Траекторная классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерных многообразиях (1105052), страница 4
Текст из файла (страница 4)
рис. 13. Перейдем к пределу при а — + О. Отлода отображение;р переводит ЛИНИИ УРОВПЯ ЛИУВИЛЛЕШ 1Х КООРДИНат ПЕРВОЙ МЕТРИКИ 3 ЛИНИИ УРОВНЯ лиувиллевых координат второй метрики, Геодезическая эквивалентиоГТВ означает зависимость функций Г/Н~т. д, т/р). Используя зто, сразу получим условия Дини для гео,дези |Вски Оквивалентнь~х простанств. Следствие доказано. 'Заметим вдссВ, что кроме Ори~инв;и но~о доказателвства Дини, с~. ~Ц суГцестйует еще несколько различных доказате'и Гтв, использу1О- щих совершенно различнук) техникч, Н частнОГти теорема Дини являетсл следствием теоремы Дъ'битва из теории сетеи сь$, А.П, Борден 117~. Леви-Чивита было дано обобщение теоремы Лини на многомерныи случай, формулировка и доказательство ех'О теоремы приведенО.
например, в ~18~. (,.' ПОМЕРК~ РЕЗУЖЬ~ЗТОВ ПО ТРЫКТЩЖОЙ КЖаССИфШЗЦВК ЛИУЗНЛ.- ~~~ЩХ МСтРИК На ТОРЕ, ПОЛУЧЕВНЪХК В ВЗСтОЯШ;ЗЙ ИЮЩ:, УДЗЕтса ПОЛЗОС~УЦО ОУВВ'ГИХЪ НВ ВОЛОС О ЗЗИКН~РОСТБ И ЩЩО3'ОЧ,'Ф ЩЮИЗЖМЕЬНОЙ рУОДЕЭИЧЕСКОИ РЗССМЗХРИБЗЕЫ(Щ М6Щ~ИКЯ. ДЗЦОЬЩЦМ. Ч~*О 3334КЕУ ХВЙ (уОДРЗИЧВСКЗЯ ЯЗВИВ'Х'СЯ ЩЮСТОЙ й(.ЛИ ОИЗ НС Ц34Ю„"3' СЗ34ОПСРССО АГНИЙ. Д РСОДРЧИЧЕСКИУ ЦЗ, ДЛДИПС(ЩДР Т~ЦДЗД ДЗДЗту~ бЫДЗ РЕЩЕНЗ Р Щ 06ОЭЯВЧИМ РаССМОтРММ МиУОиЛЛ(ОУ МЕтиуиЩ Цредложение 2.9. вынущеинал иэ точки х*.
р под углом а за.исидора тогда и только ЗЮЗЮ., КОЗдК ВЫПРЯНСНО ОдИО МЗ СА((дфЮЩ(("(' Дс.ФООЮЙ; Зде ~й, П 63ИМЯОЯ~ОС1МЬМ МЯ7РЯЭ94ьныс ЯИСАй ЯС1Ц ФЗП О <„"В. Этой ЗВОАЗмчссХ9В МОЛЯ('.37мЯ тЦРОСТВОЦ 7лОЯдй и 7ЙОЛЬХО ШОЯдй ХОЯдй ф~Р) = ~/ "~, Л" ~:- Я. 1$ ~Д~ уд, д — бЗЯММОНЯОСЯЪЬЫ БЯЯЗЯ)6„4ЬКИВ 'ЧЦС4ц,. В~МЦ ФВВ Ю,> А. 37НВ ~~цд6ЗММВСК~В ЯОЯА67ВСЯ ЯО~СТЮОЙ 7ВОГдй И 7Ю0МЬКО ПЪОГдй, ~СГИБ ~(Г) = ~,~.'~', М Е Х. ДЛИННО ЭШРЙ ИВОдСЗМЧССКОЙ Яйбйй ф ~, ~ ~ Тр 7ф ЦР) = и ф~(р) — ~Иу+т,/7(х)+7Нл.
° 0 Π— К))У7ПУ'ИСКОВ ЗНЙЧСНМС фЯНЩУУ «р,О = О УАУ. Ь вЂ” ЯРМРИХМВСХО6 ДКДЧСКМВ фД~КЖЦИИ Ь, О. = У/2. ДАИЯЙ ЗАРОЙ РСОдСЗММССЕ077. ~ЯЮФИ СОО7И667ЙСХВб87ИФО если Г < -Д, Р— Регулярное значение интеграла, если Р":> 6О, Г - - регулярное значение интеграла, если -Уо < Г < 60 и связь между углом наклона геодезическоЙ и значением иптеграла Р., установленн~хо выше: Г = Ь я1п Π— / сон О'. Первыи случаи из ъсловия предложения СОответствует графъ И' «~) и регулярному значен1по интеграла Р < — УО.
Второй случай из условия предложения соответствуег графу И'(6) и регулярному значс ни~о интеграла Я~ ~«> /~о 'Третий случай из условии предложепия соответствует ребрам ~, 6; с, 4 молекулы И'~~, Ь) и значению интеграла — Д ~ 1' <; Ьо. гассмотрим теперь критические значенил интеграла .~. Начальным данным у.' ) ф, О = О, где у — критическая точка Функции ~ или х', д', а = ~Г/2., где д' — критическая точка функции Ь соответствуит замкнутые решении х = х' или у = р* соответственно, Остальные Ре)пенин, соотнетствующие критическому значению мцтегра- а, Где ж Р не янляк)тся критическ ми точк;ц4и Функций .
~ и Ь соотнетстненно; — незамкнуты, так как Й,у зиакопостомнньх Вдоль такоГО решенин и геодезическаЯ эакш)чена в пекоторой ОткрытоЙ полосе принадлежаЩеи исхОдному тору. ЦреДположим что ж = О В некоторой точке такой Геодезической, но таким налальньеи данным отвечает гео,лоэическал с регулярным значением интеграла Г = Лйо), ,де Дхо) — некритическое значение функции ~. Иначе даннаа геоДезическ)л — это просто Окружность ж- = то, Где жо — критическан точка ф~ "нкции Ъ'~тановим теперь, какие из найденных замкнутых геодезических Р))осмотрим случаи 1 и 2 из услоВиЯ преДложений.
Рассмотрим положительпыс значения интеграла Г ~ Ьр ° Имеем см, рис. 14. Легко попить, что необходимым и достаточным условием про- стоть) геодезической является условие: Аналогично 1)ассъхат1)инается слъчаи Г «: -Д. ~,"пфсОк ли'х'ВРИ'УУРы фуд 1;. 5орГВ пп рГО1)1еп)а Дц~ ц1 рГеащ~а пе11„ф ', 1 1 11 Рр» еае~ЯЯ)ой) $еОЯтьМе й цпа ЯЯ)еГЯО1е цц «$" щ~Я~Г / / ~,, ) Т.З, 1869, 269-293. ~)аГ1)онх 6 ° ЬРсойв зпГ 1а ФЬеопе ~ефеГа1е (1е8 ацГ1асдъ~~ е~ 1~ арр11са» ода АКОП)е~~Щпеь ди са1сн1 )Ыеп11еЯщ31, РаГу, (~а~ф~еГ ~7~11аГ 18Я Б 1)ядц~.е )-) Я веДеиие и дифф ер ейнци )дьн~~-~о ):яызг, 1957.
Е Е) ГП1йа6ОП '~)оменко А. '1'. 1о~;~о,)огич Уик'~ион. анализ и его „, 198 ~<',-"::::,:'.,' 32,, Вьш. 4, С. З8 ~,";.(,-::,"..--.,''.: 6, Фоменко Л..Г. Симплеетическзл топологии и1н)лне интегрируемых гамильтоновых систем, Ц УМН. 1939. Т. 44, вы, 1, С. 14Ь-173. ФоменкО А. Т., Цишьиг Х.
Крищнии топологи'тескои' эевивалеитнОс~н интегри1)уемых гамиль'Гоновых систем с двумя степенями СВО6о~н. '~ Иж. АН СССР, Сер. Матем, 199О. в,4. ХЗ. С. 546 — 575. 8 Фоменко Л.Т., Циптанг .л'.. О типичных топологических свойствах инте)'Рируемых гамидьтоиових систем,О Изв, ЛН СССР, сер, матем., В88, Т.,"2, И2,, З7Ь Щ~, ~(Я~ едко,~~ ~ 1 1п '"Д) е (~~еоп) ефГ)г О1 11~)п)) 1фоп~ ап а~~н( еп) н Р~ГО ееД 'Щ~ О1 а 7~ОГЙЬ1)ор 1)еЫ .Дцпе о-16,1989, ВеГЫеУ, Ь.Ъ'.: БрГИЩеГ ЪеГ13Я„ 19А,Р.1,З1- ЗЗ9. ВО Грцр~~цытдх ГзмильтОИОВых систюм с ДВ~Яц степс~щди сВОбОды.
'~1ВО- цеиц классификации. П// Мат. Сб., 1994, '1'.185. К5, с.28 73. Д ~ОцлОВ В.В. ТОпОлОГичискис прспЯтстииц к интВГри1~уимОсти нату" рад~нух мсхапи'ыских системЦ ДАН СССР. 1979. Т. 249,:~б, с.1299- 1302, цццц с ДОпОлни- тельным пОлинОмиальным ИО скОРОстим пВРВьхи иитс- гралои./'/ Изв, АН СССР, Сер. матеи,, 1982, Т. 46, Х5, С. 994- 101О. 1э, КзлзлпиикОВ В.В, ТОпОлОГичсская классификация КВадратичиО- ццтеГрирур~д д" ГрОдезит~еских пОтОКОВ иа дВ'.ддсриОЫ тОрО // УМН Т,59, У2. 1995.
тжОВ на КОмпаы.цых ИОВерхнОстях, Дисс. На сОиск. уч. ст. Каид. ~,;еае1 Н. И~ей ~~пй1Ь ф~~фДоффф~~ Яео~аф~вс1~е ,.„.,~~.,реп, Е11;~,~,,ы // УахЬ.. 22, 1О6 — 112,1871. ~ф ( елива,нова Е Н Классяфикаяия геодедиче~, ки)~ нот~"цд ~в диуви~цр~ ' ~пах метрик на 4вумерном ~'оРе ~ точностью 4о топщии ической эищ. ентности,О Матем. Сб., 183, ~4, 1992, С 69 86 ф В, оров Д.Ц.
Ра~оты по 4иФФеренциальной геометрии. М. Наука. ~).)Р;О $ расков М.Л Интегральные уржвнеиия. Цведение в теорию, НВ ~ ~д,. 1975. я, Татаринов .Я.В. Лскции по классической динамике. М: МГУ, 1981. 36, Нгуен Тьен Зунг,, Пояякова Л.С., Селиванова Е.Н. Топологическаи д:-асеификанни интегрируемых геодезических потоков на двумерных мни ообразиях. /'~ Функц.
анализ и его нрилож., 1993, Т. 27. Вып. 3, С. г2 Я 37, 1.е~ч-СЬЬ йа Т. Бп11е ~гааьГоппалоп~ йеПа ецпалош с1шахшсЬе.о Лнн. й ММЬ., 1896, Ъ'.2, К24. 38, 1'иттееер 3."1'.. Ватсон Д.Н., Курс современного аналиаа. М. Физ- иап из, 1963. 39, Громол Д.. Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. Мир М., 1971, 41. Буземан Г.
Геометрия Геодемнческих. физ.-мат. лит., М,, 1962* 42. С, Г,Н тр о орФ'" -'"У' иа двумерном торе, // Матем Сб 199А~~~. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
