Главная » Просмотр файлов » В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре

В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре (1106000), страница 12

Файл №1106000 В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре (В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре) 12 страницаВ.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре (1106000) страница 122019-05-05СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Определим кратность неприводимого представления: пусть ρ =mLi=1ρri i , где ρi — неприво-димые представления. Тогда число ri называется кратностью неприводимого представления ρi в ρ. Ясно, чтонеобходима проверка корректности данного определения.Теорема 7.1. Пусть K алгебраически замкнуто, а ρ и τ — неприводимые представления G.

Тогда(0, ρ ≇ τ,dim Hom(ρ, τ ) =1, ρ ∼= τ. В самом деле, пусть ρ ≇ τ . Тогда по лемме Шура получаем Hom(ρ, τ ) = {0}, и потому dim Hom(ρ, τ ) = 0.Теперь рассмотрим случай ρ ∼= τ . Тогда их можно отождествить: теперь мы будем рассматривать Hom(ρ, ρ).Пусть ϕ ∈ Hom(ρ, ρ). Тогда, поскольку ϕ : V → V сохраняет действие группы, получаем ϕ ρ(g)x = ρ(g)ϕ(x).В силу алгебраической замкнутости K, у ϕ есть собственный вектор с собственным значением λ. Покажем, чтоVλ есть G-инвариантное подпространство. Действительно, x ∈ Vλ ⇔ ϕ(x) = λx, тогда ϕ ρ(g)x = ρ(g)ϕ(x) == ρ(g)(λx) = λρ(g)x. Таким образом, вектор ρ(g)x является собственным вектором с собственным значением λ.Значит, Vλ действительно G-инвариантно.

Но ρ неприводимо, а потому Vλ = V , ведь оно ненулевое. Значит, нашоператор есть просто гомотетия с коэффициентом λ, то есть ϕ = λE. Но пространство гомотетий, очевидно,одномерно. Поэтому dim Hom(ρ, ρ) = 1. Следствие 7.1. Кратность неприводимого представления для алгебраически замкнутых полей являетсяинвариантом.mL Рассмотрим ρ =ρri i , причём ρi попарно неизоморфны. Рассмотримi=1MMrkrirkri∼∼∼Hom(ρi , ρk )Hom(ρ, ρk ) = Hom(ρk , ρk ) ⊕ Homρi , ρk = Hom(ρk , ρk ) ⊕= Hom(ρk , ρk )rk ,i6=ki6=kпоскольку по доказанной выше теореме получаем, что последние слагаемые будут нулевыми. Отсюда получаем, вновь используя доказанную теорему: dim Hom(ρ, ρk ) = dim Hom(ρk , ρk )rk = rk · dim Hom(ρk , ρk ) = rk .Следовательно, rk есть размерность некоторого пространства, а она инвариантна.

Замечание. Несущие подпространства Vi определены однозначно, если ri = 1.7.3. Кратность неприводимых представлений в регулярном представленииРассмотрим регулярное представление (G, Λ, KG) и (G, ρ, V ). Пусть ϕx ∈ Hom(Λ, ρ), причём x ∈ V и ϕx (e) == x, а ϕx (g) = ρ(g)x. Из свойств линейных отображений выводим правило сложения гомоморфизмов (ϕx ++ ϕy )(e) = ϕx (e) + ϕy (e) = x + y = ϕx+y (e), откуда ϕx+y = ϕx + ϕy ; и умножения на скаляры: ϕλx (e) = λx == (λϕx )(e), откуда ϕλx = λϕx .Рассмотрим отображение Φ : Hom(Λ, ρ) → V , определённое по правилу Φ : ϕx 7→ x.

Сюръективность очевидна. Проверим линейность: Φ(ϕx + ϕy ) = Φ(ϕx+y ) = x + y = Φ(ϕx ) + Φ(ϕy ). Аналогично, Φ(λϕx ) = λΦ(ϕx ).Отсюда следует, что Ker Φ = 0, поскольку имеет место равенство ϕx (e) = x. Значит, Φ осуществляет изоморфизмлинейных пространств. Следовательно, dim Hom(Λ, ρ) = dim ρ.Теорема 7.2. Кратность неприводимого представления группы в её регулярном представлении совпадаетс его размерностью. Как мы знаем, Λ = ρri i ⊕ .

. . ⊕ ρrmm . Здесь ρi — неприводимые представления. Заметим, что ri = dim ρi .Действительно, возьмём некоторое представление (G, ρk , Vk ). Используя рассуждения, аналогичные тем, чтобыли в теореме об инвариантности кратности, получаем Hom(Λ, ρk ) ∼= Hom(ρk , ρk )rk , и потому dim Hom(Λ, ρk ) == dim ρk = dim Vk . m2PСледствие 7.2.

В условиях теоремы Машке |G| =dim ρi .i=1Действительно, мы знаем, что dim Λ = |G|, поскольку элементы группы образуют базис групповойmm2PPалгебры. Далее, |G| =ri dim ρi =dim ρi , поскольку dim ρi = ri . i=1i=125.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
413,31 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее