Диссертация (1104792), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Эта формула представляет собойсумму по поддиаграммам диаграммы Юнга T . В данном разделе будет рассмотренавозможность суперполиномиальной (β-) деформации (5.36).β-деформация подразумевает, что сдвиги по горизонтальной и вертикальной осямв диаграмме Юнга дают множители q и t−1 , а не q и q −1 , как в случае полиномовХОМФЛИ. Универсального правила замены в биномиальных коэффициентах, однако, не известно.
β-деформация имела бы простую форму, если бы сумма по клеткам диаграммы Юнга содержала только единичные коэффициенты. Это означает,что для того, чтобы такая деформация была прямолинейной, формулу (5.36) нужносначала привести к такой форме.В данном случае такая возможность есть. Так,[p]q {Aqp+ii−1}{Aa}=pX{Aq 2(p−i)+1 }{Aq −1 },(5.51)i=1то есть этот вклад может быть переписан как сумма по клеткам диаграммы Юнга с единичными коэффициентами. Эта формула предполагает, что каждой клеткедиаграммы Юнга [p] с координатами (i, 1) ∈ [p] соответствует произведение Zi (A) ={Aq 2(p−i)+1 }{Aq −1 }.
Далее,[p][p−1]{Aq p+i+1 }{Aq p+i }{A}{Aq −1 } =[2]P0= 1≤i<i0 ≤p {Aq 2(p−i)+1 }{Aq −1 }{Aq 2(p−i )+2 }{A}=P1≤i<i0 ≤pZi (A)Zi0 (Aq),(5.52)то есть параметр во втором множителе в Zi0 сдвигается на q. В общем виде (5.36)99может быть переписана в следующей форме41(A|q)H[p][p]q !PpQk=Zi (A) =k=0∗(A|q)S[p][k]q ![p − k]q ! i=1PP2k−1= pk=0).i1 (A)Zi2 (Aq)Zi3 (Aq ) . . .
Zik (Aq1≤i1 <...<iZk ≤p(5.53)Эта формула обладает простой β-деформацией, для этого достаточно произвестизамену Zi (A) = {Aq 2(p−i)+1 }{Aq −1 } на Zi (A) = {Aq 2(p−i)+1 }{At−1 }. Полученная формула описывает цветной суперполином узла-восьмерки в произвольном симметрическом представлении [p]:∗41(A|q, t)P[p]=∗M[p](A|q, t)pXXk=01≤i1 <...<ik ≤pZi1 (A)Zi2 (Aq)Zi3 (Aq 2 ) . . . Zik (Aq k−1 ).(5.54)(Знаменатель в левой части — это значение полинома МакДональда на топологическом локусе. Это обычный выбор для суперполинома неузла, см.
[106]). Приведемдва аргумента в пользу данного выражения.Во-первых, при t = q выражение (5.54) воспроизводит ответ для полиномов ХОМФЛИ (5.36).Во-вторых, после стандартной замены переменных [106, 118],t = q,q = −qt,√A = a −t(5.55)суперполином (5.54) действительно является полиномом по всем своим переменнымa±1 , q±1 , t±1 с положительными коэффициентами, что является одной из ключевыххарактеристик суперполинома, так как каждый множитель Zi (Aq s ) положителен вновых переменных: 2 224(p−i)+2+2s2 4(p−i)+2+2s2 2s1+at(qt)(q + a2 t(qt)2s )1−Aq(t−Aq)=.Zi (Aq s ) =(A2 tq) · q 2(p−i+s)a2 · (qt)2(p−i+s+1)(5.56)Симметрия (5.37) также допускает естественное обобщение на случай β-деформации(см. также [119, 120]):(q, t) −→ (−t−1 , −q −1 )или(q, t) −→ (1/qt, t).(5.57)Это позволяет получить из (5.54) аналогичную формулу для суперполиномов в антисимметричных представлениях:∗ 41P[1p ] (A|q, t)∗M p (A|q, t)[1 ]=pXXk=01≤i1 <...<ik ≤pZ̄i1 (A)Z̄i2 (At−1 )Z̄i3 (At−2 ) .
. . Z̄ik (At−k+1 ).100(5.58)гдеZ̄i (At−s ) =(1−A2 t−4(p−i)−2−2s )(q−2 −A2 t−2s )(A2 /tq)·t−2(p−i+s)=(1+a2 tq−4(p−i)−2−2s )(1+a2 t3 q2(1−s) )a2 ·t2 q−2(p−i+s).(5.59)Функция Z̄i также является полиномом с положительными коэффициентами по переменным (5.55). Для иллюстрации приведем несколько простейших примеров суперполиномов узла-восьмерки:∗P 41 (A|q,t)[1]∗M (A| q,t)[1]∗P 41 (A|q,t)[2]∗M (A| q,t)[2]= 1 + {Aq}{At−1 } = 1 + t2 a2 + q−2 t−1 + q2 t + t−2 a−2 ,= 1 + {Aq}{At−1 } + {Aq 3 }{At−1 } + {Aq 3 }{At−1 }{Aq 2 }{Aqt−1 } == a4 q4 t8 + a2 (q−2 t + t2 + t3 + q2 t4 + q4 t5 + q6 t7 ) + q6 t4 + q4 t3 ++q2 t2 + q2 t + 3 + q−2 t−1 + q−2 t−2 + q−4 t−3 + q−6 t−4 + a−2 (q2 t−1 ++t−2 + t−3 + q−2 t−4 + q−4 t−5 + q−6 t−7 ) + a−4 q−4 t−8 ,∗P 41 (A|q,t)[11]∗M[11] (A| q,t)= 1 + {Aq}{At−1 } + {Aq}{At−3 } + {Aq}{At−3 }{At−2 }{Aqt−1 } == a4 q−4 t4 + a2 (q2 t3 + t2 + t3 + q−2 t2 + q−4 t + q−6 t) + q−6 t−2 ++q−4 t−1 + q−2 + q−2 t−1 + 3 + q2 t + q2 + q4 t + q6 t2 + a−2 (q−2 t−3 ++t−2 + t−3 + q2 t−2 + q4 t−1 + q6 t−1 ) + a−4 q4 t−4 ,∗P 41 (A|q,t)[3]∗M (A| q,t)[3]= a6 q12 t18 + a4 (t7 q2 + t8 q4 + t9 q4 + t10 q6 + t11 q6 + t12 q8 ++t13 q10 + t15 q12 + t17 q14 ) + a2 (t−2 q−6 + t−1 q−4 + q−4 + 2tq−2 ++t2 q−2 + 2t2 + 2t3 + 3t4 q2 + t5 q2 + t5 q4 + 4t6 q4 + 2t7 q6 + 2t8 q6 ++2t9 q8 + t10 q8 + t10 q10 + t11 q10 + t12 q12 + t14 q14 ) + t−9 q−12 ++t−8 q−10 + t−7 q−8 + t−6 q−8 + 3t−5 q−6 + t−4 q−6 + t−4 q−4 + 4t−3 q−4 ++3t−2 q−2 + 3t−1 q−2 + t−1 + 5 + t + 3tq2 + 3t2 q2 + 4t3 q4 + t4 q4 + t4 q6 ++3t5 q6 + t6 q8 + t7 q8 + t8 q10 + t9 q12 + a−2 (t−14 q−14 + t−12 q−12 ++t−11 q−10 + t−10 q−10 + t−10 q−8 + 2t−9 q−8 + 2t−8 q−6 + 2t−7 q−6 + 4t−6 q−4 ++t−5 q−4 + t−5 q−2 + 3t−4 q−2 + 2t−3 + 2t−2 + t−2 q2 + 2t−1 q2 + q4 + tq4 ++t2 q6 ) + a−4 (t−17 q−14 + t−15 q−12 + t−13 q−10 + t−12 q−8 + t−11 q−6 ++t−10 q−6 + t−9 q−4 + t−8 q−4 ) + t−7 q−2 ) + a−6 t−18 q−12 ,...(5.60)Заметим, что эти выражения для суперполиномов, несмотря на то, что они являютсяестественным обобщением полиномов ХОМФЛИ, не настолько хорошо проверены,как (5.36), так как пока нет ответов, с которыми можно было бы их сравнить.
Однако, известная формула Данфельда-Гукова-Расмуссена [121] для суперполиномовв фундаментальном представлении R = [1] воспроизводится (5.36), как и ответыдля диаграмм с двумя клетками, R = [2] и R = [11] (они связаны преобразованием симметрии (5.57) [120]. Этот список аргументов, однако, меньше по сравнению101с приведенным для полиномов ХОМФЛИ в разделе 5.36 и необходимы дальнейшиепроверки.5.4.5Разностные уравнения на полиномы ХОМФЛИ и суперполиномыЦветные полиномы Джонса в представлении T = [p], как известно, удовлетворяютлинейным разностным уравнениям по переменной p [119, 122, 123, 124, 125].2 Возникает естественный вопрос о существовании таких уравнений для суперполиномов(5.54). Как ожидается, должен существовать набор таких уравнений, заменяющийсобой набор условий Вирасоро в матричных моделях [86]-[95].
Этот набор определяет(квантовую) спектральную кривую и служит начальной точкой для топологическойрекурсии [31, 34, 35, 126, 127, 128, 129, 130, 131]. На данный момент наибольшийпрогресс в этом направлении достигнут для цветных (супер)полиномов Джонса, вчастности, рекурсия для узла-восьмерки 41 исследовалась в [132] с помощью Aполиномов. Первое из уравнений такого типа для суперполиномов написано в [119]для трилистника 31 (и для серии торических узлов (2, 2k + 1)), где оно получено изявного выражения для цветных суперполиномов, определенных с помощью метода“эволюции” [106].Аналогичную процедуру можно проделать и для явного выражения (5.54). Также возможно исследовать эти уравнения для произвольных A.
Оказывается, чтонаиболее естественное линейное уравнение имеет форму, отличную от рассматриваемой обычно: они включают в себя вариацию не только по p, но и по A. Такие“базовые” уравнения являются уравнениями первого порядка, в то время как приA = q N и фиксированном N аналогичные уравнения являются разностными уравнениями порядка N по переменной p.
В случае суперполиномов также естественноожидать, что будет существовать два “базовых” уравнения, связанных со сдвигамипо вертикали и по горизонтали в диаграмме Юнга T . Тем не менее, только одноиз этих уравнений можно напрямую получить из приведенных выше выражений,так как они записаны только для диаграмм, состоящих из одной строки T = [p].3Для того, чтобы получить такое разностное уравнение, введем новое обозначение,выявляющее зависимость от p.
А именно, вместо Zi (A) = {Aq 2(p−i)+1 }{At−1 } введемZI|J = {Aq I }{At−J }, таким образом Zi = Z2p−2i+1|1 . Также для описания уравнения2Еще более интересным является вопрос о существовании также и нелинейных уравнений, обоб-щающие би-линейные уравнения Хироты, рассмотренные в случае торических узлов в разделе 5.3.3Другое уравнение, в направлении t, можно, соответственно получить из набора полиномовдля диаграмм T = [1p ] в (5.58), но, для того, чтобы рассмотреть оба уравнения одновременно,необходимо исследовать ответ для произвольной диаграммы T .102понадобится оператор дилатации D̂q : A → qA,(s)ZI|J (A) = D̂qs ZI|J (A) = ZI|J (q s A) = {Aq I+s }{Aq s t−J }.(5.61)В этих обозначениях простейшие нормированные суперполиномы P[p] =∗P 41 (A|q,t)[p]∗M (A|q,t)[p],построенные с помощью (5.54), равны:P[0] = 1,P[3]P[1] = 1 + Z1|1,(1)P[2] = 1 + Z3|1 + Z1|1 + Z3|1 Z1|1 , (1)(1)(1)(1) (2)= 1 + Z5|1 + Z3|1 + Z1|1 + Z5|1 Z3|1 + Z5|1 Z1|1 + Z3|1 Z1|1 + Z5|1 Z3|1 Z1|1 ,(5.62)...ТогдаP[1] − P[0] = Z1|1 = Z1|1 P[0] ,(1)(1)P[2] − P[1] = Z3|1 1 + Z1|1 = Z3|1 P[1] ,(1)(1)(1) (2)(1)P[3] − P[2] = Z5|1 1 + Z1|1 + Z3|1 + Z3|1 Z1|1 = Z5|1 P[2] ,(5.63)...и в общем виде(1)P[p+1] (A) − P[p] (A) = Z2p+1|1 (A)P[p] (A) = {Aq 2p+1 }{At−1 }P[p] (qA),(5.64)где t — параметр в уравнении.
Аналогичные уравнения на нормированные полиномыХОМФЛИ можно получить положив t = q:112 2p2p+2h(A, p + 1) − h(A, p) − A q + 2 2p − q− 2p+2 h(qA, p) = 0,Aqq(5.65)41∗где h(A, p) = H[p](A)/S[p](A). Это уравнение можно переписать в терминах “кванто-вых A-полиномов”,!∗ 41H[p] (A|q)Â ∗= 0,S[p] (A|q)11Â ≡ ˆl − 1 − A m̂ + 2 2 − q 2 m̂2 − 2 2A m̂q m̂22D̂ (5.66)где ˆl и m̂ это операторы, действующие как ˆlf (A, p) = f (A, p + 1) и m̂f (A, p) =q p f (A, p). Как уже было сказано, это уравнение отличается от стандартного уравнения на полиномы Джонса, так как оно включает в себя две переменных: p (представление) и A (группу), с другой стороны это — разностное уравнение первого порядка,тогда как уравнение на полиномы Джонса — разностное уравнение второго порядкапо одной переменной p.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
