3 (1106050), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Чтобы получить уравнение вращательного движения тела вокруг оси, надо разбить тело на отдельные материальные точки m_i, записать уравнение движения для каждой точки и просуммировать по всем точкам. Получим

,

где - носит название момента инерции тела;

- суммарный момент внешних сил, действующих на тело; - угловое ускорение, одинаковое для всех точек тела.

Итак, .

Момент инерции тела находится с использованием математических операций

,

если учесть, что dm = (x, y, z) dV, где  - плотность, а dV – элемент объема, то формула для вычисления момента инерции тела имеет вид

.

Итак, чтобы описать плоское движение абсолютно твердого тела, надо составить уравнение движения его центра масс и уравнение вращательного движения тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Если тело движется в плоскости XOY, то эти векторные уравнения надо расписать в проекциях, использовав две системы отсчета: систему XYZ,, в координатной плоскости XOY которой движется центр масс тела, и систему X’Y’Z’, связанную с телом, у которой начало совпадает с центром масс тела, а оси параллельны координатным осям системы XYZ.

Итак:

1.5.4.2. Равновесие тела.

Если твердое тело находится в состоянии покоя, т.е. не движется в выбранной системе отсчета, то все его точки имеют постоянные радиус-векторы = const и скорость , равную нулю. Это приводит к условиям равновесия твердого тела

.

Эти условия равновесия выполняются для любой точки тела. Если действующие на тело силы лежат в одной плоскости, то векторное уравнение для сил сводится к двум скалярным , при условии, что оси x и y расположены в плоскости действия сил. Выбор точки, относительно которой рассматриваются моменты сил (уравнения моментов) обусловлен только соображениями удобства: уравнения моментов тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты.

1.5.5. Модель "сплошная среда"

С плошная среда - тело, физические свойства в котором распределены непрерывно. Тело можно разбить на отдельные участки, контактирующие друг с другом (рис.27), при этом объем отдельного участка (характеризующийся радиус-вектором )может быть достаточно мал, т.е. настолько, что в объеме этого участка величины физических свойств постоянны, но с другой стороны, - объем этого участка Рис.27 настолько велик, что поведение отдельных молекул на свойствах участка не сказывается. Свойства отдельных участков очень близки, и потому изменение параметров от участка к участку происходит непрерывным образом.

Итак, V = V_i , где - объем отдельного участка. В пределах каждого V_i параметры постоянны, V_i >> V. P = (разность значений какого-либо параметра двух соседних участков) , и в пределах сплошной среды параметры являются непрерывными функциями радиус-вектора .

Сплошные среды в механике делятся на твердые, жидкие и газообразные.

В механике под твердой сплошной средой понимают тело, которое имеет форму и объем.

Соответственно, тело, представляющее собой жидкую сплошную среду, имеет объем, но не обладает собственной формой.

Газовое тело не имеет ни собственного объема, ни собственной формы, а принимает форму и объем сосуда, в котором газовая среда находится.

И зменение формы тел связано со свойством тел неупруго деформироваться. Это свойство - свойство тел неупруго деформироваться под действием сил называют текучестью.

Рассмотрим поведение твердого тела как твердой сплошной ограниченной среды. Возьмем стержень из твердого материала длины l и сечения S. Укрепим его верхний конец так, что стержень примет вертикальное положение и будем к нижнему основанию стержня прикладывать силу F, направленную вниз. (рис.28).

П од действием этой силы стержень будет удлиняться. Пусть под действием силы F стержень растянется до длины l. Введем физические параметры: относительное удлинение (относительную деформацию) и напряжение . Прикладывая различные силы F и измеряя относительное удлинение можно получить график зависимости (Рис.29.)

Рис.29.

Исследование графика показывает, что при малых напряжениях имеет место линейная зависимость (участок О-П называется областью пропорциональности, а точка П ‑ предел пропорциональности). При дальнейшем увеличении напряжений линейной зависимости уже не наблюдается, однако вплоть до точки Y при снятии напряжений тело приобретает первоначальные размеры. Точку Y называют пределом упругости, а область ОУ - называется областью упругих деформаций. При дальнейшем увеличении напряжений имеет место сложная функциональная зависимость, а при снятии напряжений тело остается частично деформированным. Эта область носит название пластических деформаций, а та деформация, которая остается в теле после снятия напряжений, называется остаточной ( ).

Начиная с точки Т (называемой предел текучести) до точки L (называемой предел прочности) при очень незначительных изменениях напряжений имеют место значительные изменения относительных удлинений. Однако, чтобы достичь этой области, надо приложить значительные усилия. При снятии напряжений в этой области остаются значительные остаточные деформации, т.е. имеют место значительные необратимые изменения формы. При достижении напряжений, превышающих точку L (предел прочности) следует разрушение тела. Итак, в твердых телах для достижения предела текучести надо приложить значительные напряжения.

В жидких и газообразных телах текучесть проявляется под действием сколь угодно малых сил, приложимых в любом направлении. Так, воде достаточно вылиться из сосуда, чтобы под действием собственного веса разлиться по полу. Отметим, что в невесомости разливания не происходит ‑ там под действием очень малых сил поверхностного натяжения, имеющих молекулярное происхождение, жидкость принимает сферическую форму. Однако, кроме текучести, жидкие и газообразные тела, находясь в каких-либо объемах (сосудах и т.п.) обладают свойством упругости.

У пругость ‑ свойство тел изменять форму и размеры под действием нагрузок и самопроизвольно восстанавливать исходную конфигурацию при прекращении внешнего воздействия. Если взять детский воздушный шарик, наполненный воздухом, и ткнуть в него пальцем, то будет вмятина, если палец убрать, ‑ форма шарика восстановится. Позднее мы рассмотрим свойства сплошной среды, связанные с наличием в ней сил упругости.

Если подействовать силой F на поверхность твердого тела под каким-либо углом, то эту силу можно представить как две составляющие

а) касательную, направленную вдоль поверхности и создающую деформацию сдвига (F_кас);

б) нормальную, направленную перпендикулярно поверхности и создающую деформацию сжатия (F_Н). (Рис.30а,б,в).

В жидкости, находящейся в равновесии, существование касательных составляющих поверхностных сил невозможно, так как из-за текучести любая сколь угодно малая сила вызовет деформацию жидкости, т.е. нарушит механическое равновесие системы. Таким образом, в жидкости существует только нормальная составляющая. (Рис.30г)

Поэтому при механическом равновесии для описания взаимодействия элементов жидкости достаточно рассматривать только нормальные компоненты внешних контактных сил.

Нормальная компонента контактной силы F_Н, действующая на элементарную площадку S, называется элементарной силой давления F_Н =  S. Коэффициент пропорциональности , не зависящий от ориентации площадки, называется давлением

Р = .

В системе СИ единица давления Паскаль (па): 1 па = 1 Н/м².

Рассмотрим поведение моделей «твердая упругая сплошная среда» и «жидкая сплошная среда».

1.5.6. Модель «Твердая упругая сплошная среда»

В этой модели изменение длины тела пропорционально величине приложенной силы, при этом после прекращения действия силы тело полностью восстанавливает первоначальную форму. В частности, если тело представляет собой однородный стержень, деформированный некоторой силой F, направленной вдоль его длины, то величина деформации пропорциональна длине стержня , обратно пропорциональна площади его сечения S.

F,

где константа зависит только от свойств материала, из которого сделан стержень и носит название модуля Юнга.

Закон, записанный в данном виде, закон экспериментальный, получен для реального тела, которое в заданных условиях эксперимента можно считать упругим.

Для работы с моделью как математической закону может быть придана чисто математическая (дифференциальная) форма, хотя в ряде задач можно использовать и выше написанную форму. Рассмотрим малый элемент упругой среды длиной  х, основание которого имеют координаты х и х + х. (Рис.31).

Если векторы смещения в точке х и точке х + х равны  (х) и  (х+х), то рассматриваемый элемент получит абсолютное удлинение  (х+ х) -  (х)

и относительное удлинение .

Рис.31 Так что для него закон Гука запишется в виде .

В пределе при х0 слева будет стоять значение (х) в точке х, а справа производная . Так как в общем случае смещение зависит и от других координат, то это будет частная производная . Итак: _n (х) =

Характеристики

Список файлов лекций