Траекторная классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерных многообразиях (1105052), страница 2
Текст из файла (страница 2)
КачестВенн~до картину ВзаимноГО рьспо- ложения этих ЛОкальные минимумОВ на Графиках мОжнО задать нееото рым целочпслснным вектором. Оказалось. Что потоки эквивалентны, если соотВетстВухощие им цедочисленные ВектОры экВизалентны, то есть йолучае~тся друГ из друГа некоторой снециальнОЙ йерестанонеои их координат. Этот факт сразу позВоляет пере щслнть Все различные перь дадим точные Определения. Рассмотрим График функции 7 = ~~х) на Отрезке-периоде ~О, T„1 рещетеи и замкнутое множестВО Г = О < х < Т,, О < г < ~~т).
Без ОГраничения ОбщнОсти можнО считать, чтО В точках О, 7 функция ~~х) Дости1 ает ГлобальноГО минимума 1,этОГО можнО ДобитьсЯ сДВиГом арГумента т), Пусть С вЂ” - это множестВО локальных минимумоВ функции ~. Обозначим мнОжестВО Отрсзкоз С Д T = с ~- С через Х~~ и рассмотрйм множестВо Х2 = ЦН ~ Ю„~с, Где ~1 содержит хотл бы одну локально минимальнуто точку функпип Ди). »,Ь = ~~~У) + ЬЕ))(дж +ф ) Пусть Ю = (ФФ; ° - °,е,,)' — $4КОж66'и$О'точек пересбченяй х'рафика ~' — Д~) с От'резками из Р, а тогда',~~„з = 3„,, „.,Ф вЂ” ароищим 'Г0- чек е; йа Ось ~' = О, й~ <. ° ° ° » .
й~, Обозначим через й» число 'хочи~ нересечепии Отрезка ~ж~, 6»1 с множесх3$(щ Д, Положим ЯУ) = (Й1г- .. газ)г см. рпс. 7. Я(Ь) Определлетсл анзло- ГИЧВО. Определеиие. Кодом 1 (Л Ь) лиувиллевой метрики На Г»гРЕ С ПЕРИОДВМИ РЕХПО'Х'КИ 7~г 'Ту НВЗЫВаЕтСЯ ИЩЛОДОВатЕЛЬНОСтЬ ~(У, Ь) = ~~У), О..~~Ь).
Определение. Пусть ~Ь1,..., Ь|) — произвольная связная подпоследовательность в У~~. Ь) такал, что Ь1 —— Ь~, Ь; > Ь|. Пусть (1, Р~ г 1г..., 1, Р„, 1) — — связная подпоследовательность в Тф Ь), где Р; ПОДП» 'СЛЕДОВатЕЛЬН»г»-"~'Ь В ~~ Уг Ь) г КажДаЯ которои Оольше 1* Перестановки ~1, Р~„ 1, ...г 1г Р„, 1) -+ ~1,Р , 1,..., 1.Р1» 1)г Я~~),Ог Я~Ь) -+ З~Ь)»Ог5~~) называются злсментарными преобразованиями кода T® Ь), ОпРеделенке. Два кОДа называк~тсл зквнвжэВнтнымиг осли ОДен получаетсм из другого конечньпх числОм элементарных преобразований. '7еоре1ин 1.3» ДВе 4юфби4466ь4 ме»ВЯииа йй тВОЯе дйдйюУЙ 7ЙОЯО4о" ЯЦЧВСКИ ЭЖВЦ6 ОФЕНИ»НЬЮ ИОЯЪОКЦ „ЕС4Я 'Ц 7ВО4ЬХО 6СФМ Я3 7СодЬ$ ЗЕВЯ694енФпиы.
Любое дОЙДО7и~м0е Зййчеми'. юодй У Яюй,4изДВшсА. Мак код Доказательство. Докажем зквивалентпость двух формулировок теореми о топологической классификации геодезических потоков лиувил- левых метрик на двумерном торе. Совпалсние молекул И «»,Ь) означает гомеоморфизм графов И". Буквы-атомы имеют в напыы случае вид, изображепнъщ на рис. 3. ГЪмеоморфизм графа на поверхности, задающего атом Ъ», 1 соотвстствует инверсии «или композиции инверсий) для подпослсдовательности с «Ь»,..., б~), Ь| -— 6»„6; > б1.. Гомеоморфизм графа иа поверхности, задмОщего атОм Р„, сООтветстВует циклическОЙ перестанОВке «или композиции таких перестановок) Для подпоследовательностси Д, Р1, 1,..., 1, Р„, 1): ( 1 ЙФъ ' ' 'Ф'~1'~ йФ~) +'РФ~Ъ3 ~$ ~ ' 1'~МФ'' )7 Замена местами,~ и Ь также эадмт гомеоморфизм Графа И' и соответствует элементарному преобрззованщо КОДа Из общего вида молекулы И'(~, Ь) легко понлть, что перечикенние ГОМЕОМОРфИЗМЫ РРафа ис'1срПЬПМЛОТ ВСЕ ВОЗМОЖНЫЕ ГОМЕОМОРфиэъ4ы~ сохранящие молекулу.
Поэтому два кодз, соответствушт метрикам с топологически эквивзлентньтми потоками тогда и только тогда, ко- Рда Они получаются друг из другз преОбразОваииями псрсчислепными вьппе, то есть путем элементарных преобразований кода, см. определение вьппе, ДОП~ стимые значения кода Задио'х качественную картину ВзимнОРО распОлОжениЯ локальных минимумов и максимумов Функций ~ и Ь, которыс далее легко восстановить. Очевидно, заданныы значениям кода отвечает целое семейство функций ~, Й. Тсорсма доказана. Для формулировки след~чощсй теоремы из помним Важное понятие сложности интегрируемой гзмильтоновой системы (введенное В работе 1в1), Пусть б — это Рамиль'Гонова системз на замкнутом Ориентированном многообразии ф интегрируемая при помощи некоторого боттовского интегрзла 1'.
Обозначим через ш общее число всех минимальных, максимзль- ных, седловых критических Окружностей. Удзлим из мнОРООбрзэия Все изфЯфоззнные' критически6.4Яфу36кбсх и."Я свл цхые коыххОЯьеты кр$и'ических поверхностей Як$ннм иххтеГрз4ж Г, .СОДержХццие ОеДэовые кри тические Окрухкиости: В результате многообралие Я рассыпзтхси э о~уьединение кОнечнОх'О числа Откры'хъи Янах'Ообрвзий, каждое иа кО- р торь3:к гоыеоморфно 8 х Я х ~О:„Ц, Число Этих многообразии ОбознаЧиък Через л. ОххредВлбнию- Пара неотрицательных чисел (т, л) назывмн: см сложностьто даннои интегрируемой гамилътоновОЙ системы Ф.
Известно~ что слОжнОсть зто тОпологическии инвариант инте грируемой систомьх, то есть отвечающей ей молекулы. Сложность молекуля — пара ~хй, 7Ф), где хй — числО Верхцин графа И и и число ребер графа И'. Хаким Образом, длл Кажд~й интегрируемой гамильтоновои системы определено се место В таблице сложности или мОле куллрной таблице.
Сложность ~т, а) имеет простую интерпретацию в терминах исходной гамильтоновой системы: т — число критических периодических решений данной системы, л — число однопараметричсских семейств торов Лиувиллл на изоэнергетической поверхности Я, Число этих семейств равно числу компонент связности открытого 3- многообразия Я~Я, где 2' — объединение всех особых слоев лиувиллевого опоении. .хеорема 1.4. Мно~сес~пео осе~ сеодезц ~ее~,а~ ао~~о~ое,~афв~,.~.~еех и: мел~рнк жа тиоре юооражаещсл молекулярной хиаб~ище в биде объсдаиения ~ВО~4кю (О Г~ ю САедфющеео мкожестВВа: Дажазжу4-'льсхм4~ Птае, слоиайстъ .~йиеграруефой системы — Это пара (~й, Й),' х'де ~п — число критическйх окружностей,п.
— ' число ребер и Графе Я ф Ь). Очоэидно,. ч'то Яъ = 4М+ 4М, аде М,Ф вЂ” числ локальных миним.умов функций ~', Ь соответственно, РассмОтрим случай когда К ~ (3 М '~ О, Из проведенных рассуждений О ПОс'ГРОении графа И'Ц, Ь) имеем, что,длЯ лк~6ых ~' и Ь час Гь графа, состолп40Л и:~ ребер Й„Ь, с„Н, см.
рис. 2, остае"Гся неизменнОЙ. Далее рассмО'Грим возможные сосдинениЯ уже ОбОЗначенных Ве~ипин~ см. Рис. 8: уй = 4Й. АбХ, т — + 2 < и < тп, и = 2~р+ Ц, р б И. Заметим, что все графы, изображенные на рис. 4, реализук~тси как поток некоторой метрики на торс, так как по алгоритму построещы графа 11 ф Ь), действуя в обратной последовательности, получим пару функций ~ и Ь, графики каждой из которых удовлепзоржот нужному соответстВИ1о.
Все проведенные рассуждения О сложности системы, где ~~ и Ь— не тождественные констанГы„можно распространить и на боттоэские случаи ~ = сохы1 или Ь = собою~, в каждОм фОрмальнО полагал М = О или Я = О соответственно. ГдЕ У, И У, - ПЕрИОдм рЕШЕуКИ, Заддмц~(',Й ц;цИ ТОР.
РЬССЬЖ'урИВМО'уСЯ уЛйдКИО фуцКцИИ ~ И 5. ~'ЕОДЮИЧЕСКИЙ ПОТОК ЛИУНИЛЛЕВОЙ МЕТРИКИ На ТОРЕ -- это И~'~" В ф :Г У С УЗ~(ИЛ~ 'УОИИ~ИО~( ХХ И ДОПОЛИИ'У(~.~И.Ы~( ИИУОУ~~йЛО~Л Р ВИДй: Я ~Д'П ЦОЙЩВМ ВСЩДУ ОУЛУ ПРВДПОЛВУд'У~ УТО ~ И ~ фУЦИПИИ МОРСЛ' КЙК УСТВНОВЛСНО В П~ОДЫДУПЫИ ГЛЗВС~ ЭТО СОС'уЬВЛЯЖ'у КРИТЕРИЙ ИЕВЫРОЖ ~~РЦЦОС~УЦ ~ б~~~УТОВОС~УИ ) СООУВОТС~УВУУ()ЩЕГО У~ЕОД~ ~Иг~~ъС~(ОУ(» ПОТОЕа. Все такие функции нещъерьпжО ООпряяжиы, так как яилякуу- сЯ стрОгО мОИОтОнньхми с ОдинакОВыми пределами иа кОнцах ПО ЭТОМУ В ТраЕКТО~ЪИЬЙ ИНВВПИИИТ, КЛаССИфИЦИр~еК)ХПИЙ РаССМаТРИВЗРьмме ГистРмы, нхОдят литпь ф~тпл~ии 3~)зщеиия па ~Зебрах дР~жньеБ И (Д ЛСЪФМа 2. АЯЪОМИЫЙ 7Л46О,РИЙЯТЧ Л ЦМЕОТД ИХд А = ~А~.....' Леь), еде А; — - ~/и.Да;) н а;, е =- 1,..., и — упоряоо еенньей набор аока.еьньеа МььеьИМДМО6 С ОдеьЫььеСОВЫМ МЫеьЮМОАЬНЫМ ЗИье,'ЧЕеьеаеМ Х» ЗЛИТЕ ЧТЙО СОСдььНЯЮЩЦЦ ЦХ ОЩМЗОК Х, ~ 0'ж, П) ~ иЬ') — Х, = Щ, И = ~, йе ЕМ.РиС.
2 ДОказатОльОТВО, РассмОтпим седлОИОЙ атОм Р„и.~и 1„„мОлекуль~ И" (~е Ь)„ОТИРЧИНЯЦИй ЦОЛОЛ~ИТЕЛЬИОМУ ЗнаЧСНИЮ ИНтЕГРаЛа Г. ТОГДа ~~~~ — — Д*~+ Р:. О й СИСТЕМа .~~ = СОИ~ 1. Н = 1~- ~е~даЕТ Т~~аНСВСПСаЛЬН~ ~О 2 2-плОщадкъ па О . Как дОказапО и РабОте ~12), гамильтОнйан Пуанк~фе яиляРтся фУНКЦИЕИ, ЗаПИСИЫОИ С ИНТРГ~аЛОМ Р) Ограйй'ХИННОМ На ее-ПЛОЩаДКУ, И СИМПЯЕКТЕЧЕСКЗЯ фОРМа ПОЛУЧВЕТСЯ ОГРЗПИЧЕНИеЮНИЕМ ИСХОДНОЙ Иа 2-ХИОЩЯ,„ЧКУ, ДЛЯ НЕКОТОРОЙ ФУНКЦИИ 6 И Й2* = ф» Д ф.
Д~'-ЯЦ6ЯИ4'ЮЕЕ ЯФССЖМИЯЕЕ6 46МИФ СОСЕДНЕМ 77ЦЩВМ~ Ф~Ж. Доииэж'.ГйлБС'уБО«Рзссмотрим седлОВОи атом> сООТВетствующии пО" л(ккительному критическому знж"еению интеГрзлз, Р. Вьтбедем трансВерсздьнуео 2-плоп~адку в Виде (т = сопИ, Д" = Ц. Для вычисления Ь- иивадизнта на этои 2-плоепадке достаточно замеч'и'ть, что Гзмиильтониии Пуз,нкз~и', см, докзэательство леммы 2, ~адает пОтОк,. симметрич- подход~~цем выборе начзльньех отре~ков.
заладим их условием ф = О, имееох ВНД, изООрйженпый иа рис. 10. 11О опреДедеиик) Ь-инвзфизнтз: Ь = М,.~ = ,'~,'~еХ~~, Х,: = (т "(Х; ). Отсеода сразу получаем, что при таком Выборе 2-площадки Ь = О. Лемма доказана. тзким ооразоее, длл потока проиовольной лиувиллеВОЙ метрики нз, торе можно Вьебрать трансверсальнуео 2-плоецз ~ку и Я' = ( Н = 1~ тик, что Ь = О.
Поэтому Л"инвариант так же не ВхОдит В траекторный инвариант, классифипируеопп~й потоки лиувиллевых метрик на торе. Теперь утве~мкДение теоремтзт 2.1 нспосреДственно слеДует иэ рет~льтжх"ОВ, полу"4енных В ~1Ц,~121 и привеДеннъех во ййеДепии, СледстВию. Кмйсс 7тц)йектйОяхоц эе6ц6йАекшнос7пю Геодезп~юскозо йойЕО~еее,~ее~б~ел~ебой ис~яеее~~, еЬ- = ( ~~~)+ ееф)~фе: +ф ), зде фдн~- е~ееп ~ и 6 ц.ие~о~те еео одно,и~~ .иее~сп.иеее~ц й6 Оее~~езе "е-йе~еееоде Репее~ее~ц, СОСТОИМ ЦЗ ВОЯЪОХО6 МЗХЕЕЯЕЕК С фДНКЦИЯММ ~ И ЕЕ, ЕЕ МЗЮЕЦИХ ШОК;И:Е Одной мймсимдм ня Отияедке-7ж~еееоде ~96юехйуж хйее~ь, еееео Я = Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
