 в плоскостях, перпендикулярных оси вращения с одинаковой угловой скоростью w. Движение каждого из отдельных элементов малой массы m описывается вторым законом Ньютона. Для i -го элемента имеем: mi ai = |
г де fik ( k = 1,2, ...N) представляют собой внутренние силы взаимодействия всех элементов с выбранным, а Fi - равнодействующая всех внешних сил, действующих на i - элемент. Скорость vi каждого элемента вообще говоря может меняться как угодно, но поскольку тело является твердым, то смещения точек в направлении радиусов вращения можно не рассматривать. Поэтому спроектируем уравнение ( 4-4 ) на направление касательной и умножим обе части уравнения на ri :
ri( mi ai )t= ri(
ri(fi1)t + ri(fi2)t + ..... +ri(fiN)t + ri(Fi)t . ( 4-4a )
В правой части получившегося уравнения произведения типа ri(fi1)t представляют собой (согласно ( 4-3)) моменты внутренних сил относительно оси вращения, т.к. ri и (f i)t взаимно перпендикулярны. Аналогично произведения ri(Fi)t являются моментами внешних сил, действующих на i-элемент. Просуммируем уравнения дви-
| (f12) f12 r1 g l12 f21 l21 (f21) b . 2 r2 O2 Рис.14. Компенсация | жения по всем элементам, на которые было разбито тело. Сумму моментов внутренних сил можно разбить по парам |
1 O1 т
ы сил М1 = ( f12) r1sin(900 - g) = (f12) l12 и M2 = (f21) r2 sin(900 - b) = (f21) l21 равны и противоположно направлены. На основании этого можно сделать вывод, что при сложении всех моментов внутренних сил они попарно уничтожатся. Суммарный момент всех внешних сил обозначим S Мi , где Mi = [ ri Fi].
Левая часть уравнения ( 4-4а ) с учетом (3 -7) представится в таком виде:
=
=
, ( 4-5 )
где величину 
принято называть моментом инерции твердого тела относительно заданной оси. Эта величина характеризует распределение массы тела относительно определенной оси. Как следует из определения момента инерции - это величина аддитивная. Момент инерции тела складывается из моментов инерции его отдельных элементов, которые можно рассматривать как материальные точки, т.е.
I =
, где ji = mi 
- момент инерции материальной точки.
При практическом вычислении моментов инерции вместо суммирования используется интегрирование ( суммирование бесконечно малых величин). Если ось, относительно которой вычисляется момент инерции, проходит через центр симметрии тела, то вычисление такого интеграла представляет сравнительно несложную задачу, но в общем случае задачу решить трудно. Для упрощения вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе осей инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера), формулировка которой гласит, что момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями, т.е.
Iпроиз = Iцм + m d 2 . ( 4-6)
Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2.
Таблица 2.
| Ф оси момента инерции Обруч m R2 Цилиндр Шар Примечание: m- масса тела, R - его радиус | На основании изложенного уравне-ние (4-4а) с учетом (4-5) приводится к виду: которое называется уравнением динамики вращательного движения твердого тела или уравнением моментов. Дело в том, что левую часть этого уравнения можно представить по другому, т.к. по [riaimi]=[ |
называют изменением момента импульса (радиус ri внесен под знак дифференцирования, т.к. все точки вращаются по окружностям постоянного радиуса ) . Если
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
