Траекторная классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерных многообразиях (1105052), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для Лока~ательства Втое'О следствил достаео ено привести слелствие теореъпй тонкОЙ тополОРической классификации для потокоВ ме- трик просч'ейтпсГО Вида и эпм'етить~ что Л-инвсц)ижнт таких потоков ВСЕЕ'ДЗ, 'ЦЩВИЫ.ГЕЕН. И.оммйн'уэфй%Й. В щ>едхйдущей главе был.найд1щ удоб~п4Й ФпОсоб дискретнОгО кодироваиии функций ~ и Ь мехрикй так, тж зкщщалбет- Я-вектором; ТО есть множествО классов зкзиваленхности дискретно и '- мо~кно было бы дополнить "топологический код" до "траекторнОгО". В общем случзе найденный инвариант, клзссифицирукФщии ~мм'- , сматриваемые системы с точностью до траекторной эквивалентности, ие является дискретным объектом.
см. предложение 2.2, поэтому здесь ~2. Нетривиальность классов траекторной эквивалентности,нк топологн'1ескне свойства Содер~кание зтого параграфа составлиет изучение различны~ свойств .множсс~в классов зкмпвлснтности геодезических потоков лиувилле- ВЫХ МЕТРИК НЪ ДВУМЕРНОМ ТОРЕ. Предложение 2.1. 8 мю6ой окрестности произвольной лиувилдввой ие~~ф~~~ й~ дв~~ивЯно.и майоре, зо. ~~с~~~о чвйцв и ' й~ос~ой " ~в~ч>ц~~, с~- ~цвс~ивув~ св.ивйс~йво ~е~~ц~, зов~~с~~~цве о~п фри~~ц~~оно,.~ь~~оео ~йро,.ие~~яй, ~ф~~~~д~в~:о~~~~~ од~о~~ ~~йсс~~ ~~чй~вк~порйо~ ~кв ~в~~ен~~йос~й~. -::.Доказательство, Рассмотрим случай, когда функции ~, Ь имсют ,'' .НО Одному максимуму нй отрезке-периОде решетки.
Молекула И' ( ~, Ь) Имеет вид, изображенпыи ни, рис.4. Трямкторныи инвариант -- эч'О Пщэь функции вращения -- — на ребре е1 и нй ребре е~, см. рис.4. :: - мв~сА Ачйе6йо-с6язй~~~~ ийолсес~йвй ии. ДОкйзйтВльстВО, Линейный Элемент метрики на торе с линейнжм по '::::.: импульсам интегралом имеет в некоторых координатах вид где 1, 7;, --- периоды решетки, задающей наш тор.
Ил привсденных вьппе рассуждений функция вращения имеет вид 0бовначим ~~~, ~~, ~д. с~,~ функции, обратные к функции Ь., на Рассмотрим функции вращения, соответствуккцие ребрам 1,2,3, см. рис. 6, Тогда Использ~ я форм~.н~ решения Нити ~3альнот~о урйзнсния Абелй: если ::: . нням Вр'яцсння МОЖНО Восстановить функцнн с»;, ~ = 2й, нрн'~ем едннстВенньп4 Об~эззом, теперь две метрйки Uа торе с функциями Ь н Ь и траекторнО :. эипщалентньтмн потокари будем соединять В классе их траекторной ~квивзлентностн так, чтоб~~ совна~н с~;, ~ = 2~+1 н функннн ~~~ценнн.
то~да совпадут н ~~„., ~ = 2~, то есть функцня Ь нерендст в функц~~о Ь * Теорема доказала. ~3. Свойства функции вращения. Примеры Предложение 2.2. Фдкщмя 6рицей1и Р~Г,! $6,иста гладкой фрщ- ця6Й йа ьяшер6йлс Х~ см. ~Рьс 2 Сед.$06Омц ОлиоАФд СООшбстисщбдетВ ФСВМЙЛЗО~ВЯК6 бядлебой гкнпц)цкь НО лкфю, Докззжхйльстно. Рассмотрим ребро с ~ Д'®. Фъпкяии вращения КМЕет ВИД о у7~я+ Г Пусть о~, о2 — функции„обратные к Ь = Ь~р) на интервалах монотонности, см, рис. 4.
То~.да ~(~) = '-, ~ е (~„~,). "' 2(а,( — о ~)йв 8 — Г Отлода очевидно, что функпия вращения — жо гладкаи фуыкцил на интерваж 1,. Найдем асимптотику для Функции вращения при Г„ стркмлщемся к ссдловояу критичсскому значению. Рассмотрим предел функции 6~К) при .Р— ) 6~а). где а — -- это точка $окж1ьноГО минимума функции Й. Имею4 2~И б(Г) =, Й(81) = 6(ьр) = Г, 6(8) — Г ,~,ак как д ~Я) — о то асимцтотика ддЯ ~)~ ~~ ~ при „~%' — + ~~Я) им()сч вид ° Пусть фунех~ия вращения монотощи,„'уо есть рр(Г) '4" О' ТОГдВ Ь~Й "~.
Ьау. Легко заыетить„что Йу <". О. Поэтому Ь аа~ .~~ Ь'„О. (2) '-,: ' Отсюда необходимо Ь~' < О. Пусть Ьр' <" О, Для потоков метрик с конформным множителем Л(х, д) + с функция Й~,Р) имеет Вид: Найдем условие на константу с так. чтобы выполнялось (2): ай~ < ЬЬ~;~. Функция ЬЬ~1 непрерьпщо.
на ~ЬО, Ь~~ ~ доопределястся нулем при Ь = Ьо, так как функциЯ Ь имеет эсимптотику ~1) Щж Г, стремяп~емся к Ьо). Поэтому с~чцествует константа Найдем условие на константу с, чтоби аале < ЛХ. Из выражения для функции а(Г) легко следует, что аа~-' < — ~о — с — йо. Отсюда при с > — ЛХ вЂ” Д вЂ” Ьр выполняется ~2). то есть функция вращения на ребре Аналогичные рассу кдения проведем для функции врашения на ребре е2 (- Дг' ~ ~) при атом вместо константы /Я возникнет ко)нстанта ВХ". Пусть % = шш(ЛХ,ЛХ').
'1'огда для с > — М вЂ” Д вЂ” 66 функция вращения на обоих ребрах е~ и е~ монотонна. Предложение доказано. Свдс'увие. ДАя ЯОшеициймьиОи сисшсмы 'иа шО~96 с иошеициймО44 '-: вида У~х,у) = Дх)+Ь(у), где ~ и а исриодичиы и ижеюш нс более ОдФизО мйФсси44фма нй Оущ)свис-Фыяиоде решешки, иа ФФО66~ФМКОсшяю дОсша- ФвО~4МО бОФь'ших Фйереии ффйкциА 67ЙФчениА моиошОИЯЙ шОГда и шомькО мешрцк дййиОГО ссмихсФР66 тйойомо~и~46скм щ~йсюВО~ЙО Люб'цбяАВншяь$ тогда и тйолько ~ио~да, ~ОВдй ~" + й + еЦ~1 + 2й) = сопИ, ;фф;;; ', Дщ~~д~~(ъщ с~~ц~ Рдсс~~~у~ри~~ фупкцщ() Д~д) — ~дд у+ ~ рц~, :р+ 1 Для $ф.-.' ' ее ироиЗВОднОи нмесм Вырьжбнис Ф, При О < Р' < 1/2 график функции Ь иыеет вид„изображенный на Рис.
12. 'Хаки~ ~~бра~о~~, ф~ нкди~ Ь .и~~~е~ едйнс~~енный макси~~у~ н~, ОтрсзкВ-периОдй рйптсч'ки. ДОкй2ксм, ч'.ГО функ11ия 6~У) сГрОГО убьхВЙВт Щ~и Р б ~Й. Й + 2~. Ооозначим И ) Отсюда фР . ~ О. Ъкда ез (3) следуе~ что Ьр' 4" О«Таким.Обрэзом~ мц находимсж з условиии щ>едлщеещщ 3. Для каждого Й (.".: ~е, Ц2 — 6) существует со®. Выберем 7ох;пь для с .:~ со функция вращения на ребре е монотонна. Рассмотрим дред(яьное значение для функции вращения при К = Й+ 2.
С помоптью предложения 2.2 легко получим критерий траекторной эищвалентности для метрик эхчм"о семейства. Предложение доказано. Следующим следствием траекторной классификации лиувиллевых Предложение 2.5. ТВОЯЯ 1'еодез~~че~~~е йо~йо~~,~~рв~~,~ее~~; ~е~~~й йй шадать пределы функции вращения, соотнетспзуинцие атомам А молекулы И", см, рис. 2.
Обозна'1им Доказательство. Предположим. что лиувиллевы метрики на горе с '::::.конформыми множителями Л и А+ с топологически траекторно экви':::::: валентны. Тогда из теорейж 2.1 следует, что необходимо должны со- Ц НРОдыд~чцих и:цквд )ээфйх ИВстОящюй Главьх пОдрОбнО изучвлись СБОЙ- с'РВЙ ГюОдюзичюских ЙОтОЕОВ ли~"Биллювькх 14ютрик ИВ двумюрнО34 хОдю. , ДОЩСИЗВОСТНО, ЧТО Щ)ОЮКЦИЯ РЮПЖНИЯ СИСТЮМЫ ДИффЮРЮНЦИхИЬНЫХ у~изнюнии) зждъющюи ГООдюзичюский пОтОк, из кОкжсжтюльнОГО рВсслО ЮИИЯ ЦЯ КОНфИГУРЩЦИОННОЮ УЦОУООбРВЗИЮ УУО У ЮОДЮЗИЧЮСКЗЯ ДДННОЙ ь~ютрики. ПОзтО~~ для изучюния сВОЙств ГюОдюзичОских ~дОбнО йриь~ю- НИТЬ РЮЗЪ'ЛЬТВ ТЫ ИССЛЮДОВВНИЯ СБОИСТВ РЮОДЮЗИЧЮСКИХ ПОТОКОВ. Предложение 2.6.
Замыкание мможептма, яамютасмого нсзамкмупюй ~'ЯОдВзическО'ц яуцб'Йля6ВОЧ мю7йяцкъ С,: йа ~о~)ю, ~мю6~ айд й:. ~:. 6, ф —,~~О6Ое ц ~а с "-. у ~ а, ~ —,~~о6ОЮ, СМ; ЯИС. 1Я. ;1 ДОказйтельс'х'ВО. ПРОскция тОрн ЛиуВилля с иррьциОнзлънОЙ ОбмОтКОИ ЭТО ЗЬМЫКВНИЮ МНОЖЮСТВВ, ЗВМЮТНЮМОГО НЮЗЗЬХКНУТОЙ ГЮОДЮЗИЧюскОЙ. Тор Лиувидля нь изозню~Рютичюской поверхности (.Ц = Ц в НВЩЮМ Г7~ГЧЯЮ ИМЮЮТ ВИД-' на танк',, имеет Вид Й '." х "-. 'б д — лтобое или с ~ д ~".' ~д, у — 2побое. Бреддоиыние докйзьно.
Приме;Р. Рассмотрим "п.~оску~)" петрик~' на торе: линейный з.'.~- . где У,,'Т, — периоды решетки, заданной иасап тор. Тогда геодезиче- ский ноток — система диФФеренцпдльньхх уравнений — имеет вид: .Хеодезичесеие очевидно, имеи)т Вид ох = бд+ 1~ й, Ь, 1 сойзй. Геодезические замкнуты тогда и только тогда, когда пъаХ = бди„„, „ РДЮ ТВ й ~. -Я. уу В ВЬХЩЧХВНК~ЭЪ МЗ "ГФЧИИ ~.'~ ~ ц () А — ~И~„~~ А9 — ПХШЬ,,~ — ~(Ж )„. ~~ = Ц(у~) й~+ ~ =' гамильтонову систему с гаьптльтонианом 'У~~ Л~~~~~~~ й~ й~~~~~~~ ~~й~~~~~~ й~~~~ХН~~~~ (Н = 1~ ~~й~~ ~~~: Г = Ь" ЗШ~Π— ~ СО8~а= 6*$ай ~ — „Г' 1+Фа~~ ~ж Отсюда Г яВлявтся дробно 41пнейпой функцией относительно Фап О и, следовательно, ыонотоно-возрастщощей, так как Ь' + ~' > О.
Если Г = --~о., то ПРВДлОжОни8 2.8. ДМЯ 'ЧРОВзвОмьмОЙ ' кейАОскОЙ А7Щ6'ИА466ОЙ меФЯЯкц Яй 174сфе Люба УИО'чкй $7кфй — миО 1иОчкй ОдиОЯэйшиОЗО Нефе" еечеииЯ йекОтйОрОЙ незйлюйфйюй зеОдезическОЙ. Виеевктиувеы дбрт 64ыжиьи РГАОв, ОфйзОвйккьи" кйсй7иемьйьзмО к двоим ОЯЩезки4 РииьОЙ геодезической — зтО кйсйтельиые к мцкйАм яжвнл лиувиллевыж ко- ОЯдпнОлЦ СЖ. РЯС. 13. Пусть Ь -,~ сои~1.
Тмда существует незамкнутая геодезическая, о'~ ~~6, ~~-~0,7~ о ~О,Ь'~;Т~. 3 самом деле, рассмотрим значение ин'Ре1 рыла, системы К > Ьо, Имеем., что 11ш р~.Г) = оо. Р-+й~ П~зи зтоы ф~Р) = сс 'Гогдз, и только тогда.. когда Ь (Й ~~ф)) = 9. Отск~да сушествует такое 6, что функция р~Г) не локально постоянна на (Ьо.
Ьц + О), то есть незамкнутые рипенил во|о,ду плотны при Р из интервала йо, йо + д). Имсем Кыкдая точка множества — это точка щнократного самопересеченил незаыкнутой геодезическои*. При зтом касательная к линии уровня лиувиллевой коодинаты— зто биссектриса угла„образованпого касательными к двум отрезкам геодезической, пересекаэицимся В данной точке, см.рис, 13. Следствие Х. Зев лиувивдевы ковудимамщ4 дацко "нвимовжо6" ~аетрики на торе'иолучаюяим дранг ~и друга жуир сдвига и растядымия, другимю с 4овйми, Свми койфбядФнчй множцщыь минеййогО элГ- д~вища — - двоякох4е37иОдичвсжйм уюФОМФлуыльиОА ффнжция; 3730 м4щвь4- двв вид Зикого 4инВЙЙООО;мвмеяхйа Вдмксшввцен.
Доказательство. Из доказанного вьппе цредложсння вытекает, что линии уровня лнувнллевых коодннат — инвариантны для произвольной ""нецлоскОЙ"' метрики на торе. Докажем, что все лиувнллевы координаты данной "неплоской" метрики на торе получаются друг из друга путем сдвига и растяжения. Диувиллев вид 'нлоской" метрики на торе тогда. очевидно, единстве- ~огра испо-'ильзу" доказанное выше нредложенне; оез ограничения общности можно считать, что СлсдстБие доказано. КомментаРий. Итак, если лиувиллева метрика на торе имеет сЬ2 = (У~и) + ь~е))(ди2+ йР), Аналогично действуеы после подстановки е1 —— — 3..
Иа Рааложения функции $', У придем Ь. Далее необходимым и достаточным условием ныполнения тожле- Й ~ — б'„~1И~Ф„й+6 совМ„и,) = Х„ Для лхобОГ"О и. Е Х. ~ нредложе"ин 2 4 ностРоено семейство лиувиллевцх метрик на торе с траектОРно эквивалентными потоками, Рассмотрим семейство метрик Суп~ествует константа со такая, что Для ля~бого с:~ ср потоки метрик даннОГО семейства тОЙОлогически траекторно зквивзлентны тогда и различных значениях констант 1, с метрики данного семейства не сво- Из единстВениости Разложения В Ряд Фурье сразу получаем„что при различных значениях констант 1, с метрики данного семейства ие сзо4ятся одна к другой путем замены переменной. 1 1 Й~ д~ Ц8 — + ', С=СОйМ* 6~у) + с Д~х) + с ~~к) + с А~у) + с ' * зквивалеятнОГттъ раГсматриваемых пространств, то ОнО переводит О' В О' и — и в — О ~ см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
