Диссертация (1104792), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В теории свободных полей можно рассмотреть не только разложение (2.85), но и (2.83), что и позволяетпровести их сравнение в каждом порядке разложения по x.38Первый порядок разложения для одного поля и c = 1В случае, когда в модели есть только одно поле φ, только подчеркнутые слагаемыедают вклад в (2.85), и, так как(α1 ∂φ)e(α1 +α2 )φ (0) =α1∂ e(α1 +α2 )φ (0),α1 + α2(2.86)структурные константы равны−1 )Cα(α,L=1 α2α1δα,α1 +α2 .α1 + α2(2.87)Отметим, что в данном выражении присутствует специфичный для свободной теории закон сохраненияα = α1 + α2 .(2.88)Вычислим тройную вершину γαα3 α4 (L−1 ). Из общей формулы для коррелятора трехпримарных полейhV (z)V3 (z3 )V4 (z4 )i ∼)∆+∆3 −∆4 (z(z − z3следует, что если взять производную по z, то1∆3 +∆4 −∆− z4 )∆+∆4 −∆3 z34∆+∆4 −∆33 −∆4h(∂V )(z) V3 (z3 )V4 (z4 )i = − hV (z)V3 (z3 )V4 (z4 )i ∆+∆+−→z−z3z−z4z4 →∞z=03 −∆4−→ − ∆+∆hV (z)V3 (z3 )V4 (z4 )i −→ ∆ + ∆3 − ∆4 hV (z)V3 (z3 )V4 (z4 )i ,z−z3(2.89)(2.90)z3 =1что согласуется с (2.51),γαα3 α4 (L−1 ) = ∆ + ∆3 − ∆4 .(2.91)Таким образом сравнение двух сторон (2.36) в данном случае предполагает, чтоα1 ∆α1 +α2 + ∆3 − ∆4X−1 )Cα(α,L.(2.92)−α1 α3 =γ(L)=ααα−134α1 2α1 + α2αЕсли подставить значение ∆α =α2,2то(α3 + α4 )2 + α32 − α42(α1 + α2 )2 + α32 − α42== α3 (α3 +α4 ).

(2.93)22Вместе с общим законом сохранения α1 + α2 + α3 + α4 = 0 можно показать, что∆α1 +α2 +∆3 −∆4 =соотношение (2.92) действительно выполняется.Таким образом, явные вычисления в данном случае подтверждают полученныеранее формулы. Отметим, что в процессе данной проверки явно использовалисьсвойства модели, такие как законы сохранения. В то же время проверяемые формулы, например, (2.36) и (2.51), не зависят от модели.

По этой причине данные вычисления могут являться проверкой, но не доказательством полученных в предыдущихразделах формул.39Первый порядок разложения для одного поля и c 6= 1Данное обобщение результатов раздела 2.9.2 тривиально. Изменяются только выражения для размерностей: ∆α =(α−Q)2 −Q22и закон сохранения α + α3 + α4 = 2Q. Приэтом второй закон сохранения, α = α1 + α2 , остается неизменным. Таким образом,вместо (2.93) получается∆α + ∆3 − ∆4 = ∆2Q−α3 −α4 + ∆3 − ∆4 =(α3 +α4 −Q)2 +(α3 −Q)2 −(α4 −Q)2 −Q22== α3 (α3 + α4 − 2Q) = −αα3 = −α3 (α1 + α2 ),(2.94)что, после подстановки в правую часть соотношения (2.92), обращается в единицу.Второй порядок разложения для одного поля и c = 1Во второй порядок разложения дают вклад два независимых оператора ◦◦ (∂φ)2 eαφ ◦◦ и◦◦∂ 2 φeαφ ◦◦.

Другой выбор базиса во втором порядке разложения дается операторамиL−2 ◦◦ eαφ◦◦и L2−1 ◦◦ eαφ ◦◦ . Для использования такого базиса необходимо описать, какоператор L2−1 действует на◦ αφ ◦T (x) L−1 ◦ e ◦ (0) ==α2 ◦2x3 ◦3eαφ (0) ◦◦ + α 2x+2α2◦◦eαφ1 ◦2 ◦◦◦◦◦. Для этого рассмотрим операторное разложение(∂φ)2 (x) ◦◦◦◦∂φeαφ (0) ◦◦ +α∂φeαφ (0) ◦◦ =α ◦x ◦(∂ 2 φ + α(∂φ)2 )eαφ (0) ◦◦ + . . .(2.95)Из коэффициентов при различных степенях x следует, чтоα2 ◦ αφ ◦e ◦ = ∆α ◦◦ eαφ ◦◦,2 ◦3αφ◦◦◦L0 L−1 ◦◦ eαφ ◦◦ = α +2α◦ ∂φe (0) ◦ = (∆α + 1)L−1 ◦2L2−1 ◦◦ eαφ ◦◦ =◦◦ α∂ 2 φ + (α∂φ)2 eαφ ◦◦ = ∂ 2 ◦◦ eαφ ◦◦,L1 L−1 ◦◦ eαφ◦◦=eαφ ◦◦,(2.96)то есть размерность L1 Vα равна ∆α + 1, а L2−1 действует на Vα как вторая производная. Оба утверждения на самом деле верны не только для примарных полей и нетолько в свободной теории поля.

Также из (2.17) следует, что1(2.17)22αφL−2 ◦◦ e ◦◦ = ◦◦(∂φ) + α∂ φ eαφ ◦◦ .2(2.97)Таким образом из сравнения формул (2.84) и (2.85) во втором порядке получается1 21α,L222α,L−222222α1 (∂φ) + α1 ∂ φ = Cα1 ,α2(∂φ) + α∂ φ + Cα1 ,α−1α∂φ+α(∂φ), (2.98)222следовательно,−2Cαα,L=1 ,α2α,L2Cα1 ,α−12 =α1 (α1 −α),1−2α2α1 (2α1 α−1).4α3 −2α40(2.99)Рассмотрим соответствующие тройные вершины γED~~~L−2 ◦◦ e(~α1 +~α2 )φ(0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1) ◦◦ ◦◦ eα~ 4 φ(∞) ◦◦ = 2ED~~~α3~ 4 φ(∞)α1 +~α2 )φ(0)~ 3 φ(1)◦◦ ◦ α◦ (~◦ ◦ α= 2 − α3 α ◦ e◦ ,◦ ◦ e◦ ◦ e(2.100)DL2−1 ◦◦~e(~α1 +~α2 )φ(0) ◦◦= (α3 α)2 − α3 αD◦◦◦◦~eα~ 3 φ(1) ◦◦ ◦◦~e(~α1 +~α2 )φ(0)~eα~ 4 φ(∞) ◦◦◦◦◦◦~eα~ 3 φ(1)E◦ ◦◦ ◦=~eα~ 4 φ(∞)◦◦E.Используя полученные выражения, сравним (2.83) и (2.84) во втором порядке: α (2α α − 1) (α1 α3 )(α1 α3 − 1) α1 (α1 − α) α32112=− α3 α +(α3 α) − α3 α ,21 − 2α224α3 − 2α(2.101)что выполняется при α = α1 + α2 .Первый порядок разложения в случае двух полей и c = 2~ (~α1 +~α2 )φ~ уже не является производнойВ случае модели с несколькими полями (~α1 ∂ φ)eпримарного поля.

Таким образом, уже в первом порядке необходимо разложить егов комбинацию нескольких потомков. В случае двух полей, r = 2, введем обозначение~α~ φ(z)= αφ1 (z) + βφ2 (z). ТогдаT (x)=+ ◦◦~1 ◦(∂φ1 )2 (x) + (∂φ2 )2 (x) ◦◦ ◦◦ e(αφ1 +βφ2 )(0) ◦◦ =2 ◦α2 +β 2 ◦ (αφ1 +βφ2 )(0) ◦1 ◦(αφ1 +βφ2 )(0) ◦◦ +◦ + x ◦ (α∂φ1 + β∂φ2 )e◦ e2x21(∂φ1 )2 + 21 (∂φ2 )2 + α∂ 2 φ1 + β∂ 2 φ2 e(αφ1 +βφ2 ) (0) ◦◦ +O(x).2◦◦eα~ φ(0)◦◦=(2.102)В то же время, по определению операторов Вирасоро Ln , действующих в точке z = 0,T (x)◦◦~eα~ φ(0)◦◦=X 1~Lk ◦◦ eα~ φ (0) ◦◦,k+2xk(2.103)Таким образом,~ ◦при n > 0,◦ = 0,22~~~ ◦~φ◦ αL0 ◦◦ eα~ φ ◦◦ = ∆α,β ◦◦ eα~ φ ◦◦ = α +β◦ e◦,2~ ◦~φ(αφ1 +βφ2 ) ◦◦ α◦L−1 ◦ e ◦ = ◦ (α∂φ1 + β∂φ2 )e◦,~L−2 ◦◦ eα~ φ ◦◦ =◦◦ 21 (∂φ1 )2 + 12 (∂φ2 )2 + α∂ 2 φ1Ln◦◦eα~ φ(2.104)+ β∂ 2 φ2 e(αφ1 +βφ2 ) ◦◦ .Тем не менее, уже на первом уровне операторов Вирасоро недостаточно для описа~~ ◦◦ния произвольного поля ◦◦ (A∂φ1 + B∂φ2 )eα~ φ ◦◦, с помощью L−1 ◦◦ eα~ φможно описатьтолько специальный подкласс таких полей, для которых B/A = β/α.

Второй векторв базисе, который позволяет описать все небходимые поля, устроен как W−141◦◦~ ◦◦eα~ φи строится с помощью оператора из алгебры W (3) . Так как в данной работе рассматривается только модель с двумя полями (также выше рассматривался и случайодного поля, но в этом случае, как было описано, нужна только алгебра Вирасоро),других алгебр W не требуется.Оператор W(z), с помощью которого строится алгебра W (3) , кубичен по производным от полей ∂φ(z). Дополнительное требование состоит в том, что самое сингулярное слагаемое в операторном разложении его произведения с T (z) отсутствует.

Оператор тензора энергии-импульса инвариантен при действии группы SO(2) на~ но такие повороты должны быть зафиксированы с помощью W(z). Потребуполя φ,ем, чтобы этот оператор был симметричен относительно преобразования φ2 → −φ2и, соответственно, антисимметричен при φ1 → −φ1 . Следовательно этот операторустроен, как W = (∂φ1 )3 + h∂φ1 (∂φ2 )2 с одним неопределенным параметром h. Операторное разложение его произведения с T (z) устроено как3+hT (z)W(0) =∂φ1 (0) + . . .(2.105)z4Дополнительное требование равенства нулю наиболее сингулярного слагаемого с z −4 ,или, что тоже самое, того, чтобы W(z) было примарным полем алгебры Вирасоро,определяет h равным h = −3,W(z) ≡ (∂φ1 )3 − 3∂φ1 (∂φ2 )2 = ∂φ1 (∂φ1 )2 − 3(∂φ2 )2(2.106)и3W(0) ∂W(0)++ ...z2zТаким образом, конформная размерность W(z) равна 3.T (z)W(0) =Аналог формулы (2.102) для оператора W устроен как~~α(α2 −3β 2 ) ◦ α1 ◦~ φ(0)~ φ(0)2◦◦ α◦W(x) ◦ e◦ =◦ + x ◦ 3 α((∂φ1 ) −◦ ex3−2β∂φ1 ∂φ2 − α(∂φ2 )2 + (α2 − β 2 )∂ 2 φ1 − 2αβ∂ 2 φ2 e(αφ1 +βφ2 ) ◦◦ ++ x12 ◦◦ 3(α2 − β 2 )∂φ1 − 6αβ∂φ2 e(αφ1 +βφ2 ) (0) ◦◦ + O(1).(2.107)(2.108)Операторы Wn определяются по аналогии с операторами Вирасоро в (2.103):X 1~~W (x) ◦◦ eα~ φ(0) ◦◦ =Wk ◦◦ eα~ φ (0) ◦◦(2.109)k+3xkи, таким образом,~ ◦for n > 0,◦ = 0,~~~W0 ◦◦ eα~ φ ◦◦ = wα,β◦◦ eα~ φ ◦◦ = α(α2 − 3β 2 ) ◦◦ eα~ φ ◦◦,~W−1 ◦◦ eα~ φ ◦◦ = ◦◦ 3 (α2 − β 2 )∂φ1 − 2αβ∂φ2 e(αφ1 +βφ2 ) ◦◦,Wn◦◦eα~ φ= 3 α(∂φ1 )2 − 2β∂φ1 ∂φ2 − α(∂φ2 )2 +22 22+(α − β )∂ φ1 − 2αβ∂ φ2 e(αφ1 +βφ2 ) ◦◦ .W−2 ◦◦~eα~ φ ◦◦◦◦42(2.110)Из соотношений (2.104) и (2.110) поля первого уровня устроены, как1(αφ1 +βφ2 ) ◦(αφ1 +βφ2 ) ◦◦∂φe=6αL+W◦1◦−1−1 e◦,3(α2 −β 2 )1(αφ1 +βφ2 ) ◦22(αφ1 +βφ2 ) ◦◦◦ = 3β(α2 −β 2 ) 3(α − β )L−1 − αW−1 e◦ .◦ ∂φ2 e(2.111)Таким образом, оператор, входящий в выражение для первого уровня в (2.84) можнопредставить в виде◦◦~ (αφ1 +βφ2 )(~α ∂ φ)e1◦◦=6αβα1 +3(α2 −β 2 )β1=3β(3α2 −β 2 )α1 β−αβ1W−1  ◦◦3β(3α2 −β 2 )L−1 +e(αφ1 +βφ2 ) ◦◦ .(2.112)Таким образом первые две структурные константы в (2.85), помимо тривиальнойCαα1 α2 = 1, равны:Cαα,1Lα−1=2−1Cαα,1Wα2=6αβα1 +3(α2 −β 2 )β13β(3α2 −β 2 )α1 β−αβ1.3β(3α2 −β 2 )~ ◦◦С помощью известных выражений для L−1 ◦◦ eα~ φ,(2.113)~и W−1 ◦◦ eα~ φ ◦◦, можно явно вычис-лить трехточечные корреляторыE (2.104)D~~~~ 3 φ(1)~ 4 φ(∞)~φ◦◦ α◦ ◦ α◦◦ αΓα~ α~ 3 α~ 4 (L−1 ) ≡L−1 ◦ e (0) ◦ ◦ e=◦ ◦ e◦DE~~~ 4 φ(∞)◦ ◦ α◦~ α~ φ~ (0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1)= ◦◦ (~α∂ φ)e=◦ ◦ e◦ED~~~= −(~αα~ 3 ) ◦◦ eα~ φ (0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1) ◦◦ ◦◦ eα~ 4 φ(∞) ◦◦иE (2.110)D~~~=Γα~ α~ 3 α~ 4 (W−1 ) ≡W−1 ◦◦ eα~ φ (0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1) ◦◦ ◦◦ eα~ 4 φ(∞) ◦◦ED ~~~= ◦◦ 3(α2 − β 2 )∂φ1 − 6αβ∂φ2 eα~ φ (0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1) ◦◦ ◦◦ eα~ 4 φ(∞) ◦◦ =ED~~~= − 3(α2 − β 2 )α3 − 6αββ3 ◦◦ eα~ φ (0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1) ◦◦ ◦◦ eα~ 4 φ(∞) ◦◦ ,(2.114)(2.115)где также было учтено, что спаривание с полями в бесконечности дает дополнительный множитель (0 − ∞) в знаменателе и, таким образом, соответствующимислагаемыми можно пренебречь.

Спаривания с полем в точке z3 = 1 дает множитель(z − z3 )−1 = −1, что приводит к знаку минус в обеих формулах. Таким образом,γα~ α~ 3 α~ 4 (L−1 ) = −(αα 3 + ββ3 ),γα~ α~ 3 α~ 4 (W−1 ) = 3 − (α2 − β 2 )α3 + 2αββ3(2.116)Эти выражения согласуются с (2.56) и (2.78) соответственно, что служит проверкойэтих общих формул.

Характеристики

Список файлов диссертации