4 (1106060), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

1.6.3. Построение систем объектов из начально заданных

Системы объектов как новые образования дают новые физические величины (импульс системы, момент импульса системы, центр масс, потенциальная энергия и т.д.), новые физические законы для разных типов систем (замкнутых, незамкнутых, консервативных, диссипативных, ...), характерные точки и т.п. - все это позволяет получить дополнительные уравнения. Более того, в некоторых классах задач способ построения систем из заданных в условии объектов является единственным способом, использование которого позволяет решить задачу.

Т аким образом, при использовании этого метода следует из заданных в условии объектов скомбинировать систему объектов, определить тип системы и использовать общие параметры и законы, характерные для построенных типов систем.

Пример. Нить длины с привязанным к ней шариком массы отклоним на 90^o от вертикали и отпустим. На каком наименьшем расстоянии под точкой подвеса нужно поставить гвоздь, чтобы нить, зацепившись за него, порвалась, если она выдерживает

Рис.48 силу натяжения Т (рис.48).

Второй закон Ньютона . Таким образом, если натяжения в нижней точке Т_х превышает Т, т.е. если , нить рвется. Учет вращательного характера движения дает .

Система уравнений неполная. Для полноты системы необходимо дополнительное уравнение. Скомбинируем систему из заданных по условию тел: шарика, нитки и Земли. Так как сил сопротивления нет, то система консервативна и для нее выполняется закон сохранения механической энергии: , где - кинетическая, а - потенциальная энергия системы. Примем за ноль потенциальной энергии самое низкое положение шарика. Тогда в этом положении , . В самом верхнем положении , E = 0. Откуда получаем дополнительное уравнение для скорости.

Решая систему, получаем x_min = при .

При нить оторвется раньше, чем достигнет гвоздя.

1.6.4. Разложение заданных в условии объектов на новые.

Задача: Космонавты, находясь вблизи одной из звезд некоторого звездного скопления, видят, что все другие звезды скопления удаляются от них со скоростями, пропорциональными расстояниям до этих звезд. Какую картину движения звезд увидят космонавты, оказавшись вблизи какой-нибудь другой из звезд этого скопления?

Итак, заданы объекты: скопление звезд, две звезды этого скопления и космонавты в звездолете. Выделим из скопления еще одну звезду - получим новый объект. Найдем ее скорость в системах координат, связанных с первой и второй звездами, у которых находились космонавты (рис.49).

П о условию задачи, скорость в системе координат, связанной с первой звездой , где - вектор, проведенный от первой звезды к выделенной звезде, -коэффициент пропорциональности. В системе, связанной со второй звездой, на которую перелетели космонавты, скорость выделенной звезды , где - скорость второй звезды относительно первой. Проведя вектор от второй звезды к выделенной, увидим, что Соответственно, скорость звезды (рис.49).

Следовательно, космонавты опять увидят, что все звезды разлетаются со скоростями, пропорциональными расстоянию до них.

1.6.5. Учет свойств моделей.

Пример: Цилиндр с намотанной на него нерастяжимой нитью, второй конец которой закреплен, находится на горизонтальной подставке, движущейся поступательно с постоянной горизонтально направленной скоростью V. Найти скорость оси цилиндра в зависимости от угла , образуемого нитью с вертикалью. Относительно подставки цилиндр не проскальзывает (рис.50 а).

Рис.50 а) б)

Скорость точки цилиндра (рис.50б), касающаяся горизонтально движущейся со скоростью подставки: V = V₀ + R. Пусть в тот момент времени, когда нить образует с вертикалью угол , ось цилиндра имеет скорость V₀, а угловая скорость цилиндра равна . Движение цилиндра представим в виде суммы поступательного движения со скоростью V₀ и вращательного – с угловой скоростью . Пусть радиус цилиндра равен R. Нить при движении цилиндра всегда натянута. Так как модель нити нерастяжима (это свойство модели), то скорость точки цилиндра, касающаяся нити, будет направлена перпендикулярно нити. Это позволяет записать

V₀ sin = R

Используя это дополнительное условие, получим, что

V₀ =

1.6.6. Формализация условия, накладываемого на физические свойства

Пример: Два диска, масса одного из которых в n = 2 раза больше другого, прикрепили к концам легкой пружины так, чтобы их центры масс лежали на вертикали, совпадающей с осью пружины, если один из дисков положить на горизонтальный стол. (рис.51).

В начале на стол положили более тяжелый диск. Оказалось, что период малых вертикальных колебаний верхнего диска равен Т. Затем, пружину с дисками перевернули так, что внизу оказался боле легкий диск. При каких амплитудах вертикальные колебания тяжелого диска могут оставаться гармоническими, если

Рис. 51 возникающие при этом деформации пружины можно считать малыми?

Период колебаний легкого диска Т = 2 , где m - масса легкого диска, k - жесткость пружины.

Условие сохранения гармоничности: нарушение гармоничности не будет, если легкий диск не отрывается от поверхности стола, т.е. при максимальном поднятии х от положения равновесия тяжелого диска деформация пружины

,

а сила ее натяжения k x = mg, где g = 9,8 м/сек² Поэтому искомые амплитуды колебаний тяжелого диска должны удовлетворять условию

1.6.7. Формализация нескольких условий, накладываемых на физические свойства.

В сложных задачах может иметь место несколько условий, которые надо формализовать. Рассмотрим пример.

Рис.52 а) б)

По шероховатой горизонтальной плоскости, переходящей в наклонную, составляющую угол с горизонтом, катится без проскальзывания с некоторой скоростью V, перпендикулярной границе раздела плоскостей колесная пара, состоящая из двух легких колес радиуса r, насажанных на тонкую тяжелую ось. Определить, при каком значении V колесная пара перекатится с горизонтальной плоскости на наклонную без отрыва.(рис. 52 а)

1. Пусть  - угол, при котором происходит отрыв. Тогда условие, что отрыва не происходит, формально означает, что угол  не меньше угла  и
cos   cos .

2.По условию проскальзывания нет. При формализации это условие означает, что при перекатывании через границу раздела плоскостей ось колесной пары вращается вокруг точки О.

3.В момент отрыва сила давления колесной пары на плоскость и сила трения равны нулю, поэтому угол , при котором происходит отрыв, находится из условия mg cos  = .

Из закона сохранения энергии находим =

Учитывая условие для углов, получаем, что условие V ,

есть условие перекатывания колесной пары через границу раздела. Если
3 cos  - 2 < 0, т.е.  > arc cos 2/3, то отрыв произойдет при любой скорости.

1.6.8. Выбор характерных точек

Рис.53 а б

Катушка катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности, причем скорость конца нити (точка А) горизонтальна и равна V. На катушку опирается шарнирно закрепленная в точке В доска. Внутренний и внешний радиусы катушки равны r и R. Определить угловую скорость доски в зависимости от угла . (рис.53а,б)

Итак, по условию дана комбинация тел, имеющих определенные формы и размеры. В этих случаях часто удобно найти какую-нибудь точку в данной комбинации объектов и "работать" с ней.

Выберем точку "С" - касания доски с катушкой. Скорость точки С складывается из скорости V₀ оси катушки О и равной ей по модулю (проскальзывания нет) скорости точки С (относительно точки О), касательной к окружности в точке С. Если угловая скорость доски в этот момент времени равна , то линейная скорость той точки доски, которая касается катушки, будет равна R tg^-1(/2). Так как доска все время касается катушки, скорость точки С относительно доски будет направлена вдоль доски, откуда R tg^-1(/2)= V₀ sin . Так как нет проскальзывания по горизонтальной поверхности, то

Поэтому для получения угловой скорости получим

1.6.9. Использование связей для нахождения неизвестных величин через известные.

О дин из самых используемых способов нахождения дополнительной информации - способ нахождения неизвестных величин, оперируя с известными; или проводя с ними математически операции, или используя их связь.

Рис.54 Пример. Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой горизонтальной поверхности стола. Система совершает колебания под действием упругой пружины вдоль прямой с периодом Т и максимальным значением скорости V_max. При этом доска и брусок неподвижны друг относительно друга. При каких значения коэффициента трения скольжения между доской и бруском такие колебания возможны (рис.54).Условие неподвижности доски и бруска относительно друг друга означает, что сила трения между ними не должна превышать максимальную силу трения покоя. Т.е.  . По условию задана скорость, а для решения необходимо знать ускорение, которое неизвестно. Однако в случае колебательного движения (гармонического колебания) имеет место связь , где - амплитуда ускорения, V_max - амплитуда скорости. Так как амплитуда скорости задана и период задан, можно, используя данную связь, найти а_max, а так как закон Ньютона справедлив для любого момента времени, то имеем ma_max   mg или m V_max   mg откуда   .

1.6.10. Ввод новых величин в процессе решения задачи

Используя связи известных величин с неизвестными можно в процессе решения задачи вводить новые величины, не заданные в условии, оперировать с ними и в конечном итоге выражать их через заданные в условии величины.

Пример. Установить характер зависимости периода обращения Т спутника, запущенного в экваториальной плоскости планеты, от плотности планеты . Считать, что высота спутника над поверхностью планеты много меньше ее радиуса.

По условию заданы величины Т и . В данном случае следует использовать закон Ньютона m²R = GmM/R², где m - масса спутника, М - масса планеты, G - константа,  - частота и все эти величины не заданы.

Характеристики

Список файлов лекций