Диссертация (1104792), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Многие изформул, полученных выше для алгебры Вирасоро, не изменяются при замещенииоператоров L генераторами конформной алгебры и диаграмм Y обобщенными диаграммами Y. Важное отличие, однако, состоит в том, что конформной алгебры может быть недостаточно для сведения всех корреляторов к корреляторам примарныхполей. Так, в случае алгебры W (3) в ответ будут также входить тройные вершины kвида (W−1Vα ) V1 V2 , которые необходимо задать с помощью некоторых дополнительно наложенных условий. Также более сложным является и соотношение междуγ и γ̄, по этой причине необходимо по отдельности рассчитать тройные вершиныдвух типов.Алгебра W (3) задается оператором W(z), который является аналогом оператора тензора энергии-импульса, но имеет спин s = 3. Разложение в ряд Лорана дляоператора W определяет генераторы алгебры W (3) :WV (z) =∞XWnV (z).n+3zn=−∞(2.60)Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениямc16(n2 − 1)(n2 − 4)nδn,−m + 22+5c(n − m)Λn+m +3·5!11(n + m + 2)(n + m + 3) − 6 (n + 2)(m + 2) Ln+m ,15[Wn , Wm ] =+(n − m)(2.61)где Λn — квадратичная комбинация операторов ВирасороΛn =∞Pk=−∞2x2` = 1 − ` ,: Lk Ln−k : + 15 xn Ln ,(2.62)x2`+1 = (2 + `)(1 − `).Также возможно построить и коммутационные соотношения между операторамиВирасоро и W :[Ln , Wm ] = (2n − m)Wn+m .(2.63)Для обобщения результатов для алгебры Вирасоро на случай W (3) необходиморассмотреть обобщение матрицы Шаповалова и тройных вершин.

Алгоритм вычисления матрицы Шаповалова довольно прост и требует только знания коммутационных соотношений. Для диаграмм Юнга размером |Y | = 1, то есть для операторов1На самом деле в большинстве конформных моделей корреляторы — это суммы билинейныхкомбинаций голоморфмных и антиголоморфных конформных блоков, то есть в этих моделях нетвзаимно-однозначного соответствия между конформным блоком и коррелятором. Это означает,что, вообще говоря, сумма голоморфных конформных блоков не имеет физического смысла.32L−1 и W−1 , она устроена какQ=2∆3w3w9D∆/2!.(2.64)В связи с увеличением числа операторов, увеличивается и размер соответствующихблоков матрицы Шаповалова.

По этой причине в данной работе приведены толькозначения матрицы Шаповалова в случае алгебры W (3) только для диаграмм размером один (2.64) и два (таблица 2.2). Обобщение тройных вершин требует болеедетального рассмотрения.3334Qα (Y, Y 0 )L−2 VαL2−1 VαL−1 W−1 VαW−2 Vα2VαW−1L−2 Vα4∆ + 1 − 6Q26∆9w6w45D∆2L2−1 Vα6∆4∆(2∆ + 1)6w(2∆ + 1)12w9(3D∆ + 2w2 )L−1 W−1 Vα9w6w(2∆ + 1)9(D∆2 + D∆ + w2 )18D∆W−2 Vα6w12w18D∆2W−1Vα45D∆229(3D∆ + 2w )27Dw(2∆2+ 3)72∆ ∆ + 1 −27Dw(2∆23Q22108w 3∆ + 1 −3Q24+ 3)108w 3∆ + 1 −3Q2481 2D ∆(2∆4+ 1) +162 D∆(∆ + 1) + 4w2Таблица 2.2: Элементы матрицы Шаповалова для диаграмм Юнга |Y | = 2 в случае алгебры W (3)Тройные вершины в алгебре W (3)2.9.1Так как в случае алгебры W (s) оператор W, генерирующий эту алгебру, имеет спинs, соотношения (2.45) и (2.46) изменятся: Hxn+s−1 dx W(x)V1 (1)V2 (0)i =hW−n Vα̌ | V1 (1)V2 (0)i = hVα̌ 0+1H n+s−1 dxH n+s−1= x(x−1)k+shVα̌ | (Wk V1 )(1) V2 (0)i + x xk+s dx hVα̌ | V1 (1) (Wk V2 )(0)i1(2.65)0иH dxhW(x)Vα̌ (0)V3 (1)V4 (∞)i =h(W−n Vα̌ )(0) V3 (1)V4 (∞)i = xn−s+10H= − xn−s+1dxhVα̌ (0) (Wk V3 )(1) V4 (∞)i +(x−1)k+s1H k−s dx+(−)s xxn−s+1hVα̌ (0) V3 (1) (Wk V4 )(∞)i.(2.66)∞В случае алгебры W(3), которая рассматривается в данной работе, s = 3, такимобразом, HhW−n Vα̌ | V1 (1)V2 (0)i = hVα̌ xn+2 dx W(x)V1 (1)V2 (0)i =0+1H n+2H xn+2 dx= (x−1)k+3 hVα̌ | (Wk V1 )(1) V2 (0)i + xxk+3dx hVα̌ | V1 (1) (Wk V2 )(0)i(2.67)01иh(W−n Vα̌ )(0) V3 (1)V4 (∞)i =H0=−H1dxhW(x)Vα̌ (0)V3 (1)V4 (∞)ixn−2dxhVα̌ (0)(Wk V3 )(1)V4 (∞)ixn−2 (x−1)k+3−H∞=xk−3 dxhVα̌ (0)V3 (1)(Wk V4 )(∞)i.xn−2(2.68)Тройные вершины Γ̄Если поля V1 и V2 примарные, то соотношение (2.67) сводится кhW−n Vα̂ | V1 (1)V2 (0)i =(n+2)(n+1)w12hVα̂ | V1 (1)V2 (0)i ++(n + 2) hVα̂ | (W−1 V1 )(1) V2 (0)i + hVα̂ | (W−2 V1 )(1) V2 (0)i +(2.69)+ hVα̂ | V1 (1) (Wn V2 )(0)i .Если в случае алгебры Вирасоро можно было выразить тройные вершины с L−1 V1через тройные вершины V1 (см.

(2.50)), то в данном случае аналогичную процедуруможно проделать только для W−2 V1hVα̂ |(W−2 V1 )(1) V2 (0)i = ŵα̂ − w1 − w2 hVα̂ |V1 (1) V2 (0)i −(2.70)−2 hVα̂ |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i ,из полученных формул следует, чтоhW−n Vα̂ |V1 (1) V2 (0)i = ŵα̂ +n(n+3)w12− w2 hVα̂ |V1 (1) V2 (0)i ++n hVα̂ |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i , n > 0.35(2.71)Правую часть также можно переписать через тройные вершины, зависящие от W−1 V2 ,а не от W−1 V1 :hW−n Vα̂ |V1 (1) V2 (0)i = (n + 1) ŵα̂ + n2 w1 − w2 hVα̂ |V1 (1) V2 (0)i ++n hVα̂ |V1 (1) (W−1 V2 )(0)i , n > 0(2.72)с использованием соотношенияhW−1 Vα̂ |V1 (1) V2 (0)i = ŵα̂ − w1 − w2 hVα̂ |V1 (1) V2 (0)i + hVα̂ |V1 (1) (W−1 V2 )(0)i .(2.73)Ключевое отличие от результатов для алгебры Вирасоро состоит в том, что в правойчасти соотношений (2.71) и (2.72) имеется две различные тройные вершины, а неодна.Еще одно усложнение состоит в значении ŵα̂ .

Формулы (2.71) и (2.72) записаныв символической форме, имеющий смысл только для примарного поля Vα . В противном случае ŵα̂ Vα̂ ≡ W0 Vα̂ не пропорционально Vα̂ , по этой причине используетсязапись ŵα̂ вместо wα̂ . Так, уже для потомков первого уровня, L−1 Vα и W−1 Vα , размерности устроены какŵα,L−1 L−1 Vα ≡ W0 (L−1 Vα ) = wα (L−1 Vα ) + 2(W−1 Vα ),ŵα,W−1 W−1 Vα ≡ W0 (W−1 Vα ) = wα (W−1 Vα ) +9D(L−1 Vα ).2(2.74)Они являются линейными комбинациями двух разных потомков (значение D указано ниже в формулах (2.128). Это не позволяет записать (2.71) в виде простойитерационной формулы, аналогичной (2.53).Если поля V1 и/или V2 не являются примарными, то необходимо также добавитьнекоторые дополнительные слагаемые в (2.69).

Так, в случае оператора W−1 принепримарных полях Vα̂ , V1 , и V2 выражение устроено следующим образом:EDEDW−1 Vα̂ |V1 (1) V2 (0) = W0 Vα̂ |V1 (1) V2 (0) + 2 Vα̂ |(W0 V1 )(1) V2 (0) −EDDE− Vα̂ |V1 (1) (W0 V2 )(0) + Vα̂ |(W−1 V1 )(1) V2 (0) +DEDE+ Vα̂ |(W1 V1 )(1) V2 (0) + Vα̂ |V1 (1) (W1 V2 )(0) .(2.75)Если все три поля примарные, то первые три слагаемых в сумме дают член wα +2w1 − w2 , а последние два обращаются в нуль, таким образом воспроизводя (2.71)при n = 1.Тройные вершины ΓЕсли поля V3 и V4 примарные, то формула (2.68) преобразуется вw3 hVα̂ (0) V3 (1)V4 (∞)i +h(W−n Vα̂ )(0) V3 (1)V4 (∞)i = − (n−2)(n−1)2+(n − 2) hVα̂ (0) (W−1 V3 )(1) V4 (∞)i − hVα̂ (0) (W−2 V3 )(1) V4 (∞)i −− hVα̂ (0) V3 (1) (Wn V4 )(∞)i .36(2.76)По аналогии с предыдущим разделом можно выразить тройные вершины с W−2 V3через более простые вершиныhVα̂ (0) (W−2 V3 )(1) V4 (∞)i = − ŵα̂ + w3 + w4 hVα̂ (0) V3 (1)V4 (∞)i −(2.77)−2 hVα̂ (0) (W−1 V3 )(1) V4 (∞)i .При n ≥ 0, таким образом,h(W−n Vα̂ )(0) V3 (1) V4 (∞)i = ŵα̂ −n(n−3)w32+ w4 hVα̂ (0) V3 (1) V4 (∞)i ++n hVα̂ (0) (W−1 V3 )(1) V4 (∞)i ,(2.78)n>0Правую часть также можно выразить через W−1 V4 вместо W−1 V3 :h(W−n Vα̂ )(0) V3 (1) V4 (∞)i (n + 1) ŵα̂ − n2 w3 + w4 hVα̂ (0) V3 (1)V4 (∞)i −−n hVα̂ (0) V3 (1) (W−1 V4 )(∞)in > 0,(2.79)с помощью соотношенияhVα̂ (0) (W−1 V3 )(1) V4 (∞)i = ŵα̂ − 2w3 + w4 hVα̂ (0) V3 (1)V4 (∞)i −(2.80)− hVα̂ (0) V3 (1) (W−1 V4 )(∞)i .Сравнение полученных формул с (2.71) и (2.72) показывает, что в случае алгебрыW (3) отсутствует прямая связь между тройными вершинами двух типов, которуюможно было наблюдать в случае алгебры Вирасоро.

Отметим также, что если выразить коррелятор с W−n V4 при n > 0 с помощью (2.76), то полученное выражениеhVα̂ (0) V3 (1) (W−n V4 )(∞)i = w4 − n(n+3)w+ŵhVα̂ (0) V3 (1)V4 (∞)i −3α̂2(2.81)−n hVα̂ (0) (W−1 V3 )(1) V4 (∞)i , n > 0близко по форме, но все же отлично от (2.71).В случае оператора W−1 для трех непримарных полей аналог соотношения (2.75)устроен какh(WD −1 Vα̂ )(0) V3 (1) V4 (0)iE= h(W0 Vα̂ )(0) V3 (1) V4 (0)i ++ Vα̂ (0) (W0 V3 )(1) V4 (0) + hVα̂ (0) V3 (1) (W0 V4 )(0)i +DE+ Vα̂ (0) (W−1 V3 )(1) V4 (0) − hVα̂ (0) V3 (1) (W1 V4 )(0)i .(2.82)В случае трех примарных полей первые три слагаемых дают член wα + w3 + w4 ,а последнее слагаемое обращается в нуль, таким образом воспроизводя (2.78) приn = 1.

Заметим, что в отличие от (2.75), в правой части отсутствует слагаемоеhVα̂ (0) (W1 V3 )(1) V4 (0)i. Это связано с рассмотрением случая n = 1.372.9.2Вычисления в свободной теории поляДля проверки полученных для W (3) алгебры соотношений в данном разделе приведены аналогичные вычисления в свободной теории поля. Для упрощения формулрассматриваются только случаи с центральным зарядом равным c = 1, 2. Рассмотрение алгебры W (3) подразумевает, что ей соответствует свободная теория с двумясвободными полями.Рассмотрим выражение (2.36). Напрямую из теории свободных полей можно получить, что при α~1 + α~2 + α~3 + α~ 4 = 0 коррелятор устроен какED~~~~x−~α1 α~ 2 ◦◦ eα~ 1 φ(x) ◦◦ ◦◦ eα~ 2 φ(0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1) ◦◦ ◦◦ eα~ 4 φ(∞) ◦◦ ∼ (1 − x)α~ 1 α~ 3 == 1 − (~α1 α~ 3 )x +(~α1 α~ 3 )(~α1 α~ 3 −1)2x2 + .

. .(2.83)Аналогичное выражение можно получить, воспользовавшись формулой (2.28)ED~~~~~ 4 φ(∞)~ 3 φ(1)α2 φ(0)~ 1 φ(x)+~◦◦ ◦ α◦ ◦ α◦ α=eee◦◦ ◦◦ ◦◦ED~~~= ◦◦ e(~α1 +~α2 )φ(0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1) ◦◦ ◦◦ eα~ 4 φ(∞) ◦◦ +ED(2.84)~~~ 4 φ(∞)◦ ◦ α◦~ (~α1 +~α2 )φ~ (0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1)e+α1 ∂ φ)e+x ◦◦ (~◦ ◦◦D E~~~x2 ◦(~α1 +~α2 )φ~ 3 φ(1)22~~ 4 φ(∞)◦ ◦ α◦ ◦ α◦~+ 2 ◦ (~(0) ◦ ◦ eα1 ∂ φ) + α~ 1∂ φ e+ ...◦ ◦ e◦Это выражение можно переписать, как разложение в базисе полей из модуля Верма,связанных с алгебрами Вирасоро и W (3) :ED~~~~~ 4 φ(∞)~ 3 φ(1)~ 1 φ(x)+~α2 φ(0)◦◦ ◦ α◦ ◦ α◦ α=eee◦◦ ◦◦ ◦◦ED~~~~ 3 φ(1)~ 1 φ(∞)α1 +~α2 )φ(0)α◦ ◦ α◦ ◦ α◦◦ (~= C α1 α2 ◦ e◦ ◦ e◦ ◦ e◦ +ED~~~~ 4 φ(∞)~ 3 φ(1)α, L−1α1 +~α2 )φ(0)◦◦ ◦ α◦◦ α◦ (~C α1 α2L−1 ◦ e◦ +◦ ◦ e◦◦ eED+x~~~~ 3 φ(1)~ 4 φ(∞)◦ ◦ α◦◦ ◦ α + C α, W−1 W ◦ e(~α1 +~α2 )φ(0)+◦ ◦ e◦◦ ◦ e−1 ◦α1 α2ED~~~Cαα,1Lα−2L−2 ◦◦ e(~α1 +~α2 )φ(0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1) ◦◦ ◦◦ eα~ 4 φ(∞) ◦◦ +2EDα, L2−1~~~~ 4 φ(∞)~ 3 φ(1)2 ◦ (~α1 +~α2 )φ(0)◦ ◦ α◦ ◦ α◦eLee+Cα1 α2◦ ◦◦ ◦◦ +−1 ◦DE~~~α, L−1 W−1α1 +~α2 )φ(0)~ 3 φ(1)~ 4 φ(∞)◦ (~◦ ◦ α◦ ◦ α◦+x2LWee++Ce−1 −1 ◦◦ ◦◦ ◦◦α1 α2DE~~~−2+ Cαα,1WW−2 ◦◦ e(~α1 +~α2 )φ(0) ◦◦ ◦◦ eα~ 3 φ(1) ◦◦ ◦◦ eα~ 4 φ(∞) ◦◦ +α2DE2~~~−12 ◦ (~α1 +~α2 )φ(0)~ 3 φ(1)~ 4 φ(∞)◦ ◦ α◦ ◦ α◦ + Cαα,1WW−1eee+α2◦◦ ◦◦ ◦◦(2.85)+...Рассмотрим подробнее связь между этими разложениями.

Характеристики

Список файлов диссертации