Диссертация (1104792), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

3.3: Диаграмма, описывающая 6-точечный конформный блок.3.2.4Шеститочечный конформный блокВыберем точки z1 = y, z2 = xy, z3 = 0, z4 = 1, z5 = ∞. Тогда конформный блок можетбыть представлен в следующей форме:hVα0 (xyz)Vα1 (yz)Vα2 (z)Vβ0 (0)Vα3 (1)Vβ4 (∞)i == x−(∆β0 +∆α0 ) y −(∆β0 +∆α0 +∆α1 ) z −(∆β0 +∆α0 +∆α1 +∆α2 ) ×Px∆β1 y ∆β2 z ∆β3 Cαβ01β0 Cαβ12β1 Cαβ23β2 Cαβ34β3 ××β1 ,β2 ,β3PP× l1 ,l2 ,l3 xl1 y l2 z l3 |Y1 |=l1 ,|Y2 |=l2 ,|Y3 |=l3 0 0 0 ×(3.36)Y1 ,Y2 Y3β2β1000×γα0 β0 (∅, ∅, Y1 )Dβ1 (Y1 , Y1 )γα1 β1 (∅, Y1 , Y2 )Dβ2 (Y20 , Y3 )××γαβ32 β2 (∅, Y2 , Y30 )Dβ3 (Y30 , Y3 )γαβ43 β3 (∅, Y3 , ∅).U (1)−фактор имеет вид (1 − x)−ν1 (1 − y)−ν2 (1 − xy)−ν3 (1 − z)−ν4 (1 − yz)−ν5 (1 −xyz)−ν6 .

Конкретные выражения для функции Некрасова и конформного блока довольно громоздки, по этой причине изобразим символически, какие элементы присутствуют в выражениях:• Уровень 1α0β0α1β1α1β2Уровень [1,0,0]β1α2β2α2β3Уровни [0,1,0]β2α3β3β4Уровень [0,0,1]• Уровень 2NУровни [2,0,0], [0,2,0], [0,0,2]Уровень [1,0,1]Уровни [0,1,1], [1,1,0]• Уровень 3Для того, чтобы установить связь между параметрами теорий, нужно рассмот-64N[3,0,0]Уровни [0,3,0][0,0,3]Уровни [2,0,1][1,0,2][2,1,0]Уровни [1,2,0][0,1,2][0,2,1]Уровень [1,1,1]реть системуB (1,0,0)B (0,1,0) B (0,0,1)B (1,1,0)B (0,1,1) B (1,1,1)= Z (1,0,0)= Z (0,1,0)= Z (0,0,1)(3.37)= Z (1,1,0)= Z (0,1,1)= Z (1,1,1)Из этой системы получаются следующие соотношения между массами и параметрами α:= − 2 + α0 + β0 ,µ1µ3=ν1=ν4=3− α3 −22α0 (−α1 ),1 22α2 (−α3 ),1 2β4 ,µ2=µ4=ν2=ν5=+ α0 − β0 ,2− α 3 + β422α1 (−α2 ),1 22α1 (−α3 ),1 2m1= α1 ,m2= α2 ,ν3=ν6=2α0 (−α2 ),1 22α0 (−α3 ).1 2Применение указанных разделе 3.2.6 симметрий дает и другие решения.3.2.5n-точечный конформный блокДля случая n внешних полей конформный блок, соответствующий рис.3.5, представляется следующим разложением:B=Xxl11 .

. . xlnn B (l1 ,...,ln )(3.38)l1 ,...,lnB(l1 ,...,ln )=X n+1YX|Y1 |=l1...|YN |=lnβiγi−1β(∅, Yi−1 , Yi0 )Dβi (Yi0 , Yi ),i−1(3.39)i=1 Yi0где xn+1 = 1, ln+1 = 0, Y0 ≡ ∅, Yn+1 ≡ ∅.Из рассмотрения предыдущих случаев можно заметить одну важную особенность. В случае n внешних полей конформный блок на уровнях до (n − 4)-го обрезается до случаев 4, . . . , (n − 1) внешних полей. Нетривиальные обобщения появляются только на уровне n − 3, в случае, когда есть как минимум n − 3 ненулевыхдиаграммы. Таким образом, вычисление первых n − 3 порядков 4, .

. . , n-точечногоконформного блока гарантирует выполнение АГТ-соотношения и для первых n − 365порядков для произвольного числа полей. Первый уровень всегда сводится к четырехточечному конформному блоку, второй к четырех и пятиточечным случаям и такдалее.Это связано со свойствами функции Некрасова и конформного блока. В случае,если одна из пар диаграмм является нулевой, соответствующий элемент функцииНекрасова факторизуется:2Zbif und (~a, Y~ , 0, ∅, m) = Zf und (~a, Y~ , − m) ,2Zbif und (0, ∅, ~a, Y~ , m) = Zf und (~a, Y~ , m) .(3.40)Таким образом, общее выражение для данного уровня функции Некрасова распадается в произведение выражений для фрагментов диаграммы, находящихся слеваи справа от ребра, соответствующего нулевой паре диаграмм. Аналогичное свойство наблюдается и у конформного блока, так как форма Шаповалова для нулевыхдиаграмм равна единице.αi−1βi−1αiβiαiβi+1βia)αi+1βi+1βi+2b)Рис.

3.4Так, для любого n−точечного случая первый порядок АГТ-соотношений сводится к четырехточечному случаю:B=P|Yi |=liZxl iPYi0β(∅, Yi , ∅),γαβii−1 βi−1 (∅, ∅, Yi0 )Dβi (Yi0 , Yi )γαi+1i βi(3.41)= Z U (1) Zbif und (0, ∅, ~ai , Y~i , mi−1 )Zvector (~ai , Y~i )Zbif und (~ai , Y~i , 0, ∅, mi ).Эта формула соответствует диаграмме на рис.3.4 a). Второй порядок для случая пяти внешних полей содержит единственный элемент, не сводящийся к случаю четырех внешних полей — слагаемое, размеры диаграмм, соответствующих внутреннимребрам которой, равны единице.

В шеститочечном случае соотношения сводятся кчетырехточечным диаграммам (уровни [2,0,0],[0,2,0],[0,0,2]), произведению двухчетырехточечных диаграмм (уровень [1,0,1]) и к пятиточечному случаю (уровни[0,1,1],[1,1,0]). Для третьего порядка шеститочечного случая появляется еще одиннетривиальный уровень — [1,1,1]. Все остальные уровни сводятся к произведениючетырех и пятиточечных случаев.Поэтому для нахождения каждого из mi нужно рассмотреть две серии уровней:[0, . . . , 0, li , 0, .

. . , 0], li ∈ N и [0, . . . , 0, li+1 , 0, . . . , 0], li+1 ∈ N. Первой серии соответ66ствует рис.3.4a и следующие выражения:P l i P βiβB =xγαi−1 βi−1 (∅, ∅, Yi0 )Dβi (Yi0 , Yi )γαi+1(∅, Yi , ∅),i βiYi0|Yi |=liZ(3.42)= Z U (1) Zbif und (0, ∅, ~ai , Y~i , mi−1 )Zvector (~ai , Y~i )Zbif und (~ai , Y~i , 0, ∅, mi ).Второй серии соответствует рис.3.4 b). и следующие выражения:PP βi+1βi+200B =xli+1 γαiβ(∅, ∅, Yi+1)Dβi+1 (Yi+1, Yi+1 )γαi+1β(∅, Yi+1 , ∅),1i+1|Yi+1 |=li+1ZYi0= Z U (1) Zbif und (0, ∅, ~ai+1 , Y~i+1 , mi )Zvector (~ai+1 , Y~i+1 )Zbif und (~ai+1 , Y~i+1 , 0, ∅, mi+1 ).(3.43)Таким образом, для случая n внешних полей получаются следующие соотношения между параметрами теорий:µ1= − 2 + α0 + β0 ,µ3=νij=3− αn−322αi (−αj ).1 2− βn−2 ,µ2=µ4=22+ α 0 − β0 ,mi= αi ,− αn−3 + βn−2 ,(3.44)Также с помощью применения указанных в разделе 3.2.6 симметрий можно получить и другие решения.3.2.6СимметрииМножество параметров, удовлетворяющих АГТ-соотношению, обладает некоторымисимметриями.

Исходя из использованной параметризации (3.10) можно заметить,что выражения не изменятся при замене α 7→ ( − α) для любого из α. Для всехконформных блоков на двумерной сфере, кроме случая четырех внешних полей,это единственная симметрия. Таким образом, АГТ-соотношению удовлетворяет 2nразличных наборов параметров конформной теории поля. Также не изменятся ивыражения для функции Некрасова при перестановке масс µ1 и µ2 или µ3 и µ4 ,что дает четыре различных набора для функции Некрасова. Поэтому имеется 2n−2всевозможных комбинаций параметров, удовлетворяющих АГТ-соотношению.Случай четырех внешних полей является с этой точки зрения особым. В данномслучае имеется также симметрия при следующей замене параметров: α0 ↔ β0 и α1 ↔β2 .

Таким образом, в этом случае АГТ-соотношению удовлетворяют восемь различных комбинаций. Объясняется наличие такой симметрии тем, что конформный блокзависит от переменных, являющихся двойными отношениями: x =zα0 β0 zβ2 α1.zα1 β0 zβ2 α0В слу-чае четырех внешних полей он зависит только от одной переменной x, а потомувыражения не изменятся при данной замене параметров. Для случаев многих полей разложение производится по нескольким переменным такого типа, в то времякак преобразования такого вида могут сохранять только одну из них, значит даннаясимметрия существует только для случая четырех внешних полей.67α0 , x1 . . . xn−3β0 , 0αn−4 , xn−3 αn−3 , 1β1 , 0βn−2 , ∞βn−3 , 0Рис.

3.5: Диаграмма определяет порядок перемножения полей в конформном блоке. Диаграмма такого типа называется гребенкой. АГТ-гипотеза задает соотношения только длядиаграмм такого типа.α5 , ∞α1 , x@@α2 , 0β1 , 0α3 , yβ2 , 1a)@@@@@b)@α4 , 1@@Рис. 3.6: a) Диаграмма, задающая неправильный порядок перемножения полей для пятиточечного конформного блока b) Диаграмма иного типа, задающая неправильный порядокперемножения полей для шеститочечного конформного блока3.2.7Выбор диаграммБлагодаря наличию конформной симметрии n-точечный конформный блок зависиттолько от n − 3 проективных инвариантов. Конформный блок может быть задан длялюбых несовпадающих координат, в то время как функция Некрасова задана тольков определенной области пространства модулей.

В этой области параметры qi малы(qi 1). Таким образом получается, что функция Некрасова — это ряд по малым qi ,в то время, как конформный блок — ряд по проективным инвариантам xi . Соответственно, при сопоставлении xi = qi получается, что поля при подсчете конформногоблока должны быть взяты в точках, удовлетворяющих особым условиям:∞, 1, xn−3 , xn−3 xn−4 , . . .

,n−3Yxi , 0,xi 1,(3.45)i=1где n — количество внешних полей в конформном блоке. Данное условие приводит ктому, что рассмотрению подлежат только диаграммы типа гребенки (см. рис. 3.5). Вслучае пяти внешних полей при попытке подсчета конформного блока для диаграммы, представленной на рис.3.6 a). может быть получено только разложение возлеточек y = 1 и x = 0, что не согласуется с нужным для сравнения с функцией Некрасова рядом. Для шеститочечного конформного блока также существует диаграмма,не являющаяся диаграммой типа гребенки (см. рис.3.6 b)). АГТ-соотношение длянего также не установлено.683.2.8Явные вычисления для АГТ-соотношенияЧетырехточечный конформный блок• Уровень 1Конформный блок =a4−2 = −2a2a0Функция Некрасова(3.46)2 − 2(α02 − β02 + α12 − β22 )− = −2σ2 + σ1 + 4ν1 2−2(α0 − β0 + α1 − β2 )−2 2 /2 + (α0 − β0 ) − (α12 − β02 ) × = −2σ4 + σ3 − ν1 2 22 /2 + (α1 − β2 ) − (α32 − β22 )(3.47)(3.48)(3.49)• Уровень 2Конформный блок =a10a8Функция Некрасова16 = 16(3.50)− 322 + 181 2 = 16(2σ2 − σ1 − 2 )+32 (α0 − β0 + α1 − β2 ) + α02 − β02 + α12 − β22− 181 2 − 64ν1 2(3.51)Пятиточечный конформный блок• Уровень [1,0]Конформный блок =Функция Некрасоваa41 a022=2(3.52)a21 a22−2 = −2(3.53)a21 a02−2 /2 + 2(α02 + β02 − α22 )− = 2µ1 µ2 + (µ1 + µ2 )(3 − 4m1 )+−2(α0 + β0 − α2 )+ 2m1 (m1 − ) − 4ν1 1 2a01 a222 /2 − 2(β0 − α2 )(β0 + α2 − ) = (µ1 + µ2 ) − 2µ1 µ2a01 a02α0 ( − α0 )(2 /2+ = 2m1 µ1 µ2 (m1 − )−+2(β0 − α2 )( − (β0 + α2 )))(3.55)− (µ1 + µ2 )(m1 − )2+ ν1 1 2 269(3.54)(3.56)• Уровень [0,1]Конформный блок =Функция Некрасоваa01 a422=2(3.57)a21 a22−2 = −2(3.58)a01 a22−2 /2 + 2(α02 + β32 − α12 )− = 2µ3 µ4 + (µ3 + µ4 )(4m1 − )+−2(α0 + β3 − α1 )+ 2m1 (m1 − ) − 4ν2 1 2a21 a022 /2 − 2(β3 − α1 )(β3 + α1 − ) = (µ3 + µ4 ) − 2µ3 µ4a01 a02α0 ( − α0 )(2 /2+ = 2m1 µ3 µ4 (m1 − )−− (µ3 + µ4 )m21 + ν2 1 2 22(β3 − α1 )( − β3 − α1 ))(3.59)(3.60)(3.61)Шеститочечный конформный блок• Уровень [1,0,0]Конформный блок =Функция Некрасоваa41 a02 a032=2(3.62)a21 a22 a03−2 = −2(3.63)a21 a02 a032 /2 − 2(α0 + α1 − β0 )+ = 2m21 − 4ν1 1 2 − 21 m1 − 22 m1 ++2α12 − 2β02a01 a22 a03a01 a02 a03+ (32 − 4m1 + 31 )σ1 + 2σ22 /2 + 2(α0 − β0 )( − α0 − β0 ) = σ1 − 2σ21/2α1 ( − α1 ) 2 − = ν1 1 32 + ν1 31 2 + 2ν1 21 22 +−4(β0 − α0 ) − 4(α02 + β02 )+ (−32 − 31 − m21 2 − 31 22 ++ 221 m1 − m21 1 ++ 222 m1 − 321 2 + 41 m1 2 )σ1 ++ (−22 m1 − 21 m1 + 2m21 )σ270(3.64)• Уровень [0,1,0]Конформный блок =Функция Некрасоваa01 a42 a032=2(3.65)a21 a22 a03−2 = −2(3.66)a01 a22 a23−2 = −2(3.67)a21 a02 a232=2(3.68)a21 a02 a032α2 ( − α2 ) = 2m2 ( − m2 )a01 a22 a03 2(α12 + α22 ) − 2(α1 + α2 ) = 2m22 + 2m21 − 21 m2 − 22 m2 ++ 61 m1 + 62 m1 − 8m1 m2 − 4ν2 1 2a01 a02 a232α1 ( − α1 ) = −2m21 + 21 m1 + 22 m1a01 a02 a032α1 α2 ( − α1 )( − α2 ) = 8m1 1 m2 2 + 2m21 m22 − 2m21 1 m2 −− 2m21 2 m2 − 6m1 21 2 − 6m1 1 22 + 4m1 21 m2 ++ 4m1 22 m2 − 2m1 m22 1 − 2m1 m22 2 + ν2 31 2 ++ 2ν2 21 22 + ν2 1 32 − 2m1 31 − 2m1 32(3.69)• Уровень [0,0,1]Конформный блок =Функция Некрасоваa01 a02 a432=2(3.70)a01 a22 a23−2 = −2(3.71)a01 a22 a03a21 a02 a232 /2 + 2(α3 − β4 )( − α3 − β4 ) = τ1 − 2τ2(3.72)−2 /2 − 2(α2 + α3 − β4 ) + 2(α32 − β42 ) = −4ν3 1 2 − 21 m2 −− 22 m2 + 2m22 − τ1 2 ++ 4τ1 m2 − τ1 1 + 2τ271(3.73)• Уровень [1,1,1]Конформный блок =a61 a42 a23Функция Некрасова2=2a61 a42 a03(3.74)8τ2 − 4τ1 = +22 − 8(α3 − β4 )( − α3 − β4 )a61 a22 a23(3.75)42 + 21 2 + = 81 2 + 16ν3 1 2 − 16τ1 m2 ++16(α3 − β4 )( − α3 − β4 ) + 8τ1 − 16τ2a41 a42 a43(3.76)32 = 32(3.77)etc.3.3АГТ-соотношение для конформных блоков натореКоррелятор одного внешнего поля на двумерном торе описывается диаграммой изодной тройной вершины и одной петли, соответствующую пропагатору (см.

Характеристики

Список файлов диссертации