Диссертация (1104792), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Наиболее распространены два выборакалибровки: временная Aa0 = 0 и голоморфная Aaz = Aa1 + iAa2 = 0. В обоих случаяхтеория вырождается в теорию без взаимодействия, поэтому изучение коррелятороввида hA1 (x1 )A2 (x2 )...i не представляется интересной задачей. Однако, в трехмерной топологической теории существует нетривиальный коррелятор другого типа —среднее значение петли Вильсона:1hWK i =ZZIAdx e[DA]T r P exp MihRML[A](5.2)KЗдесь Z — статистическая сумма теории:ZZ=[DA]eM85ihRML[A],(5.3)а K — контур, вдоль которого считается петля Вильсона. Из-за того, что исследуемая теория трехмерна, даже при тривиальной топологии пространства, например,M = S 3 , возможны контуры K, которые топологически различны.
Таким образом,основной объект исследования в трехмерной теории Черна-Саймонса — это средниезначения петель Вильсона для различных контуров K.В 1989 году Э.Виттен предположил [59], что средние значения петель Вильсона трехмерной теории Черна-Саймонса с полем A, преобразующимся по калибровочной группе SU (2), равны полиномам Джонса из математической теории узлов[60]. Для произвольной группы SU (N ) данное предположение естественным образом обобщается на равенство соответствующих вильсоновских средних и полиномовХосте-Окнеану-Милле-Фрейда-Ликориша-Йеттера (ХОМФЛИ) [62, 63].
Предположение о связи трехмерной теории Черна-Саймонса и математической теории узлови, в частности, вильсоновских средних и полиномов узлов логично в свете топологичности теории Черна-Саймонса и соответствии вильсоновских средних контуру втрехмерном пространстве — узлу.В математической теории узлов полиномы ХОМФЛИ H K (A, q) определяются припомощи так называемых скейн-соотношений. Эти соотношения устанавливают связьмежду полиномами трех узлов/зацеплений1 , плоские диаграммы которых связаныследующим образом. На каждой из нитей выбирается некоторое направление, после чего выбирается некоторое пересечение в плоской диаграмме узла.
Три сравниваемых узла/зацепления при этом соответствуют замене данного пересечения наследующие фрагменты:]JJ J] K ←→ , K0 ←→ J , K00 ←→ JJ JСкейн-соотношения в этом случае гласят:0] .(5.4)00AH K (A, q) − A−1 H K (A, q) = (q − q −1 )H K (A, q).(5.5)Вместе с заданием полинома ХОМФЛИ для простейшего узла — “неузла”, H ◦ (A, q) =1, скейн-соотношения позволяют однозначно определить полином ХОМФЛИ любогоузла или зацепления. Полином ХОМФЛИ — это лоранов полином по переменнымA и q. Согласно [62, 63] полиномы ХОМФЛИ, построенные таким образом, действительно являются топологическими инвариантами. Этот факт основывается на том,что две двумерные диаграммы представляют собой один и тот же трехмерный узелили зацепление, если, и только если, одна может быть преобразована в другую спомощью плавных деформаций и трех движений Редемейстера:1Зацеплением называют совокупность нескольких (двух и более) контуров, которые могут бытьсцеплены друг с другом86I:←→II:←→SS SSIII:(5.6)←→SS SSЗафиксируем временную калибровку в теории Черна-Саймонса Aa0 = 0.
В этомслучае лагранжиан теории превращается вL̃CS =kδab Aa1 ∂0 Ab2 − Aa2 ∂0 Ab1 .4π(5.7)Тем самым, в данной теории нет взаимодействия, и пропагатор тривиален:D(x, y) ∼ δ(x1 − y 1 )δ(x2 − y 2 )θ(x0 − y 0 )(5.8)Из-за выбранной калибровки не важно, как контур петли Вильсона зависит от x0 .Тем самым контур (узел) можно заменить на его двумерную проекцию на плоскостьx0 = 0. Тогда ответ для вильсоновского среднего дается произведением пропагаторов, находящихся в точках пересечений двумерной проекции. Исходя из топологической инвариантности ответа для среднего значения петли Вильсона (котораяобусловлена топологической инвариантностью самой теории) произведение пропагаторов должно удовлетворять движениям Редемейстера (5.6).
Третье движение Редемейстера представляет собой уравнение Янга-Бакстера на операторы, сопоставленные проекторамR1 R2 R1 = R2 R1 R2(5.9)Решениями данного уравнения являются R-матрицы [80]. Таким образом, петлюВильсона можно представить, как произведение некоторого числа R-матриц, соответствующих пересечениям двумерной диаграммы узла. Теории Черна-Саймонса скалибровочной группой SUq (N ) и константой связи k при этом соответствуют полиномы ХОМФЛИ от следующих A и q:q = expk+N4πA = qN(5.10)Проще всего описать данный метод построения полиномов узлов при помощипредставления узла в форме косы (см.
рис.5.1). Из третьего движения Редемейстера87R1@R3R4@@@R2 @@R5@@@@@R6@@@Рис. 5.1: Пример косы из 3 нитей. Ответ для полинома узла можно получить с использованием выражения R1R2R3R4R5R6следует, что ответ представляется произведением R-матриц: R1R2R3R4R5R6. Нотретьего движения Редемейстера недостаточно для того, чтобы ответ был топологическим инвариантом. Для этого необходимо, чтобы выполнялись все три движения. Из второго движения следует, что матрица, соответствующая обратному пересечению — это обратная матрица: R3 = R4−1 .
Наиболее сложным является первоедвижение Редемейстера. Оно соответствует изменению числа нитей в косе. Из необходимости выполнения первого движения Редемейстера можно получить [62, 63],что окончательный ответ дается разложением по характерам группы SUq (N ). Прирассмотрении вильсоновского среднего косы с m нитями от связности, преобразующейся по представлению T калибровочной группы SUq (N ), в разложение входятпредставления с диаграммами Юнга размером m|T |, где |T | — размер диаграммыT:!HTK =XSQ∗ (A, q)TrQYRi=iQ`n|T |где TrQ — это след по представлению Q,SQ∗XSQ∗ (A, q)hTR (q),(5.11)Q`n|T |— это характер представления Q группыSUq (N ), взятый в специальной точке, называемой топологическим локусом, а hTR —коэффициенты разложения по характерам.Характер SQ удобнее всего представлять, как функцию от временны́х переменных, то есть следов степеней группового элемента в фундаментальном представлении:SQ = SQ {t},tk =Pxk .(5.12)При подстановке в выражение (5.11) для топологической инвариантности при первом движении Редемейстера (изменении числа нитей в косе) необходимо подставлятьспециальные значения tk , называемые топологическим локусом:Ak − A−k∗∗SQ (A, q) = SQ tk = k.q − q −k(5.13)Характеры на топологическом локусе, несмотря на меньшую общность, обладаютотносительно простым алгоритмом их вычисления.
Этот алгоритм описывается так88называемой формулой крюков [81]:Y Aq i−j − A−1 q j−iSQ∗ (A, q) =q hi,j − q −hi,jijk(5.14)x(i,j)∈Qhi,j = k + l + 1То есть характер в данном случае можно найти с помощью произведения повсем клеткам диаграммы Юнга. Каждый множитель при этом строится, исходя изположения клетки в диаграмме Юнга.
hi,j s равно сумме расстояний до конца столбцаи конца строки.5.1ХОМФЛИ в фундаментальном представленииОпираясь на теорию представлений можно найти, как устроены коэффициенты разложения по характерам для различного числа нитей в косе [82]. Если рассматривать узлы, представимые косой с m = 2 нитями, которые характеризуются однимпараметром n — числом пересечений в косе (если рассматриваемая коса состоит изобратных пересечений, то n < 0), то ответ представляется в виде: n11(n)∗n ∗n ∗S11 (A) = q S2 (A) + q −→ −.H[1] = q S2 (A) + −qq(5.15)Выражения для узлов, представимые косой с тремя нитями, имеют несколько болеесложную форму.
В такой косе возможны пересечения двух типов (см. рис.5.1) — соответствующие пересечению двух верхних линий (R1, R3 и R4 на рисунке), и двухнижних линий (R2, R5 и R6 на рисунке). Если параметризовать эту косу наборомчисел {a1 , b1 , a2 , b2 , . . .}, где ai и bi обозначают число верхних и нижних пересечений(на рис.5.1 изображена коса, параметризующаяся в этом случае последовательностью {1, −1, 0, −2}). Ответ для полинома ХОМФЛИ при этом дается формулой Pi (ai +bi )∗=q+ − 1qS111(A)+††b a21 U2 Rb 2b1 U2 Rb a22 U2 Rb b22 U2 . . .
S ∗ (A).+ Tr 2×2 R21(a ,b ,a ,b ,...)H[1]1 1 2 2Pi (ai +bi )S3∗ (A)(5.16)Выражения для косы с m = 4 нитями могут быть построены аналогичным образомB = (R ⊗ I ⊗ I)a1 (I ⊗ R ⊗ I)b1 (R ⊗ I ⊗ ssI)c1 (R ⊗ I ⊗ I)a2 (I ⊗ R ⊗ I)b2 (R ⊗ I ⊗ I)c2 . . . :(a ,b ,c ,a ,b ,c ,...)H[1]1 1 1 2 2 2+ Tr+nTrPi (ai +bi +ci )1∗=q+ −qS1111(A)+a1b1 † b c1 +a2b2 † b c2 +a3∗bbbU2 R2 U2 R2. .
. S22 (A)+2×2 R2 U2 R2 U2 R2Pi (ai +bi +ci )S4∗ (A)∗. . . S31(A) +o+ q −→ − 1qb c2 † † †b a1 b b1b c1 † † † b a2 b b23×3 R3 U3 R3 V3 U3 R3 U3 V3 U3 R3 U3 R3 V3 U3 R3 U3 V3 U389(5.17)Матрицы, входящие в эти формулы могут, быть получены с помощью теории представлений. R-матрицы представляют собой решения уравнения Янга-Бакстера (5.9),а матрицы U и V — это матрицы смешивания, связанные с коэффициентами Рака:!qqR̂2 =;R̂3 = q;1−q− 1q!1c3 s 3c2 s 2U2 =;U3 = V3 = −s3 c3c2 s 2 ;;−s2 c2−s2 c21(5.18)Индексы связаны с размерами матриц, коэффициенты в матрицах смешивания U иV равны:1,ck =[k]qsk =qp1−c2k=[k − 1]q [k + 1]q,[k]qгде введено обозначение для квантового числа [k]q =(5.19)q k − q −k. Эти формулы позвоq − q −1ляют получить полиномы ХОМФЛИ в фундаментальном представлении для произвольного узла, описываемого косой с 2, 3 или 4 нитями.5.2Полиномы ХОМФЛИ торических узловПолиномы ХОМФЛИ в старших (нефундаментальных) представлениях носят название цветных полиномов ХОМФЛИ.
Самый хорошо изученный класс узлов — этоторические узлы. Торическим узлом T [m, n] называется узел, который получается спомощью намотки нити на тор m и n раз по одному и другому направлению соответственно. В этом случае известен точный вид коэффициентов hQR в общем виде, тоесть для всех торических узлов [m, n] [83, 84, 85]:nQκm QC ,hQR = qR(5.20)где CRQ можно получить с помощью “процедуры Адамса”:SR (p[m] ) =XCRQ SQ (p),[m]pk = pmk ,(5.21)Qа κQ определяется представлением (диаграммой Юнга) Q = {Q1 , Q2 , ..}:κQ =X1XQi (Qi − 2i + 1) =(i − j).2 i(i,j)∈Q90(5.22)5.3Обобщенные ХОМФЛИ и τ -функцииКак было сказано выше, характер представления обычно дается выражением от временных переменных t.
По этой причине полином ХОМФЛИ имеет логичное обобщеKние — обобщенный полином ХОМФЛИ HR, который получается из выражения (5.11)заменой переменных t∗ → t:XHTK =SQ {t}hTQ (q).(5.23)Q`n|T |Введем также производящую функцию обобщенных полиномов ХОМФЛИ для данного узла, описывающую ответ для произвольного представления:HK {t|t̄} =XHTK {t}ST {t̄} =TXhTQ SQ {t̄}ST {t}.(5.24)T,QАналогичную функцию можно построить и для зацепления. Основное отличие этого случая от случая узлов состоит в том, что у каждой компоненты зацепленияможет быть свое представление, поэтому суммирование надо производить по всемвозможным представлениям для каждой компоненты:K(a)H {t|t̄ } =XHTK1 T2 ..Tl {t}T1 T2 ..TllY(a)STa {t̄ } =a=1XhTQ SQ {t}T,QlYSTa {t̄(a) },(5.25)a=1где l — число компонент зацепления.5.3.1τ -функцииτ -функциями КП, которые рассматриваются в данной работе называются решениябилинейного уравнения Хироты [86]-[97]: IkkPzz0 )z −k(t−t0kkdz e kτ tk +τ tk −= 0.kk(5.26)Как функции от временных переменных, они могут быть представлены разложениемпо характерам SR {t}, так как характеры образуют базис в пространстве функцийот временных переменных:τ {p |g} =XQ91gQ SQ {p }.(5.27)Из уравнения Хироты можно получить, что коэффициенты gQ такого разложениядолжны удовлетворять бесконечному набору билинейных соотношений Плюккера:g[22] g[0] − g[21] g[1] + g[2] g[11] = 0,g[32] g[0] − g[31] g[1] + g[3] g[11] = 0,g[221] g[0] − g[211] g[1] + g[2] g[111] = 0,(5.28)g[42] g[0] − g[41] g[1] + g[4] g[11] = 0,g[33] g[0] − g[31] g[2] + g[3] g[21] = 0,g[321] g[0] − g[311] g[1] + g[3] g[111] = 0,g[222] g[0] − g[211] g[11] + g[21] g[111] = 0,g[2211] g[0] − g[2111] g[1] + g[2] g[1111] = 0,...5.3.2Сравнение HK {t|t̄} и τ {t}Так как обобщенные полиномы ХОМФЛИ и τ -функции являются функциями отвременных переменных, то логично провести их сравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
