Траекторная классификация геодезических потоков лиувиллевых метрик на двумерных многообразиях (1105052)
Текст из файла
20 Я, Осноиная теореыа. Способ дискретного кодирования лиувил- леных метрик пь торе. -зу'Л„+ ~Х" — У'"'.)А =. О Ддц иеиоторык ф~нкций Х(й) и У~ф). Я'еореа~ Дарбу ЯВЯЯетсЯ О'им%'Ом (хМ% и не сОВсем эФФектинным) иа Ващюс О сухцюстВОВании локаЛьных лщ~виллевых КООрдинат. Б даль нейпхем эта тематика нахпла развитие В работах Бианеи,сы, Щ. Им бьхл найДен эффективньхй кри'аверин суЩестВОВаниЯ лиувилленъхх коор" динат) КОгда Одна из функций „~ или Й равна константе.
Этот крите" рий ВьхраХкается В услоиии зависимости парьх функций, Определяемьхх гауссовой кривизнОЙ ьхетрики и ЯвлЯетсЯ следствием Обхцего критериЯ Бианки 0 соответс'х'Вии двух лххнейньхх ххементОВ. Рассмотрим кокасатель~ое расслоение Т'*Г симплектическое многообразие со стандартноЙ схпхплектической структурой.
Геодезический поток метрики йР = Л(т, у)(Ых~ + х~у~) — это гамильтонова система е = здтцдХХ В кокасательном расслоении Т*Г с гамильтонианом Ф~ Р~ +Р2 А(х, у) Общеизвестно, что ххроекциЯ решениЯ системы У на конфигурационное многообразие -"- зто рсшеиил уравнений геодезических данной меТРИКИ. Дарбу в ~2~ Доказана Георема о ТОм, что метрика ЯвлЯетсЯ лиуВиллевой тогДа и только тогда, когД~ ее геодезический по'хок ОблаДает дополнительньхм интегралом„кВздратичным пО импульсам и независи- МЫМ С ИНТЕГРЗЛОМ ЭНЕРГИИ. имеет .нетривизльньхй (не сводяхцийся к линейному) кваддатичньхй пО импульсам допОлнительный инх'еграл иезависимххй с интегралом знер" х'ии тогда и тОлькО то1'да, когда для функции ~У~хх) ВыпОлнено следухо- щее равенство: для произвольных констант из, хх, ххах . Развивая результаты, полученньхе С Ли и Дарбу.
другой франххузский ххах ематихх Раффи в Щ полутхил щудрцдулх ххьпх ответ хха урот вопрос. Им доказана теорема о том, что линейный элемент приводится к лиуциллевому диду с помощью пар Функций Ь, У и Л., У тогда и только тогда1 когда Вьхполнено следухохцее раВенство: 2(х — Унь" — ~") + зл'(й' — ~')— -ЗУ'~~6' + ~') + ~А'"" — У") ~6 — ~) = О. Это уравнение 1 Вффи удалось применить к некОтОрым сххецизль- ньхм видам метрик и ххолучить Оххисаххие их классОв изометрии, Однако это уравнение не дает ответа на ВОпрОс В случае произВОльнОй метрики, в частности~ Глобально определенной лиувиллевой метрики на тОре и Яовьхй подход к изучению хлобзльних сВОЙстВ лиувиллВВых м6" трик йй 2-мнох-Ообрззиях бьхл преДло~~н А."Х.
Фоменко. Рзссмзтривзх тся Геодозический поток лиувиллевом м8трики ГЛЗДКЗЛ ДИНЗМИЧЕСКЗА СИСТЕМЗ В КОКЗСЖХ'8ЛЬНОМ РЗССЛОЕНИИ К МПОХ'О- обрзэихо. Зтй системз, ивлйетси интех'рируемой х"ймильтойОВОЙ систе- ЫОИ (НЗДИЧИЮ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО КВЗДРЗТИЧНОГО ПО ИМПУЛЬСЗМ ИНТЕРРЗЛЭ, было Отмвчсно Дзрбу В ~2~). "1зким Обрйзом, Для х.еоДезичесих потоков лиувилловых метрик на 2-многообразиях применимы релультатьх теории клзх.Глфикъпии ИГС. зктивно изучзвмой В рзботзх А.'Х. Фоменко и ех о учеников.~51-~12~. Здесь Взжно Отметить, что В.В. Козловьхм В ~131 и В.Н. Ь.олокольцовым В ~14) было докйззно несухцествовйние знзлитическох'О по ипуль- СЗМ ИНТЕХ'РЗЛЗ У Х'ЕОДЕЗИЧЕСКОХ" О ПОТОКЗ РИМЗНОВОй МЕТРИКИ НЗ ПОВВРХ- ОЮРВдВлВИЮВ.,ДВВ Глздкие динзмические сисх'емы нззьхвзхотся иея~е- Л.Х, ФоменкО и А.В. Болсиновьхм былъ постзвленй эздзчз О трзек- ТОРНОИ КЛЗССИфИКЗ.ЦИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ ЛИУВИЛЛСВЫХ МЕТРИК НЖ двумерных мнох"Ообрззиях.
Ззметим~ что зтз зздзчз является В нско- .) 'иФОм смысле дВОЙс'.ниннОЙ ж ВиполиениОЙ- ~ уже более.стй лет Бжзьд ) Г6ОДФЗИЧЕСКОЙ КйФ"СИфИКЭЦИИ ДИНИ~, СМ ' ВЬППЕ. ОснОВБОЙ результат иастояпий диссертации — 3'РО классификация Геоде")ических пОтокОВ ли~'ВиллеВЪ~К иетрик на дщмериом торе с 'тОчностъю дО нещня)МВНОЙ траекториОЙ экниззлеитнос",Ри' (Д))))ее Всюду для краткости будем ГОВОрить просто О траекторнОЙ ~кншалеитиоСТИ). Г).ак следстния траекторпой класс))(~)икации получены и услОВия Дини д.~ Г еодеаическОЙ экВИВалентносГи ~)ассматриВаемь))~ странс'ГВ, услОВия экнинйлентно~ч и дй')х лиуниллезьзх р Р (В смысле супжстВОВания:)амены кООрдинат, переВОдящих Одну метрику В другую) и нсобходимь)с услония экви)илентности Геодезиче- П диссертации применяется теория траекторной классификации И1'С, Выполненная А.Ч'.
Фоменко и А.В. Болсиноным В рабОтак ~1Ц, ~121. Аппарат этои ~~~р~~ пО:)))Оля~'.~) ))))))учить критерии траекторнОЙ экниВа1)ентиости рассматринае~ цр~ систе)д на торе и Обнаружить ицте ресин СВОистна з~~но)кос')'8)). КлассОВ экнинэлеитности поТОкОВ. Одним из таких СВОЙстВ янилось су)цестВОВйиие В лк)бои Окрестности произВольнои лиу))иллеВОЙ метрики на торе В С'-топологии целОго семси- стна метрик с трзектй~)нО зкнипзлеитпыми Геодезическими потоками. ).' другои стороны.
Обсуждаеыая;)десь ~адача мо)кет стать красиВОи и сОдержательнОЙ иллк)страцией к ООп~ей теории А."Г. Фоменко и А.В, Б ОЛСИНОВЪ. Я НВ ~з Йвлйхотсй пО известнОЙ 'хбоф6ме тори4и ЛНУВиллй, ОРГВнизо-." . ВадньВкн в Однопйфаметричвскиа сеыействэ,. Рассмотрим окрестБОсть ~ ~ КРИТИЧЕСКОГО ЗНЙЧФНПЙ С БНХ'6ГРЙЖВ Р.НЙ, Я .
Ц ООДЬХХХИ|С'.ГВВ СЛУЧВЖВ ~/ Эхо нрямОВ ххроххзведвние дВумюрной ЦОВ8рхности Р, Йвлйхохххойсй сечением ли7виллеГО юхОВний В Оерн"."РносТН Р = с нВ ОкружнОсть 5 ° Х Поверхность уровнй (Е = с~ пересекает Р пО некоторОЙ крннОЙ Х~ .Атомом нззьхвзйтся хховерхность Р" сО ВРямкенньхм в неВ Графом ,Е,. Полньхй сххнсок атомов, то есть всех возмолхных типов Особенностей слОения Лиувнлля„ххриведен в ~Щ. Где кй,ждоъху атому стзвитсй В соотвехствие некоторай буква-атоьх. Например, атом .4 Обознйчаех ВсеГда миххимйкснухо особенность лиувиллеГО с.хосххий, ххтом В Обозна; чает нростейхпухо особенность ссдловох о тина, Х'риф 'И' бьхл назван молекулои ИХ'С, ДВе молекульх одйнйковы„если соответствухохцххе Графы Гомеоморфпьх, Б нерезОнансном случае Граф И~ не зависит о'1' вьхбора и|тсГрйла У'.
Меченохх молекулон И" нжЗьхцается молекула И', ОсньщеннЗя некото~илми 'хислОВыми метками см, ~10). Основньхм итоГОм работ ~5~ 119~ ЙВлйехсй теорема о том„что две ИГС нй изознерх етических хховерхносх Йх ~~~~~ тоххолоГически зквххвй- лен'7ххьх тОГдз, и тОлько тОГдв, кОГда их меченые молекульх Одиххаковьх. 3 работах ~Щ, Щ открьхтьх новые инвариантьх, которьхо вместе с пре:к|Си ьхечюнОЙ молекулои классифпцирухот снстемьх указаннОГО тиххй уже с точностьхо до тополОГххчесеОЙ трзекторххой эквивзлентности. Чраекторньхй инвариант был ностросн В ~1Ц, ~12) и назван 1-моле- еулОЙ Н' систюмьх ( ххра,вед-хива с чед~ хощая по~о~о~ лиуни.~~ей~.~~ мегри~ нй дВу~~ерно~~ торе — оенонйон ре~ул~- ~а~ на=~оя~пей,днесер~ацни — и уе~апой~ены не~о 7орые сноие~~а ыно- Ба 'горе е ~очное~ъ~о ~о ~йо~~о~оец~е~~ой ~фйейй~ояйой ~~~~~~~.~ей~~~~~о~7~м по~ ребо~алое~ ннеоти ф~~~~~3 и специй.'~~н~~е ч~с ~о~~~е ~~о~ ~едо- ВйисмьйОс%ц нз графе И' ( Г, 6) Кол~дому ребру е графа И' ~~., Ь), отличному от (а, б, с, ~Ц, см.
рис, 2„стззитсл В со(угзехс"ГЭЙЛ функция Вращения ~~К): ИспОльзуя доийзжниую ЯВмму., ВьхбирйОм базисньы циклъ$ на хорах ЛиуВиллЯ:х = сс%.8~, ф = сОпИ. Наиде мащ~ицьх склВЙки„ОГБВчыОщис каждо~у $>ебру х'Рафа мО- леиулм Й'~~, Ь). Рассмотрим следукнцие случаи. ОпреДелеиие. ДВе интегрируемые В боттОВском смысле гамйльтонОВы системы а и ю' на многООбразиих Ц и Я' пазьпиалотсл тонко топОЛОГичесеи экнийалснтнъ4ми, сОхи счЩестиует сОхракЯМЩий Ориентацию диффеОыОРфизм,, переВОдяп~им .тиуВиллеВО слоение системы Ф В диуВиллеВО слОение систсмьх 6 с сОхранением Ориентаций изОлирОВанных критическик ОЕ$3ужностей. сификации Реодезическпх пОтОКОВ лиуВиллеиьхх метрие на ТОре.
'ТеОремй 1.3. Х'еодезОческ~е ~~о~оок~~ де~~ '~~~~~е~х~~ее~х~ .и6~йрх~к йй ~Воре ~~~ойко ~йоВо ~ое~~ ~ескх~ экеиво,~ей~~н~~ ~Воадй й ~Во~~ко й~оедй, коека ~~,ио.~ек~~.~~~ Л"'~ ~, 6) собйодо®~й..Ороизоо и алый ариф, о6~цц4 обад коРироео изоорйжей ио рцс. 3» реялищю7хся кйж тиойомоем'чес7смй ммвариаи~н геодсжческого юмора некоторой мцроцммсвой метирикн на ДОксий'Геиъс'тВО. Наиденная В предьхд'к'щи па~)аГрафе меченая мОлеТХ7+ кула г~' ст~зеиласх с пОМОхцьхО ннтех"Рала Р ОднакО В пс~)езОнанснОм случае, как этО дОказанО В Я~ ЯВляется тОпОлОГическим инВариантОН.
Итак, В случае„кОх да рассматриваемая ИГС нерезонансна, меченая м 1~хек~,дч Ц,™ ~ ~' Д) пОстрОеннд ~х Вуыхххе д~цу~ет~ я ипВариант~ ~м х хас» ц фицирухОщим систсмы с тбчнОстью дО ТОнкОН тОпО ЮГичсскОЙ экВиВалентнОсти, Из ТСОремы 2 с~)азу следует, чтО Оснапхение мнлскульх не заВиснт в папхем случае От Выбора метрики, пОэтОму ъилекула И'~», 6) к хассифицщ)~~ ет «ъассмах~эиВаеъпйе системы с тОчнОстью дО тОнкОи ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ экВИВалеи'тнОсти, ЗО ~м,, мУ, T) = ® Ь, Уу), ес.Фм 6 б Й~Щ.
~окздательстВО привеДено В слеД~чОЩей Главе, Нз Выра2еения длн ф7нкции Врицещцх и усщщия. рж:хОдиыости интегрзда В числителе легкО пОнЯть, чу В боттовском случае фунеЦПЯ ВрзщениЯ не может бытх пОстОЯннОЙ Вблизи критическОГО сеДловох'О значения интегрзла Р. Таким образом, ВторОЙ дополнительньй интеграл ОбЯзательно ~з висим с интеГралом Г В окрестности седловой критическоЙ поверхности уровня. Однако появление новых ребер, «уаст~чпих.
из Внутренних точек исхОДБОЙ молекулы неВОВМОжно, тае как нзличие кваДратичного интеграла у пОТОкз. позволяет пОлнОстью Описать структуру фазового пространства системы, где сВЯзнзл кОмпонента неособОЙ поверхности ~рОВня интегрзлз Р этО тОр ~тор Лиувилля). ТЭким Образом~ молскула И' ф Ь)) построеннзЯ по злт"Оритыу из теоремы 2, В ооттовском случае дсиствительно является инвариннтом, классифицирукицем Геодези ~еские потоки лиувиллевык метрик на тОре с точностью до тонкОЙ топологи ~еской Вквивалентности. На рис.
2 показан алгоритм построения дерева И~(~) по графику функЦии ~, Деистнуя В Обратном порЯДке, легко по заданному граф~ качественно построить График соответстВуюп~ей функпии. Теорема В реальных физических задачах часто Встречаются системы с простиппим ВидОм функций ~ и Ь,. Рассмотрим лиузиллейу метрйку на торе ~ ' = Ф')+ ~ЬКй"'+ Ь") Где Т~ и 7~ — периоды решетки, задакнцей и;ип тор, и функции ~ и Ь вЂ” фунеции Морса. Далее нужно рассмОуреть локальные минимумы ГрафиеОВ „~ и Ь) еак функции на Окяжности.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
