Диссертация (1104792), страница 13
Текст из файла (страница 13)
рис. 3.7).Таким образом, конформный блок в этом случае представляется формулой:B(q) =XXq n B (n) =nq |Y1 | L−Y1 V1 Vext (1)L−Y2 V2 (0) Q−1∆ (Y1 , Y2 ).Y1 ,Y2Помимо q конформный блок в данном случае зависит от размерностей двух полей∆ и ∆ext и от центрального заряда c.∆ext , 1∆ext , 1=⇒'$@L−Y1 &%L−Y2@@L−Y1 , ∆1 , ∞L−Y2 , ∆2 , 0∆Рис. 3.7: Диаграмма для случая 1-внешнего поля на тореСогласно гипотезе АГТ данный конформный блок должен быть сопоставлен следующей функции НекрасоваZinst =Xq |Y | Zadj (~a, Y~ , m)Zvector (~a, Y~ ).Y72(3.78)Исходя из равенства первых порядков разложения по q B (1) = Z (1)B (1) =∆2ext2∆−∆ext2∆+ 1,(3.79)Z(1)=(1 −m)(2 −m)(−8a21 2 (2 −4a2 )22+ 2 − 2m + 2m ),можно получить следующее соотношение между параметрами конформной и суперсимметричной теорий∆ext =m( − m)2m( − m), ν =1−.1 21 2(3.80)Используя данное соотношение, можно проверить гипотезу АГТ в данном случае,путем сравнения вторых порядков разложения для конформного блока и функцииНекрасова.3.3.1Предел больших массАГТ-соотношение для асимптотически свободной калибровочной теории может бытьполучено путем устремления масс полей суперсимметричной теории к бесконечности.
В рассматриваемом случае при этом сохраняется постоянным произведениеqm4 = Λ4 . Исходя из соотношения между параметрами теории (3.80), предел больших масс также соответствует пределу большой ∆ext .Таким образом, в данном пределе выражения для конформного блока переходятвB (1) m−→∞∆2ext2∆= ∆2ext Q−1∆ ([1], [1]) ,(3.81)B (2) m−→∞ ∆4ext Q−1∆([12 ], [12 ]) .Подставив в эти формулы выражение для ∆2ext ∼ −Λ4 /q, можно предложить следующее их обобщение на произвольный порядок разложения по q:nnq n B (n) ∼ Λ4n Q−1∆ ([1 ], [1 ]) ,(3.82)что дает следующее выражение для конформного блока:limm−→∞qm4 =Λ4 =constB(x) =∞XnnΛ4n Q−1∆ ([1 ], [1 ]) .(3.83)n=0Докажем формулу (3.82).
В пределе больших масс и, соответственно, большой∆ext важен лидирующий член по ∆ext . B (n) дается формулойB(n)=XDEL−Yi V1 V2 (1)L−Yj V3 (0) Q−1∆ (Yi , Yj ).|Yi |=|Yj |=n73(3.84)Можно заметить, что Q зависит только от ∆, поэтому вся зависимость от ∆ext содержится в γ. Докажем теорему о том, что наибольшая степень ∆ext вDEL−Yi V1 V2 (1)L−Yj V3 (0)(3.85)равна полному числу операторов Вирасоро в Yi и Yj . Если эта теорема верна, тонаибольшая степень ∆ext содержится в члене Yi = Yj = [1n ].
Также докажем, чтокоэффициент при этом члене равен единице. Таким образом, ведущий член в B (n)−1nnпри больших ∆ext действительно равен ∆2next Q∆ ([1 ], [1 ])Используя формулу (2.49) и подставив в нее n = 0, можно получить, чтоD ED Ee ext V1 V2 (1)V3 (0)V1 L−1 V2 (1)V3 (0) = ∆(3.86)e ext = ∆ext + произвольная функция от ∆, в данном рассмотренииздесь и далее ∆eважна только наибольшая степень ∆ext , поэтому далее будет использоваться ∆extвместо ∆ext .Используя метод математической индукции, докажем теорему. Базой индукциивыберем уровень 0 — если нет операторов Вирасоро, то γ не зависит от ∆ext потому, что она равна единице.
Проанализируем поведение слагаемых в правой частиформулы (2.49). Первое слагаемое равняется нулю, потому что в рассматриваемомслучае V2 — это примарное поле. Исходя из уравнения (3.86), можно сложить второеи третье слагаемое, уменьшив количество операторов Вирасоро при поле V1 на 1 иe ext . С помощью коммутационных соотношений операторовполучив множитель n∆2Вирасоро в последнем слагаемом Ln L−k V3 = L−k Ln V3 + (n + k)Ln−k V3 + δn,k cn(n12−1) .Поэтому, если V3 — примарное поле, каковым оно является в рассматриваемом случае, то Ln L−Y V3 содержит столько же операторов Вирасоро, сколько и L−Y V3 с коэффициентом, не зависящим от ∆ext , а, соответственно, дает меньший порядок по∆ext , чем другие слагаемые.
Таким образом, если Yi = {n1 , n2 ...nN }, то рассматриваNQe ext , что и доказывает данный ранее ответ.емый коррелятор пропорционаленni ∆i=1Аналогичное рассуждение можно провести и для Yj .Этот результат интересен еще и потому, что полученный в конформной теорииполя ответ совпадает с аналогичным пределом для случая коррелятора четырехполей на сфере, полученным ранее в работах [70, 71]. Эти два предела должны совпадать согласно свойствам суперсимметричных теорий, но данное свойство далеконе очевидно в конформной теории. Таким образом, данный результат является в томчисле косвенной проверкой гипотезы АГТ.74Глава 4Теория свободных полей и интегралыСельбергаВ данной главе изучается возможность построения конформного блока в этойтеории и проблемы связанные с наличием в ней “закона сохранения”.
Оказывается,что для того, чтобы построить конформный блок с произвольными размерностями полей, необходимо вводить дополнительные множители. После введения этихмножителей конформный блок представляется с помощью нетривиальных интегралов, называемых интегралами Сельберга. Подобные конструкции встречаютсяпри изучении матричных моделей.В разделе 2.1 обсуждалась конкретная модель конформной теории — теория свободных полей. Ее преимущества состоят в том, что любая интересующая величинаможет быть напрямую вычислена с помощью теоремы Вика. Однако, проблема состоит в том, что в отличие от общих выражений, рассмотренных в главе 2, в свободной теории накладываются существенные ограничения на размерности полей. ЭтоPсвязано с наличием закона сохраненияα = 0.Для того, чтобы несколько расширить множество изучаемых корреляторов, вместо стандартной формулы для получения структурных констант◦◦P∆L−Y2 V∆2 (q) ◦◦ = ∆ q ∆−∆1 −∆2 −|Y1 |−|Y2 | S∆×1 ∆2P |Y | ∆,Y◦◦× Y q C∆1 ,Y1 ; ∆2 ,Y2 ◦ L−Y V∆ (0) ◦L−Y1 V∆1 (0) ◦◦◦◦(4.1)представляется возможным использовать следующую ее модификацию:◦◦L−Y1 eα1 φ(0) ◦◦ ◦◦L−Y2 eα2 φ(q) ◦◦qR◦◦ebφ(z) ◦◦Ndz=02 +bNSαα11α+α2PYq|Y |+α2 +bN,Y ◦Cαα11,Y◦1 ; α2 ,Y275L−Y e(α1 +α2 +bN )φ(0) ◦◦,(4.2)где b удовлетворяет следующему условию: Q = b − 1/b.
Таким образом размерностьдобавленных полей нулевая и потому не изменяет конформных свойств. Идея добавления полей такого вида в конформный блок была высказана в работе Доценкои Фатеева [17]. Представленный здесь выбор контуров интегрирования был предложен в работах [74, 75]. В данной работе проверено, что для диаграмм Юнга размера|Y | ≤ 3 полученные таким образом константы связи приводят к таким же ответам,как и расчеты основанные на общих конформных свойствах (см. главу 2).С помощью предложенного способа возможно изменить закон сохранения α =α1 + α2 + bN .
Обобщив полученные данным способом ответы на произвольное, необязательно целое, N , можно получить произвольную связь между размерностямиполей.Рассмотрим подробнее устройство таких деформированных структурных констант.QN◦ bφ(zi ) ◦◦ =i=1 ◦ ePQQ2NN= q 2α1 α2 i<j (zi − zj )2b i=1 zi2bα1 (q − zi )2bα2 ◦◦ eα1 φ(0)+α2 φ(q)+b i φ(zi ) ◦◦ =NNQQPN2bα12α1 α22b22bα2 ◦=q(zi − zj )zi (q − zi )◦ 1 + α2 q + bi=1 zi ∂φ(0)+i<ji=12NNPP2(∂φ(0))222+ α2 q + b zi+ α2 q + b zi ∂ φ(0)+2!2!i=1i=13NNNPPP2(∂φ(0))322+ 3 · α2 q + b zi+ α2 q + b ziα2 q + b zi ∂φ(0)∂3! φ(0) +3!i=1i=1i=1◦◦◦ ◦◦ ◦eα1 φ(0)eα2 φ(q)◦◦NP3+ α2 q 3 + b zi3 ∂ φ(0)+ .
. . e(α1 +α2 +bN )φ(0)3!◦◦(4.3)=i=1= q 2α1 α2QN2bi<j (zi − zj )2QN2bα1(q − zi )2bα2i=1 zi◦◦1+Pα2 q+b Ni=1 ziα1 +α2 +bNL−1 +PNP222(4(α1 +α2 +bN )+2Q)(α2 q+b Ni=1 zi ) −(α2 q +bi=1 zi )L2−1 +2(α1 +α2 +bN )(4(α1 +α2 +bN )2 +2Q(α1 +α2 +bN )−1)PPn22(α1 +α2 +bN )(α2 q 2 +b Ni=1 zi )−(α2 q+bi=1 zi )+2L−2 +4(α1 +α2 +bN )2 +2Q(α1 +α2 +bN )−1+AL3 +2(α +α +bN )BLL(4.4)+2(α +α +bN )CL12−1 −212−3−1+ 6(α1 +α2 +bN )(4(α1 +α+222 +bN ) +2Q(α1 +α2 +bN )−1)((α1 +α2 +bN ) +Q(α1 +α2 +bN )−1)(4.5)+ .
. .) e(α1 +α2 +bN )φ(0) ◦◦,гдеNNPP33A = α2 q + b zi − (α1 + α2 + bN + Q) α2 q + b zi ×i=1i=1NP× α2 q 2 + b zi2 + + 4(α1 + α2 + bN )2 + 6Q(α1 + α2 + bN )+i=13NP+2Q2 (α1 + α2 + bN ) − 2 α2 q + b zi ,i=176(4.6)B = −4(α1 + α2 + bN )23α2 q + bNPzi3+NNPP222+4(α1 + α2 + bN ) ((α1 + α2 + bN ) + Q) α2 q + b ziα2 q + b zi +i=13 i=1NP+4 1 − 3(α1 + α2 + bN )2 − 3Q(α1 + α2 + bN ) α2 q + b zi ,i=1(4.7)i=1C = 2(4(α1 + α2 + bN )2 + 2Q(α1 + α2 + bN ) − 1) (α1 + α2 + bN )2 ×NNNPPP3322× α2 q + b zi − (α1 + α2 + bN ) α2 q + b ziα2 q + b zi +i=1i=1i=13 NP.+2 α2 q + b zi(4.8)i=1Одной, двумя и тремя линиями подчеркнуты вклады в первый, второй и третий порядок разложения конформного блока соответственно.
В общем виде это выражениеможно представить какQN ◦ bφ(zi ) ◦◦ α1 φ(0) ◦ ◦ α2 φ(q) ◦◦◦ =i=1 ◦ eon ◦eQ ◦◦eQ2NN2bα2bα22b2α1 α21×(q − zi )= qi=1 zii<j (zi − zj )(4.9)PP× ◦◦ eα1 φ(0)+α2 φ(q)+b i φ(zi ) ◦◦ ◦◦ eα1 φ(0)+α2 φ(q)+b i φ(zi ) ◦◦ =P00= Y,Y 0 q |Y |−|Y | HY 0 Y z Y ◦◦ L−Y e(α1 +α2 +N b)φ(0) ◦◦,где используются обозначения z Y =Qziki если Y = {k1 ≥ k2 ≥ ...}, а HY 0 Y — этоiнекоторый набор не зависящих от z коэффициентов, примеры которых приведеныв разложении выше.
Таким образом, так как по всем переменным z производитсяинтегрирование, структурные константы выражаются через интегралы следующеговида:IY =N ZYi=10(qdziNNYY2zY(zi − zj )2bzi2bα1 (q − zi )2bα2i<j).(4.10)i=1Эти интегралы являются обобщением известных в математике интегралов Сельберга (в классических интегралах Сельберга Y = {1, 1, ..} [76]-[79]). Соответственно,структурные константы устроены следующим образом:Xa,YCα1 ;α2 =HY Y 0 IY 0 |Y 0 |≤|Y |(4.11)q=14.12 +bN на первом уровнеC̃αα11α+α2Для построения ответов на первом уровне, то есть ответов соответствующих первойстроке в операторном разложении (4.3), необходимы интегралы Сельберга, описан77ные в работе [76]-[79] (см. также раздел 4.5):q 2α1 α2N RqQdzi zi2bα1 (q − zi )2bα2=qN R1Q· q 2(α1 +N b)(α2 +N b)i=1 0=qN +b2 N (N +1)·q2(α1 +N b)(α2 +N b)2(zi − zj )2b =i<ji=1 0N +b2 N (N +1)NQNQ(4.32)2dzi zi2bα1 (1 − zi )2bα2 (zi − zj )2b i<j =(4.12)NQ−1 Γ 1+2bα1 +jb2 Γ 1+2bα2 +jb2 Γ 1+(j+1)b2j=0Γ 2+2bα1 +2bα2+(j+N −1)b2 Γ1+b2иq 2α1 α2N RqQdzi zi2bα1 (q − zi )2bα2i=1 02N )NQP2=(zi − zj )2b qα2 + b Nzii=1i<jN R1Q2(α1 +N b)(α2 +N b)dzi zi2bα1 (1 − zi )2bα2 ×i=1 0 (4.32)и(4.33)NQP2× (zi − zj )2b α2 + b Nz=i=1 ii<j NQ−1 Γ 1+2bα1 +jb2 Γ 1+2bα2 +jb2 Γ 1+(j+1)b22 ×= q (N +1)(1+b N ) · q 2(α1 +N b)(α2 +N b)= q (N +1)(1+b·qj=0(4.13)Γ 2+2bα1 +2bα2 +(N −1+j)b2 Γ 1+b221+2bα1 +(N −1)b× α2 + N b 2+2bα21 +2bα2 +2(N −1)bС помощью этих формул можно получить выражения для структурных констант.Рассмотрим сначала более простой случай N = 1, а потом его обобщение на случайпроизвольного N .При N = 1 эти интегралы — бета-функции Эйлера:<1>=R1dz z 2bα1 (1 − z)2bα2 =0Γ(1+2bα1 )Γ(1+2bα2 ),Γ(2+2bα1 +2bα2 )R1dz z 2bα1 (1 − z)2bα2 (α2 + bz) =01+2bα11 )Γ(1+2bα2 )= Γ(1+2bαα+b.2Γ(2+2bα1 +2bα2 )2+2bα1 +2bα2< α2 + bz > =(4.14)Согласно (4.2) и (4.3), первая из этих формул задает значение2 +bS̃αα11α+α2(4.14)=Γ(1 + 2bα1 )Γ(1 + 2bα2 ),Γ(2 + 2bα1 + 2bα2 )(4.15)2 +b2 +b,L−1а вторая пропорциональна произведению S̃αα11α+αC̃αα11α+α.
Таким образом, “де222 +b,L−1формированная” структурная константа C̃αα11α+αзадается отношением двух ин2тегралов:2 +b,L−1C̃αα11α+α=2<α2 +bz>1<1>α1 +α2 +b(4.14)=781+2bα1α2 + b 2+2bα1 +2bα21.α1 +α2 +b(4.16)Вычисления, опирающиеся на общие конформные свойства дают в данном случаеследующий ответ:∆2 +∆−∆1 (2.23) α2 (α2 −Q)+(α1 +α2 +b)(α1 +α2 +b−Q)−α1 (α1 −Q)==2∆2(α1 +α2 +b)(α1 +α2 +b−Q)1+2bα112 (α1 +α2 )+2bα1 +2α2 /b+1= α2 + b 2+2bα== 2α2(αα1 +α2 +b1 +α2 +b)(α1 +α2 +1/b)1 +2bα2(4.14) <α2 +bz>(4.16)12 +b,L−1=.= C̃αα11α+α2<1>α1 +α2 +b2 +b,L−1=Cαα11α+α2(4.17)Аналогично, для произвольного N :2 +bN,L−1=Cαα11α+α2∆2 +∆−∆12∆α2 (α2 −Q)+(α1 +α2 +bN )(α1 +α2 +bN −Q)−α1 (α1 −Q)=2(α1 +α2 +bN )(α1 +α2 +bN −Q)21+2bα1 +(N −1)b1= α2 + bN 2+2bα=+2bα2 +2(N −1)b2α1 +α2 +bNP 1<α +bz>2 +bN,L−1= 2 <1> i i α1 +α12 +bN = C̃αα11α+α2=(4.18)и2 +bNS̃αα11α+α2(4.12)=N−1Yj=0 NΓ 1 + 2bα1 + jb2 Γ 1 + 2bα2 + jb2 YΓ(1 + jb2 ).2Γ 2 + 2bα1 + 2bα2 + (N − 1 + j)b2 j=1 Γ(1 + b )(4.19)Полученные ответы для структурных констант C̃ могут быть аналитически продолжены на произвольные (необязательно целые) значения N и, таким образом, напроизвольные размерности α = α1 + α2 + bN .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
