Диссертация (1104792), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Действительно, из матрицыШаповалова и структурных констант можно получитьα,W−1−1γ̄α1α2 ;α (W−1 ) = Cαα,LhW−1 Vα |L−11 α2Vα i + Cα1 α2 hW−1 Vα |W−1 Vα i =−4α1 αβ+3α1 αQ−2β1 α2 +2β1 β 2 −β1 Qβ(3α(α2 − 3β 2 + 6Qβ − 3Q2 )) +−6α2 β+3α2 Q+2β 3 −Qβ 22(αβ1 −α1 β)9α(α−2Q)α(α−2Q)2+ 3(−6α2 β+3α8+3Q=2 Q+2β 3 −Qβ 2 )422221 Q +15Qαβ1 +21Qα1 β= 6α1 α −12β1 βα−6β α1 −18α=23= w + 2w1 − w2 + 2 αβ1 Q − 6α1 β1 Q − 6ββ1 α1 + 9α1 β12 + 29 α1 βQ++3αα12 − 3α13 − 3αβ12 == w − w1 − w2 + (3(α12 − β12 )α − 6α1 β1 β) + 23 Q(αβ1 + 8α1 β1 + 3α1 β − 6α1 Q).=(2.152)49Таким образом, если учесть также (2.71) и (2.73), тоhVα̂ |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i = 3 αβ21 Q − 2α1 β1 Q − 2ββ1 α1 + 3α1 β12 ++ 23 α1 βQ + αα12 − α13 − αβ12 hVα̂ |V1 (1) V2 (0)i ,hVα̂ |V1 (1) (W−1 V2 )(0)i = 3 [((α12 − β12 )α − 2α1 β1 β)++ Q2 (αβ1 + 8α1 β1 + 3α1 β − 6α1 Q) hVα̂ |V1 (1) V2 (0)i .(2.153)Также можно аналогичным образом рассмотреть и тройные вершины для диаграмм Юнга размера 2.
В этом случае матрица Шаповалова имеет более сложнуюформу (см. таблицу 2.2). Тем не менее, используя формулы для структурных констант из раздела 2.9.2, возможно повторить проделанные выше вычисления и в этомслучае.2.9.3Примеры тройных вершинВ данном разделе приведен ряд вычисленных с помощью описанных в данной главе методов тройных вершин, необходимых для рассмотрения первых двух уровнейАГТ-соотношения в случае алгебры W (3) . Для начала приведем основные соотношения, указанные в предыдущих разделах, которые используются при вычислениитройных вершин.Тройные вершины удовлетворяют рекурсивным соотношениям.(2.51)hL−n Vα̌ | V1 (1)V2 (0)i=h(L−n Vα̌ )(0) V3 (1)V4 (∞)i(2.56)=∆α̌ + n∆1 − ∆2 hVα̌ | V1 (1)V2 (0)i, n > 0,(2.154)∆α̌ + n∆3 − ∆4 hVα̌ (0) V3 (1)V4 (∞)i, n > 0, (2.155)где поля V1 , V2 , V3 и V4 — примарные.
Также полезны при вычислениях и следующиеформулы:hVα̌ | (L−1 V1 )(1) V2 (0)i∆α̌ − ∆1 − ∆2 hVα̌ | V1 (1)V2 (0)i(2.156)− ∆α̌ + ∆3 − ∆4 hVα̌ (0) V3 (1) V4 (∞)i.(2.157)(2.50)=иhVα̌ (0) (L−1 V3 )(1) V4 (∞)i(2.55)=Последние два соотношения выполняются и для непримарных полей V1 и V3 .Аналогичные соотношения можно привести и для алгебры W (3) :hW−n Vα̌ |V1 (1) V2 (0)i(2.71)=hW0 Vα̌|V1 (1) V2 (0)i +nhVα̌ |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i++n(n+3)w1250− w2 hVα̌ |V1 (1) V2 (0)i, n > 0,(2.158)(2.78)h(W−n Vα̌ )(0) V3 (1) V4 (∞)i = h(W0 Vα̌ )(0) V3 (1) V4 (∞)i +w3 + w4 hVα̌ (0) V3 (1) V4 (∞)i ++ − n(n−3)2(2.159)+nhVα̌ (0) (W−1 V3 )(1) V4 (∞)i, n > 0для примарных полей V1 , V2 , V3 и V4 .
Также, для непримарных полейhW−1 Vα̌ |V1 (1) V2 (0)i(2.75)hW0 Vα̌ |V1 (1) V2 (0)i + 2hVα̌ |(W0 V1 )(1) V2 (0)i −=− hVα̌ |V1 (1) (W0 V2 )(0)i + hVα̌ |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i +(2.160)+ hVα̌ |(W1 V1 )(1) V2 (0)i + hVα̌ |V1 (1) (W1 V2 )(0)iиh(W−1 Vα̌ )(0) V3 (1) V4 (0)i(2.82)=hW0 Vα̌ (0) V3 (1) V4 (0)i ++hVα̌ (0) (W0 V3 )(1) V4 (0)i + hVα̌ (0) V3 (1) (W0 V4 )(0)i +(2.161)+hVα̌ (0) (W−1 V3 )(1) V4 (0)i − hVα̌ (0) V3 (1) (W1 V4 )(0)i.Для непримарных полей V1 и V3 можно указать соотношения, аналогичные (2.156)и (2.157),hVα̌ |(W−2 V1 )(1) V2 (0)i = ŵα̌ − w1 − w2 hVα̌ |V1 (1) V2 (0)i −(2.162)−2hVα̌ |(W−1 V1 )(1) V2 (0)iиhVα̌ (0) (W−2 V3 )(1)V4 (∞)i = − ŵα̌ + w3 + w4 hVα̌ (0) V3 (1)V4 (∞)i −(2.163)−2hVα̌ (0) (W−1 V3 )(1)V4 (∞)i.Тройные вершины Γ̄Напрямую из (2.154) и (2.158) для трех примарных полей Vα , V1 и V2 можно получить(2.154)hL−1 Vα | V1 (1)V2 (0)i =∆α + ∆1 − ∆2 hVα | V1 (1)V2 (0)i,(2.164)hW−1 Vα |V1 (1) V2 (0)ihL−2 Vα | V1 (1)V2 (0)ihW−2 Vα̌ |V1 (1) V2 (0)i(2.158)=(2.154)=(2.158)=(wα + 2w1 − w2 ) hVα |V1 (1) V2 (0)i++hVα̌ |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i,∆α + 2∆1 − ∆2 hVα | V1 (1)V2 (0)i,(wα + 5w1 − w2 ) hVα̌ |V1 (1) V2 (0)i++2hVα̌ |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i.Если применить (2.154) два раза, то можно получить(2.154)hL2−1 Vα | V1 (1)V2 (0)i =(∆α + 1) + ∆1 − ∆2 hL−1 Vα | V1 (1)V2 (0)i =(2.154)=∆α + ∆1 − ∆2 + 1 ∆α + ∆1 − ∆2 hVα | V1 (1)V2 (0)i.51(2.165)(2.166)(2.167)(2.168)Если применить (2.154) и (2.165), то можно получить(2.154)hL−1 W−1 Vα |V1 (1)V2 (0)i =(∆α + 1) + ∆1 − ∆2 hW−1 Vα |V1 (1)V2 (0)i =(2.165)=∆α + ∆1 − ∆2 + 1 (wα + 2w1 − w2 ) hVα |V1 (1) V2 (0)i++hVα̌ |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i .(2.169)При выводе последнего соотношения также используется выражение для конформной размерности ∆(W−1 Vα ) = ∆α + 1.
Подчеркнуты в правой части приведенныхвыражений слагаемые, отличные от hVα |V1 (1) V2 (0)i.Для трех примарных полей Vα , V1 , V2 и для Vα̌ = W−1 Vα из (2.160) напрямуюследует:(2.160)2Vα |V1 (1) V2 (0)i =hW−1= hW0 W−1 Vα |V1 (1) V2 (0)i + 2hW−1 Vα |(W0 V1 )(1) V2 (0)i −− hW−1 Vα |V1 (1) (W0 V2 )(0)i + hW−1 Vα |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i ++ hW−1 Vα |(W1 V1 )(1) V2 (0)i + hW−1 Vα |V1 (1) (W1 V2 )(0)i =(2.170)= hW0 W−1 Vα |V1 (1) V2 (0)i + (2w1 − w2 )hW−1 Vα |V1 (1) V2 (0)i ++ hW−1 Vα |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i.Первое слагаемое в правой части можно упростить с помощью (2.130), а второе— с помощью (2.165).
Для упрощения последнего слагаемого нужно использовать(2.160), только с непримарным полем V1 → W−1 V1 и примарным Vα̌ = Vα :hW−1 Vα |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i(2.160)== hW0 Vα |W−1 V1 (1) V2 (0)i + 2hVα |(W0 W−1 V1 )(1) V2 (0)i −2V1 )(1) V2 (0)i +− hVα |W−1 V1 (1) (W0 V2 )(0)i + hVα |(W−1(2.171)+ hVα |(W1 W−1 V1 )(1) V2 (0)i + hVα |W−1 V1 (1) (W1 V2 )(0)i == (wα − w2 )hVα |W−1 V1 (1) V2 (0)i + 2hVα |(W0 W−1 V1 )(1) V2 (0)i +2V1 )(1) V2 (0)i + hVα |(W1 W−1 V1 )(1) V2 (0)i.+ hVα |(W−1Если в (2.170) подставить (2.171) и (2.130), то2hW−1Vα |V1 (1) V2 (0)i =9DαhL−1 Vα |V1 (1)2V2 (0)i ++(wα + 2w1 − w2 )hW−1 Vα |V1 (1) V2 (0)i ++(wα + 2w1 − w2 )hVα |W−1 V1 (1) V2 (0)i + 9D1 hVα |(L−1 V1 )(1) V2 (0)i +2+ hVα |(W−1V1 )(1) V2 (0)i +529D1 ∆1hVα |V1 (1)2V2 (0)i.(2.172)Если также подставить (2.165), (2.164) и (2.156), то можно получить2Vα |V1 (1) V2 (0)ihW−1 == (wα + 2w1 − w2 ) (wα + 2w1 − w2 )hVα |V1 (1) V2 (0)i++2hVα |(W−1 V1 )(1) V2 (0)i +9Dα+ 2 ∆α + ∆1 − ∆2 hVα |V1 (1)V2 (0)i++9D1 ∆α − ∆1 − ∆2 hVα |V1 (1)V2 (0)i+(2.173)2V1 )(1) V2 (0)i.+ 9D21 ∆1 hVα |V1 (1) V2 (0)i + hVα |(W−1Вершины ΓИз (2.155) и (2.159) для трех примарных полей Vα , V3 и W4(2.155)h(L−1 Vα )(0) V3 (1)V4 (∞)i =∆α + ∆3 − ∆4 hVα (0) V3 (1)V4 (∞)i,h(W−1 Vα )(0) V3 (1) V4 (∞)ih(L−2 Vα )(0) V3 (1)V4 (∞)ih(W−2 Vα )(0) V3 (1) V4 (∞)i(2.159)=(2.155)=(2.159)=(wα + w3 + w4 ) hVα (0) V3 (1) V4 (∞)i ++hVα (0) (W−1 V3 )(1) V4 (∞)i,∆α + 2∆3 − ∆4 hVα (0) V3 (1)V4 (∞)i,(wα + w3 + w4 ) hVα (0) V3 (1) V4 (∞)i +(2.174)(2.175)(2.176)(2.177)+2hVα (0) (W−1 V3 )(1) V4 (∞)i.В результате двух применений (2.155):(2.155)h(L2−1 Vα̌ )(0)V3 (1)V4 (∞)i == (∆α + 1) + ∆3 − ∆4 hL−1 Vα (0)V3 (1)V4 (∞)i =(2.155)=∆α + ∆3 − ∆4 + 1 ∆α + ∆3 − ∆4 hVα (0)V3 (1)V4 (∞)i.(2.178)В результате применения (2.155) и (2.175):(2.155)h(L−1 W−1 Vα )(0) V3 (1)V4 (∞)i =(2.175)= (∆α + 1) + ∆3 − ∆4 hW−1 Vα (0) V3 (1)V4 (∞)i == ∆α + ∆3 − ∆4 + 1 (wα + w3 + w4 ) hVα (0) V3 (1) V4 (∞)i ++hVα (0) (W−1 V3 )(1) V4 (∞)i .(2.179)В последнем соотношении также использовалось ∆(W−1 Vα ) = ∆α + 1.
Подчеркнутыв правой части слагаемые, отличные от hVα (0) V3 (1) V4 (0)i.53Для трех примарных Vα , V3 и V4 и для Vα̌ = W−1 Vα из (2.161) следует:2h(W−1Vα )(0) V3 (1) V4 (0)i(2.161)== h(W0 W−1 Vα )(0) V3 (1) V4 (0)i + h(W−1 Vα )(0) (W0 V3 )(1) V4 (0)i ++h(W−1 Vα )(0) V3 (1) (W0 V4 )(0)i + h(W−1 Vα )(0) (W−1 V3 )(1) V4 (0)i −− h(W−1 Vα )(0) V3 (1) (W1 V4 )(0)i =(2.180)= h(W0 W−1 Vα )(0) V3 (1) V4 (0)i + (w3 + w4 )h(W−1 Vα )(0) V3 (1) V4 (0)i ++ h(W−1 Vα )(0) (W−1 V3 )(1) V4 (0)i.Первое слагаемое в правой части можно упростить с помощью (2.130), второе — с помощью (2.175). Для упрощения последнего слагаемого нужно использовать (2.161),но для непримарного V1 → W−1 V1 и примарного Vα̌ = Vα :h(W−1 Vα )(0) (W−1 V3 )(1) V4 (0)i(2.161)== hW0 Vα (0) W−1 V3 (1) V4 (0)i + hVα (0) (W0 W−1 V3 )(1) V4 (0)i +2+hVα (0) W−1 V3 (1) (W0 V4 )(0)i + hVα (0) (W−1V3 )(1) V4 (0)i −− hVα (0) V3 (1) (W1 V4 )(0)i =(2.181)= (wα + w4 )hW0 Vα (0) W−1 V3 (1) V4 (0)i + hVα (0) (W0 W−1 V3 )(1) V4 (0)i +2V3 )(1) V4 (0)i.+hVα (0) (W−1Отметим, что в этом случае справа на одно слагаемое меньше, чем в (2.171).Если в (2.180) подставить (2.181) и (2.130), то2h(W−1Vα )(0) V3 (1) V4 (0)i =9DαhL−1 Vα (0)2V3 (1) V4 (0)i ++(wα + w3 + w4 )h(W−1 Vα )(0) V3 (1) V4 (0)i++(wα + w3 + w4 )hVα (0) W−1 V3 (1) V4 (0)i+(2.182)2V3 )(1) V4 (0)i.+9D2 3 hVα (0) (L−1 V3 )(1) V4 (0)i + hVα (0) (W−1Если также подставить (2.175), (2.174) и (2.157), то в итоге получается:2h(W−1Vα )(0) V3 (1)V4 (0)i == (wα + w3 + w4 ) (wα + w3 + w4 ) hVα (0) V3 (1) V4 (∞)i ++2hVα (0) (W−1 V3 )(1) V4 (∞)i +9Dα+ 2 ∆α + ∆3 − ∆4 hVα (0) V3 (1)V4 (∞)i−2− 9D2 3 ∆α̌ + ∆3 − ∆4 hVα̌ )(0) V3 (1) V4 (∞)i + hVα (0) (W−1V3 )(1) V4 (0)i.54(2.183)Глава 3АГТ-соотношениеВ данной главе рассмотрено АГТ-соотношение для двух конфигураций полей конформной теории — n полей на двумерной сфере и одного поля на двумерном торе.Также описаны способы вычисления функции Некрасова для различных комбинаций массивных мультиплетов и рассмотрена диаграммная техника для функцииНекрасова.3.1Функция НекрасоваZf und , µ2Zf und , µ1Zbif und , m1Zbif und , mn−1Zf und , µ3ZvectorZvector~a1 , Y~1~an , Y~nZf und , µ4Рис.
3.1: Эта диаграмма описывает методику раcчета функции НекрасоваДля гипотезы АГТ необходимы выражения как для конформных блоков, рассмотренные в главе 2, так и выражения для функции Некрасова — инстантонной части статистической суммы суперсимметричной теории. Рассмотрим подробнее функцию Некрасова.Статистическая сумма по инстантонным состояниям в теории Зайберга-Виттенаописывается расходящимся интегралом.
Для расчета этого интеграла в [8, 9, 10] бы55ла предложена двухпараметрическая деформация суперсимметричной теории. Одиниз способов описать данную деформацию — это рассмотреть теорию на так называемом Ω-фоне. Для этого рассматривают N = 1 суперсимметричную теорию вшестимерном пространстве с метрикойds2 = Adzdz̄ + gIJ (dxI + ΩIJ xJ dz + Ω̄II xi dz̄)(dxJ + ΩJJ xJ dz + Ω̄IJ dxJ dz̄),(3.1)гдеΩIJ0 −1= 0010000000−20 .2 0(3.2)После компактификации по координатам z и z̄ получается деформированная четырехмерная суперсимметричная N = 2 теория.Статистическая сумма по инстантонным состояниям, полученная введением двухдополнительных параметров в суперсимметричную теорию Янга-Миллса, даетсяфункцией Некрасова [8].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
