Диссертация (1104792), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Условие равенства этихдвух величин HK {t|t̄} = τ {t̄} эквивалентно, согласно уравнениям (5.24) и (5.27),условиюgQ =XhQR SR (t̄).(5.29)RТорические узлыРассмотрим выражения для торических узлов. Функции κQ , входящие в выражение (5.20), являются собственными значениями характеров SQ при действии на нихпростейшим оператором разрезания склейки [98, 99]Ŵ[2] SQ (t) = κQ SQ (t)Этот оператор задается формулой∂∂21X(a + b)pa pb+ abpa+b,Ŵ[2] =2 a,b∂pa+b∂pa ∂pbИспользуя формулу Коши для характеровXXSR {t}SR {t̄} = expktk t̄kRk92(5.30)pn = tn /n(5.31)(5.32)можно получить, что производящая функция обобщенных полиномов ХОМФЛИ дляторических узлов описывается формулойnPH[m,n] {t, t̄} = q − m Ŵ (t) ekmktmk t̄k.(5.33)Экспонента от t-переменных — это простейшая τ -функция уравнения КП. Из-затого, что оператор разрезания-склейки Ŵ является элементом группы GL(∞), егодействие сохраняет КП-интегрируемость по переменной t [97, 100, 101, 102], то естьпри действии на решение уравнения Хироты получается тоже решение уравненияХироты.
Таким образом, для произвольного торического узла производящая функция H[m,n] {t, t̄} действительно является τ -функцией КП по переменным t (но не попеременным t̄).Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для торических зацеплений. H{t|t̄(a) } также является τ -функцией с переопределенными параметрами t̄k →Pl(a)a=1 t̄k :nH[m,n] {t|t̄(a) } = q − m Ŵ (t) ePkmktmk(a)a=1 t̄kPl.(5.34)Неторические узлыВ случае неторических узлов такая производящая функция вообще говоря не является τ -функцией КП. Для того, чтобы проверить этот факт, рассмотрим первоеPнетривиальное соотношение Плюккера (5.28) для gQ = T hQT ST (t̄) и 4-нитевой узел.Так как в данном случае g0 = 1, g[1] = g[2] = g[11] = g[21] = 0, то для того, чтобы со[22]отношение (5.28) выполнялось необходимо, чтобы g[22] = h[1] = 0.
Это соотношениевыполняется для торических узлов, но не всегда выполняется для других узлов.Действительно, для простейших 4-нитевых узлов из таблицы Рольфсена (до 8 пересечений) эти коэффициенты не равны нулю, см. таблицу 5.1 [82]:Таким образом, для всех этих узлов соотношение Плюккера (5.28) не удовлетворяется (торические узлы с 4 нитями имеют более 8 пересечений).5.4Цветные полиномы ХОМФЛИ для узла 41В контексте рассмотрения интегрируемых свойств узлов (см. раздел 5.3), а такжедругих свойств цветных полиномов узлов возникает вопрос о вычислении цветныхполиномов (то есть полиномов в нефундаментальных представлениях) различныхузлов и зацеплений.
На данный момент общие ответы известны для очень малогочисла узлов, например, для класса торических узлов (см. раздел 5.2).Простейший неторический узел носит название узла-восьмерки (в таблице узловон носит название 41 ). Он представляется косой с тремя нитями (см. рис.5.2). С93[22]knoth[1]61q −1 − q 172−q 7 + q 5 − 2q 3 + 3q 1 − 3q −1 + 2q −3 − q −5 + q −774(q − q −1 )(q 6 − q 4 + 3q 2 − 1 + 3q −2 − q −4 + q −6 )76−q 7 + 2q 5 − 3q 3 + 3q 1 − 3q −1 + 3q −3 − 2q −5 + q −777−q 7 + 3q 5 − 4q 3 + 5q 1 − 5q −1 + 4q −3 − 3q −5 + q −784(q − q −1 )(q 4 − q 2 + 1 − q −2 + q −4 )86(q − q −1 )(q 2 + 1 + q −2 )(q 2 − 1 + q −2 )811−q 3 + q −3813(q − q −1 )(q 4 − q 2 + 1 − q −2 + q −4 )814(q − q −1 )(q 2 + 1 + q −2 )(q 2 − 1 + q −2 )815(q − q −1 )(q 6 − 2q 4 + 2q 2 − 3 + 2q −2 − 2q −4 + q −6 )[22]Таблица 5.1: Коэффициенты h[1] для 4-нитевых узлов до 8 пересечений.@@@@@@@@@@Рис.
5.2: Узел-восьмерка и его простейшее представление в виде косы.94помощью методов, описанных в разделе 5.1, а также их обобщения на случай симметрических представлений [103, 104], можно получить полиномы ХОМФЛИ дляпростейших нефундаментальных представлений:4H[0]1 (A| q)∗ (A| q)S[0]4H[1]1 (A| q)∗ (A| q)S[1]= 1,= A2 − q 2 + 1 − q −2 + A−2 = 1 + {Aq}{Aq −1 },4H[2]1 (A| q)∗ (A| q)S[2]= q 4 A4 − (q 6 + q 4 − q 2 + q −2 ) A2 + (q 6 − q 4 + 3 − q −4 + q −6 ) −− (q 2 − q −2 + q −4 + q −6 ) A−2 + q −4 A−4 = 1 + [2]{Aq 2 }{Aq −1 } + {Aq 3 }{Aq 2 }{A}{Aq −1 },4H[3]1 (A| q)∗ (A| q)S[3]= 1 + [3]{Aq 3 }{Aq −1 } + [3]{Aq 4 }{Aq 3 }{A}{Aq −1 }++{Aq 5 }{Aq 4 }{Aq 3 }{Aq}{A}{Aq −1 }.(5.35)−1Здесь и далее в этой главе используется обозначение {x} = x − x , а также обозначение для квантовых чисел, использованное в разделе 5.3: [k]q =q k −q −k.q−q −1Из этихформул можно построить обобщенную формулу для произвольного симметрического представления:41∗H[p](A| q) = S[p](A| q) 1 +pXk=1!k−1Y[p]q !{Aq p+i }{Aq i−1 } .[k]q ![p − k]q ! i=0Под [k]q ! понимается квантовый факториал, то есть [k]q ! =5.4.1(5.36)Qki=1 [i]q .ХОМФЛИ для произвольного антисимметричного представленияПолиномы ХОМФЛИ и их разложение по характерам обладают Z2 -симметрией припреобразовании1A, q, SQ∗ ←→ A, − , SQ∗ 0q(5.37)где Q0 — это транспонированная диаграмма Юнга Q.
Существенным для данной симметрии является свойство характеров, состоящее в том, что характеры, как функцииот временных переменных (см. (5.12) и (5.13)) удовлетворяют формуле SQ0 {tk } =SQ (−1)k−1 tk . Эта симметрия позволяет преобразовать ответ (5.36) для диаграммы Юнга с одной строкой Q = [p] в ответ для транспонированной диаграммы, тоесть для произвольной диаграммы Q = [1p ] = [1, 1, . . . , 1]:| {z }p элементовH[141p ] (A|q) = S[1∗ p ] (A|q) 1 +pXk=1k−1Y![p]q !{Aq −p−j }{Aq −j+1 } .[k]q ![p − k]q ! j=095(5.38)Все дополнительные знаки, появляющиеся при транспонировании диаграммы в характерах SQ∗ , не проявляются в конечном ответе.
Соответствующие характеры натопологическом локусе равныS[1∗ p ] (A|q)=pY{Aq 1−j }j=1{q j }.(5.39)Несколько примеров (5.38) приведены ниже:41 (A|q)H[11]∗ (A|q)S[11]41H[111] (A|q)∗S[111](A|q)= 1 + [2]{Aq −2 }{Aq} + {Aq −3 }{Aq −2 }{A}{Aq},= 1 + [3]{Aq −3 }{Aq 1 } + [3]{Aq −4 }{Aq −3 }{A}{Aq}+(5.40)+{Aq −5 }{Aq −4 }{Aq −3 }{Aq −1 }{A}{Aq}.Правые части этих выражений вырождаются в единицу при A = q 2 и A = q 3 соот∗ветственно.
S111(A|q) также равно нулю при A = q 2 .5.4.2Проверка цветного ХОМФЛИПриведем несколько аргументов в пользу (5.36). Во-первых, ответ (5.36) обобщаетизвестные примеры (5.35), полученные ранее в работах [103, 105] (для [p] = [2]) и[104] (для [p] = [3], [4]).Во-вторых, в пределе q → 1 это выражение зависит от представления специальным образом. Такой предел полинома ХОМФЛИ носит название специальногополинома:HTK (A|q).q→1 S ∗ (A|q)THKT (A) = lim(5.41)Известно, что специальный полином для любого представления является просто степенью специального полинома фундаментального представления [106]:|T |KHK(A)=H(A).T[1](5.42)Это свойство выполняется для всех K и T [107, 108, 109, 110, 111, 112, 113].
Отметим,что предел берется при фиксированном значении A, и как полиномы ХОМФЛИ HT ,так и характеры ST∗ в этом пределе имеют сингулярность вида (q − q −1 )−|T | , где |T |— это количество клеток в диаграмме Юнга T . Специальный полином, являющийсяих отношением, однако, имеет вполне определенную форму.В-третьих, правильным образом устроен и предел этого выражения при A → 1,который носит название полинома Александера [61, 106]:AKT (q)HTK (A|q)= lim ∗.A→1 S (A|q)T96(5.43)Полиномы Александера также имеют весьма простую зависимость от представления T , если оно описывается диаграммой-крюком (диаграммой, все клетки которойнаходятся в первом столбце или первой строке) [103, 106, 111]:|T |K.AKT (q) = A[1] q(5.44)То есть полином Александера в представлении T — это полином в фундаментальномпредставлении, но от переменной q |T | .
Полученный ответ удовлетворяет данномуусловию.В-четвертых, в пределе A = q 2 приведенный ответ воспроизводит известные ответы для полиномов Джонса.NВ-пятых, в точке A = q , q = exp41 H[p]∗∗S[p]iπNN+p−1A = q q = e=πiN +p−1воспроизводит формулу из [114]:2 !p j−1 XY(p − i)π1+2 sin.N +p−1j=1 i=0(5.45)В-шестых, выражение (5.38), напрямую связанное преобразованием симметрии сформулой (5.36), равно нулю при A = q N , если N < p, и равна полиномам неузловпри N = p. Это свойство следует из теории представлений. При рассмотрении конкретной группы SU (N ) следует положить A = q N .
С другой стороны в группе SU (N )отсутствуют все представления [1p ] при N < p, а при N = p представления тривиальны.В-седьмых, полученный ответ согласуется с гипотезой Оогури-Вафы (см. раздел5.4.3).Первые два утверждения из этого списка — это не независимые проверки, таккак они использовались при выводе формулы (5.36). Однако, остальные пять утверждений независимы от вывода формулы.5.4.3Проверка гипотезы Оогури-ВафыИз цветных полиномов ХОМФЛИ можно построить также другой класс полиномов fTK , называемый полиномами Оогури-Вафы (ОВ) [58, 115, 116, 117].
В случаеузла-восьмерки полиномы ОВ частично факторизуются и, таким образом, их форманесколько проще, чем у полиномов ХОМФЛИ. Они определяются производящимифункциями для всех представлений!logXTKHT tk |q SR {t̄k }=XX 1 (n) (n) fTK tk q n ST t̄knnT(5.46)где HTK — это обобщенный полином ХОМФЛИ (см. раздел 5.3), {t̄k } — это дополни(n)тельный набор временных переменных, а t̄k ≡ p̄nk — это их преобразование Адамса97[83].
На топологическом локусе (5.13) это соотношение вырождается до!XXX 1 (n) ∗logHTK (A|q)ST {t̄k } =fTK (An |q n )ST t̄k .nnTT(5.47)Гипотеза Оогури-Вафы предполагает [58, 115, 116, 117] что, как и отношение HT /ST∗ ,∗отношение fT∗ /S[1]— это всегда полином с целыми коэффициентами. Это означает,∗что fT∗ всегда пропорционален S[1]в пределе q → 1 при фиксированном A (пределеспециального полинома). Таким образом, полиномы ОВ в данном пределе менеесингулярны, чем полиномы ХОМФЛИ HT∗ , которые пропорциональны ST∗ .Простейшие полиномы Оогури-Вафы равныf[1] = H[1] ,(2)2− 12 H[1] ,f[2] = H[2] − 21 H[1](5.48)(3)3f[3] = H[3] − H[1] H[2] + 13 H[1]− 13 H[1] ,(2)224f[4] = H[4] − H[1] H[3] − 12 H[2]+ H[1]H[2] − 14 H[1]+ 12 H[2] +(n)(n)14(2)H[1]2,(n)где HT {tk |q}) ≡ HT {tk |q n } и HT (A|q) ≡ HT (An |q n ).Из выражения (5.36) простейшие полиномы Оогури-Вафы для узла-восьмеркиравны:4 ∗f[0]1 (A|q)∗ (A|q)S[1]= 0,4 ∗f[1]1 (A| q)∗ (A| q)S[1]41 ∗f[2] (A| q)∗ (A| q)S[1]41 ∗= A2 − (q 2 − 1 + q −2 ) + A−2 ,= {A}{A/q}{Aq 2 }{A2 q 2 },f[3] (A| q)2={A}{A/q}{Aq}{Aq}(q 8 + q 4 + q 2 )A4 − (q 6 − q 4 − 1)A2 −∗ (A| q)S[1]−(q 2 − 2 + q −2 ) − (q −6 − q −4 − 1)A−2 + (q −8 + q −4 + q −2 )A−4 ,4 ∗f[4]1 (A| q)2={A}{A/q}{Aq}{Aq}(q 19 + q 15 + q 13 + 2q 11 + q 9 + 2q 7 + q 5 + q 3 )A7 −∗S (A| q)[1]−(q 17 + q 15 + q 13 + 2q 11 + 2q 9 + 2q 7 + q 5 )A5 + (q 13 + q 9 − q 5 − q 3 − 2q −1 )A3 ++(q 7 + q 5 + q 3 + 2q − q −5 )A + (q −7 + q −5 + q −3 + 2q −1 − q 5 )A−1 ++(q −13 + q −9 − q −5 − q −3 − 2q 1 )A−3 −−(q −17 + q −15 + q −13 + 2q −11 + 2q −9 + 2q −7 + q −5 )A−5 ++ (q−19+q−15+q−13+ 2q−11+q−9+ 2q−7+q−5−3+ q )A−7...(5.49)Для этих полиномов гипотеза Оогури-Вафы очевидно выполняется.В специальном пределе q → 1, соответствующие специальные полиномы Оогури-98Вафы fT (A) ≡ limq→1fT∗ (A| q)∗ (A| q)S[1]равныf[0] (A) = 1,f[1] (A) = 1 + {A}2 ,2f[2] (A) = {A}3 {A },f[3] (A) = {A}4 3A4 + A2 + A−2 + 3A−4 ,f[4] (A) = 2{A}3 {A2 } 5A6 − 10A4 + 9A2 − 7 + 9A−2 − 10A−4 + 5A−6(5.50)...Эти полиномы обладают нетривиальной зависимостью от представления и не могутбыть выражены через специальные полиномы HT (A): поправки высших порядков по1 − q также дают вклад в f[T ] (A).5.4.4Цветные суперполиномы узла-восьмеркиФормула (5.36) допускает различные обобщения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
