В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре (1106000)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций повысшей алгебреЛектор — Виктор Николаевич ЛатышевII курс, 3 семестр, поток математиковМосква, 2004 г.Оглавление1.2.3.Теория групп1.1. Группы .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Гомоморфизмы групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Системы порождающих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .1.4. Циклические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Разложение группы по подгруппе, теорема Лагранжа и её следствия . . . . . . . .1.6. Разложение по подгруппе. Конгруэнции. Нормальные подгруппы. Факторгруппы1.7. Теорема о гомоморфизме . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8. Теорема о соответствии групп при эпиморфизме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................444555678Поля и кольца2.1. Кольца. Гомоморфизмы колец. Факторкольца . . . . . . . . . .2.2. Факторкольца многочленов. Алгебраические расширения. Поля2.3. Алгебраические элементы. Алгебраическая замкнутость . . . .2.4. Конечные поля .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .разложения многочленов. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .................8891111Конечнопорождённые абелевы группы3.1. Прямые произведения групп . . . . . . .

. . . . .3.1.1. Внутренние произведения . . . . . . . . .3.1.2. Внешние произведения . . . . . . . . . . .3.2. Конечнопорождённые абелевы группы . . . . . .3.3. Разложение на примарные циклические группы3.4. Инварианты групп . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................12121213141516Теоремы Силова. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161617184.Действия. Разрешимые группы.4.1. Действие группы на множестве .4.2.

Разрешимые группы . . . . . . .4.3. Теоремы Силова . . . . . . . . . .5.Элементы теории представлений5.1. Линейные представления групп . .5.2. Теорема Машке . . . . . . . . . . .5.3. Линейные представления абелевых5.4. Регулярные представления групп .6.7.................................................................................................................................................................................................................................................................1818192021Замечания и приложения большой теории6.1. Лирическое отступление о цикличности конечной подгруппы K ∗6.2. Разрешимость и неразрешимость групп .

. . . . . . . . . . . . . .6.3. Явный вид функции Эйлера и малая теорема Ферма . . . . . . .6.4. Китайская теорема об остатках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5. Теорема Вильсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................222222232424Return to Linear Representations7.1. Пространство линейных отображений .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Кратность неприводимого представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3. Кратность неприводимых представлений в регулярном представлении . . . . . . .

. . . . . . . . .24242525. . . .. . . .групп. . . .............2........................................ВведениеПредисловиеАвтор данного документа будет признателен, если ему сообщат о замеченных в документе опечатках инеточностях. Документ не раз подвергался исправлениям, но мелкие ошибки всё ещё могут оставаться. В даннойверсии проведена ещё одна правка, в основном с целью улучшения читаемости.Последняя компиляция: 8 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.Список сокращений1◦ Аббревиатуры: «КПАГ»=«конечно порождённая абелева группа», «САГ»=«свободная абелева группа»,«КГИ»=«кольцо главных идеалов».2◦ Квадратными скобками мы будем обозначать коммутаторы элементов группы и наименьшее общее кратноецелых чисел.

Например, [a, b] = aba−1 b−1 и [6, 4, 5] = 60. К сожалению, обозначения одинаковые, но изконтекста, как правило, всегда ясно, о чём идёт речь. Для полноты картины заметим, что через [a, b] можетобозначаться векторное произведение и коммутатор векторных полей, но в нашем тексте этих вещей невстретится.3◦ Символом (a, b) мы будем обозначать наибольший общий делитель двух чисел или многочленов. Скалярноепроизведение, также часто обозначаемое круглыми скобками, в тексте не встретится.◦4 Буквой P мы будем обозначать множество простых чисел.Литература[1][2][3][4]М. Н.

Вельтищев. Конспекты лекций В. Н. Латышева по алгебре. 2004.А. В. Домбровская. Конспекты лекций Е. С. Голода по алгебре. 2004.А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III: Основные структуры. М.: ФизМатЛит, 2001.Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал – Пресс, 2002.31. Теория групп1.1. ГруппыОпределение. Группой называется непустое множество G c операцией ∗ : G×G −→ G, которая удовлетворяетаксиомам:1◦ (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) — ассоциативность операции.2◦ ∃ e ∈ G : ∀ a ∈ G имеем e ∗ a = a ∗ e = a — существование нейтрального элемента.3◦ ∀ a ∈ G ∃ a−1 : a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e — существование обратного элемента.Если ∀ a, b ∈ G имеет место свойство a ∗ b = b ∗ a, то группа называется коммутативной или абелевой.

Знакоперации, как и умножение, часто опускают, если используется мультипликативная терминология.Нейтральный элемент группы называется единицей.Легко видеть, что единица группы единственна: пусть e1 и e2 — две единицы группы. Тогда из свойствединицы следует, что e1 = e1 e2 = e2 , значит, e1 = e2 . Обратный элемент также единствен: пусть a−1 a = e иb−1 a = e. Тогда домножим второе равенство справа на a−1 , получим b−1 aa−1 = a−1 . Отсюда b−1 = a−1 .Определение. Подгруппой H группы G называется подмножество H ⊂ G, которое относительно операциив G само является группой.Достаточными условиями для подгруппы является её замкнутость относительно операции:1◦ a, b ∈ H → ab ∈ H.2◦ e ∈ H.3◦ ∀ a ∈ H имеем a−1 ∈ H.Утверждение 1.1 (Эквивалентное определение подгруппы). Непустое подмножество H ⊂ G будетподгруппой в G тогда и только тогда, когда a, b ∈ H ⇒ a−1 b ∈ H.

В одну сторону это очевидно, докажем в обратную сторону. Пусть ∀ a, b ∈ H имеем a−1 b ∈ H. Рассмотримa ∈ H. Тогда a−1 a = e ∈ H. Тогда ∀ a ∈ H имеем a−1 e = a−1 ∈ H. Пусть теперь a, b ∈ H, тогда a−1 ∈ H, значит,−1a−1b = ab ∈ H, и мы видим, что все свойства подгруппы выполнены. Пример 1.1.1◦ An ⊂ Sn — знакопеременная группа — подгруппа в группе подстановок.2◦ SOn ⊂ GLn (R) — подгруппа ортогональных матриц с определителем 1.Определение.

Порядок элемента g ∈ G — число O(g) := min {n : g n = e}. По определению, элемент бесконечного порядка — элемент, не имеющий порядка.2 3В конечных группах все элементы имеют конечный порядок, ибо все степени одного элемента e, g, g , g , . . . неmмогут быть различными. Положим n = O(g). Ясно, если g = e, то n m. В самом деле, пусть m = nq + r, r < n.Тогда g m = (g n )q · g r = g r = e, что невозможно, поскольку r < n. Значит, r = 0.1.2. Гомоморфизмы группОпределение.

Гомоморфизм групп (G, ∗) и (L, ◦) — отображение ϕ : G → L, сохраняющее операцию: ∀ a, b ∈∈ G имеем ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ◦ ϕ(b).Пусть e — единица G, а e′ — единица в L. Покажем, что ϕ(e) = e′ . В самом деле, ϕ(e) = ϕ(ee) = ϕ(e)ϕ(e),значит, ϕ(e) — нейтральный элемент в L. Покажем, что ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 . В самом деле, рассмотрим e′ = ϕ(e) == ϕ(aa−1 ) = ϕ(a)ϕ(a−1 ), т.

е. ϕ(a−1 ) — обратный элемент по отношению к ϕ(a).Определение. Биективный гомоморфизм ϕ : G → L называется изоморфизмом групп. При этом говорят,что группы G и L изоморфны, и пишут G ∼= L. Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом.Определение. Ядро гомоморфизма ϕ — множество Ker ϕ := {g ∈ G : ϕ(g) = e′ }. Образ гомоморфизма —множество Im ϕ := {x ∈ L : ∃ g ∈ G : ϕ(g) = x}.Утверждение 1.2. Ker ϕ является подгруппой в G, Im ϕ является подгруппой в L. Пусть g, h ∈ Ker ϕ. Тогда ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h) = e′ e′ = e′ ⇒ gh ∈ Ker ϕ. Очевидно, e ∈ Ker ϕ.

Кроме того,если g ∈ Ker ϕ, то ϕ(g −1 ) = ϕ(g)−1 = e′−1 = e′ ⇒ g −1 ∈ Ker ϕ.Пусть x, y ∈ Im ϕ, тогда ∃ g, h ∈ G : x = ϕ(g), y = ϕ(h). Тогда x−1 y = ϕ(g)−1 ϕ(h) = ϕ(g −1 h) ∈ Im ϕ. Используяэквивалентное определение подгруппы, получаем требуемое утверждение. Определение. Инъективный гомоморфизм называется вложением группы G в группу L и обозначаетсяϕ : G ֒→ L. В этом случае G ∼= Im ϕ.Заметим, что гомоморфизм инъективен ⇔ Ker ϕ = {e}. В самом деле, пусть Ker ϕ = {e}.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций