Диссертация (1105151), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Измерения микрореологических параметров ведутся путем наблюдения за траекторией пробной частицымикронного размера в исследуемой среде. При этом различают два вида данной техники: пассивная микрореология и активная микрореология [33,34]. В пассивной микрореологии частица движется за счет тепловой энергии и ее движение является вобщем случае броуновским, а в активной микрореологии движение частицы обусловлено внешней силой, например, силой со стороны оптического пинцета, магнитногоили электрического полей, силой давления света и т.д.
Методы активной и пассивной реологии также делятся на те, в которых используется одна пробная частица ите, в которых используются две частицы. С появлением оптического пинцета методы микрореологии стали применять для изучения движения оптически захваченныхчастиц.3.2. Метод анализа корреляционных функций броуновских смещений частиц в оптических ловушкахВыше был описан метод калибровки оптического пинцета, основанный на пассивноймикрореологии в оптическом пинцете с анализом спектральной плотности мощности смещения частиц из положения равновесия.
Также было упомянуто об альтернативным подходе, основанном на анализе вида корреляционных функций смещениймикрочастиц. Введем общее обозначение для таких корреляционных функций:1Cij (τ ) = hxi (t)xj (t + τ )i = limT →∞ 2TZT−Txi (t)xj (t + τ )dt,(14)Обзор литературы: применение метода оптического пинцета...23где xi — смещение вдоль оси Ox i-ой оптически захваченной микрочастицы из центрасоответствующей ловушки, если i = j, то функция является автокорреляционной.
Если i 6= j, то функция является кросс-корреляционной. Автокорреляционная функцияброуновских смещений частицы содержит информацию о ее отклике на действующуюслучайную броуновскую силу. Она отражает, насколько движение частицы в моментвремени t + τ связано с движением частицы в момент времени t, то есть автокорреляционная функция движения частицы отражает “память” системы.
Время затуханиякорреляций зависит от параметров всей системы, включая оптическую ловушку иокружающую жидкость. Это позволяет по автокорреляционной функции смещениячастицы определять микрореологические параметры среды.Кросс-корреляционные функции смещения частиц определяют связанность движения двух частиц. Корреляции в движении частиц появляется за счет их взаимодействия. Частицы всегда взаимодействуют посредством общей среды, так как движениеодной частицы создает распределение скоростей во всей окружающей ее жидкости, иэто движение жидкости влияет на движение второй частицы.
Таким образом, величины корреляций движения частиц зависят от свойств среды и ловушки. Это позволяетизмерять эффективную жесткость оптической ловушки и коэффициент вязкого трения среды.Также между частицами могут действовать силы прямого взаимодействия, например силы притяжения и отталкивания магнитной природы. Наличие этих сил такжеделает движение частиц более “связанным” и влияет на вид кросс-корреляционнойфункции. Поэтому целесообразно использовать измерение кросс-корреляционныхфункции движения частиц для измерения сил взаимодействия между ними [9].3.2.1 Автокорреляционная функция броуновских смещений одиночной оптически захваченной частицыАвтокорреляционную функцию C(τ ) = hx(t)x(t + τ )i броуновских смещений для одиночной оптически захваченной частицы в несжимаемой ньютоновской жидкости можно получить, записав уравнение Ланжевена:ẋ(t) = b0 [f(t) − kx(t)].(15)Обзор литературы: применение метода оптического пинцета...24где согласно формуле Стокса b0 = 1/6πηa — коэффициент подвижности частицы, a— радиус частицы, η — динамическая вязкость жидкости, а f(t) — случайная броуновская сила, имеющая следующие моменты распределения:hf(t)i = 0,2kB Tδ(t − t′ ).b0hf(t)f(t′ )i =(16)Уравнение Ланжевена имеет стандартное решение [36]:−ωk tx(t) = b0 eZteωk t1 f(t1 )dt1 ,(17)0где ωk = kb0 — характерная частота движения частицы в оптической ловушке.
Спомощью этого решения можно найти автокорреляционную функцию броуновскихсмещений частицы:C(τ ) =b20 e−ωk (2t+τ )Z tZ00teωk (t1 +t2 ) hf(t1 )f(t2 )idt1 dt2 .(18)Подставляя соотношения для корреляции случайной броуновской силы и учитывая,что нас интересует стационарный случай, получаем [37]:C(τ ) =kB T −ωk τe.k(19)Характерное время затухания корреляции τcor = 1/ωk равно времени за которое частица пройдет из центра ловушки до точки поворота в гармоническом потенциале.Точка поворота определяется пересечением энергетического уровня kB T с потенциалом оптической ловушки.3.2.2 Авто- и кросс-корреляционные функции броуновских смещений двух частиц,захваченных в две независимые оптические ловушкиДве частицы, захваченные в ловушки, взаимодействуют посредством окружающей ихжидкости, поэтому уравнения движения оказываются связанными.
Для дальнейшегоописания движения частиц принимаются следующие допущения [37]:(1) захваченные частицы имеют одинаковый диаметр, а оптические ловушки ха-Обзор литературы: применение метода оптического пинцета...25рактеризуются одинаковыми коэффициентами жесткости.(2) между частицами не действует никаких сил, помимо сил гидродинамическоговзаимодействия.Силы гидродинамического взаимодействия, действующие между двумя частицами, были вычислены в нескольких работах [38–41]. Было показано, что для жидкостейс низким числами Рейнольдса гидродинамическое взаимодействие между частицамиможет быть описано в приближении линейного отклика, то есть скорость или моментвращения частицы можно выразить как линейную комбинацию всех сил и моментовсил, действующих на частицы.
Для начала будем рассматривать случай, когда начастицу не действуют внешние вращательные моменты, тогда можно рассматриватьтолько поступательные степени свободы.Пусть центр первой частицы имеет координаты r1 , а центр второй частицы имеет координаты r2 , на первую частицу действует сила F1 , а на вторую F2 . Запишеммгновенные значения обеих скоростей U1,2 через элементы тензора подвижности bijи величины сил [38]:U1 = b11 F1 + b12 F2 ,U2 = b21 F1 + b22 F2 .(20)Тензор подвижности обратно пропорционален коэффициенту вязкого трения, а такжезависит от взаимного расположения частиц, то есть от вектора r = r1 − r2 . Так каксистема двух сфер симметрична относительно направления вектора r, то компонентытензора подвижности можно записать в виде:r⊗rr⊗r,bij = Aij (r) 2 + Bij (r) I − 2rr(21)где i, j = 1, 2 — индексы, нумерующие частицы, r = |r|.
Коэффициенты Aij (r) и Bij (r)— величины продольной и поперечной подвижности.По теореме Лоренца о взаимности, симметричность системы позволяет выписатьследующие соотношения:A11 (r) = A22 (r),A12 (r) = A21 (r),B11 (r) = B22 (r),B12 (r) = B21 (r).(22)Обзор литературы: применение метода оптического пинцета...26То есть если частицы эквивалентны, то b11 = b22 и b12 = b21 . Рассмотрим случай, когда F1 = F, а F2 = 0, в приближении r ≫ a можно пренебречь влияниемвторой частицы на движение первой.
Движение первой частицы создает поле скоростей в жидкости, которое убывает обратно пропорционально квадрату расстоянияот нее, движущаяся жидкость действует на вторую частицу, и ее движение создаетвторичное поле скоростей. В приближении r ≫ a, этим влиянием вторичного поляможно пренебречь, поэтому можно считать, что первая частица движется со скоростью U0 = b0 F = F/6πηa. Она создает поле скоростей жидкости v [42]: a33a3r′ ⊗ r′ 3a3a+−+,v(r ) = U0 I4r′ 4r′3r′24r′ 4r′3′(23)где r′ — радиус вектор, проведенный из точки центра первой частицы в произвольную точку пространства.
Рассмотрим скорость движения свободной от внешних силчастицы под действием этого поля скоростей. По теореме Факсена [43] скорость движения второй частицы выражается в виде:1U2 = v(r) + a2 ∇2 v(r).6(24)Используя выражение (23), пренебрегая слагаемыми со степенями ниже r−3 , запишемскорость второй частицы: 3aa3r ⊗ r 3a 3a3U2 = U0 I+− 3+ 2.4r 2r3r4r2r(25)Или, если записать в другом виде:3ar ⊗ r 3a a3a3r⊗r+ 2.+− 3U2 = b0 FI− 2r4r 2r3r2rr(26)Используя это выражение и равенства (20) и (21), можно получить выражения для27Обзор литературы: применение метода оптического пинцета...коэффициентов матрицы подвижности в этом приближении:A11 (r)b0A12 (r)b0B11 (r)b0B12 (r)b0 a 4=1+O,r 3a a 3a 7=−,+O2rrr a 4=1+O,r 3a 1 a 3a 7=+.+O4r 2 rr(27)Полученный тензор гидродинамического взаимодействия bij принято называть гидродинамическим тензором Ротне-Прагера [44].
Но обычно, описывая броуновское движение частиц, пренебрегают членами ниже порядка (a/r)2 , тензор подвижности, полученный в таком приближении называют тензором Озеена [45]. Многие авторы находили выражения для слагаемых более высокого порядка разложения. Например, встатье [44] можно найти выражения для коэффициентов матрицы подвижности с учетом вплоть до слагаемых, пропорциональных (a/r)11 . Количество слагаемых, котороенеобходимо учитывать в расчетах, в большой степени зависит от отношения a/r. Вслучае, когда частицы находятся близко друг к другу r ≈ 2a, лучше использоватьдругие способы вычисления компонент тензора подвижности, например применятьr − 2a, приведенное в работе [39].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
