Автореферат (1104791), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Один из самых хорошо изученных объектов в теории интегрируемых систем это — τ -функции иерархии КП. В случае трех переменных ониявляются решениями классического уравнения КП. Это уравнение допускает такжеобобщение на случай большего числа переменных, порождая, тем самым, иерархиюуравнений. Соответствующие τ -функции являются решениями билинейного уравнения ХиротыIPdz e0−kk (tk −tk )z zkzk0τ tk −= 0.τ tk +kk(17)В настоящее время решения данного уравнения широко изучаются, в том числе вконтексте связей с различными теориями.Как τ -функции, так и обобщенные полиномы ХОМФЛИ являются функциями отвременных переменных. В диссертационной работе рассмотрена связь между этимидвумя объектами.
При этом используются методы построения полиномов ХОМФЛИкак разложения по характерам. Так, было получено, что производящая функцияобобщенных полиномов ХОМФЛИ действительно является τ -функцией КП для торических узлов. Проверено также, что это такая связь отсутствует для неторическихузлов.1.2Цель работыЦель работы состоит в изучении свойств корреляторов трехмерной теории ЧернаСаймонса и двумерной конформной теории, а также в исследовании связи последнихсо статистической суммой четырехмерной суперсимметричной теории.1.3Научная новизна и практическая ценностьПолученные в диссертационной работе результаты касаются двух теорий — трехмерной теории Черна-Саймонса и двумерной конформной теории поля, а также связипоследней с суперсимметричными теориями.
Изученные вопросы, касающиеся двумерной конформной теории, позволяют решить ряд задач как в конформной, так и всуперсимметричной теориях. Соотношение между этими двумя теориями позволяет,с одной стороны, значительно упростить вычисление корреляторов конформной теории, так как вычисление статсуммы суперсимметричной теории дается значительноболее простым алгоритмом, нежели равный ей конформный блок. С другой стороны,11оно позволяет рассматривать ряд предельных случаев, которые устроены довольносложно в суперсимметричном случае, но соответствующие выражения могут бытьлегко построены с использованием конформной теории.Построенное интегральное представление конформного блока может быть легкообобщено на случай произвольных алгебр, что позволяет рассматривать различныеобобщения как конформной теории, так и соответствующей суперсимметричной теории.
Сходство такого представления с интегралами матричных моделей предполагает наличие связей с другими матричными моделями.Результаты, полученные в рамках изучения теории Черна-Саймонса, относятсяк большому пласту задач, связанному с изучением вильсоновских средних и полиномов узлов. На данный момент общие ответы для таких вильсоновских среднихизвестны только для одного класса контуров — торических узлов.
В данной работебыла рассмотрена связь таких известных ответов для торических узлов и интегрируемых систем на примере решений уравнения КП. Также показано, что данноесвойство не выполняется для неторических узлов. Обобщение полученного соотношения на неторические узлы может привести к различным обобщениям уравненияКП.Были получены первые результаты для вильсоновских средних в высших представлениях для простейшего неторического узла — узла-восьмерки. Обобщение примененных в этом выводе методов может привести к подобным общим ответам и длядругих неторических узлов.1.4Апробация диссертацииОсновные результаты, полученные в диссертации, были доложены на научных семинарах в МГУ им. М.В.Ломоносова, ИТЭФ и ИЯИ РАН, международных конференциях “ 3rd Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics, Integrability intopological string and field theory” (SISSA, Trieste, Italy, 2010), “Synthesis of integrabilitiesin the context of duality between the string theory and gauge theories” (Москва, 2010,2011, 2012, 2013), “Workshop on Aspects of Non-Associative and Non-CommutativeGeometries in String Theory” (Istanbul, 2012), “2nd International Workshop on Nonlinearand Modern Mathematical Physics” (Tampa, USA, 2013), “50th International School forSubnuclear Physics” (Erice, 2013), “2nd Workshop on Aspects of Non-Associative andNon-Commutative Geometries in String Theory” (Istanbul, 2013), “Квантовая топология” (Банное, Магнитогорск, 2014).121.5Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, содержит 119 страниц, в том числе 13 рисунков и список литературы из 132 наименований.2Содержание работыВо введении кратко рассмотрены основные свойства и определения рассмотренныхтеорий — суперсимметричной теории, конформной теории поля и трехмерной теорииЧерна-Саймонса.
Также описаны различные связи между этими теориями.В главе 2 рассмотрена двумерная конформная теория поля. Эта теория симметрична относительно конформных преобразований, сохраняющих углы, но не сохраняющих расстояния. Ключевое соотношение, которое используется при вычислениикорреляторов в конформной теории, это операторное разложение:Vi (zi , z¯i )Vj (zj , z̄j ) =XC̃ijk (zi , z̄i ; zj , z̄j )Vk (zj , z̄j ).(18)kСоотношение такого типа связывает между собой корреляторы различного числаполей.Суммирование в операторном разложении (18) производится по всем возможнымполям.
Для классификации полей удобно использовать алгебру Вирасоро (4).В разделе 2.1 рассмотрена конкретная конформная модель — теория свободныхскалярных полей. Эту модель очень удобно использовать для вычисления корреляторов. Коррелятор двух полей в теории свободных полей равен:< φ(z1 , z̄1 )φ(z2 , z̄2 ) > = log(z12 ) + log(z̄12 ).(19)Таким образом, коррелятор произвольного числа полей может быть легко рассчитан с помощью соотношения (19) и теоремы Вика. В отличии от произвольной конформной теории, в теории свободных скалярных полей есть закон сохранения —корреляторы в такой теории не равны нулю только если размерности полей связаныследующим соотношением:Xαi = 0.(20)iРаздел 2.2 посвящен обобщению свободной теории с центральным зарядом, неравным единице c 6= 1. При этом соответствующим образом изменяются и корреляторы теории.
В том числе изменяется и закон сохранения:Xαi = 2Q,i13(21)где Q связано с центральным зарядом теории c = 1 − 12Q2 .В разделе 2.3 рассмотрены основные свойства простейших корреляторов в теории свободных полей.Раздел 2.4 посвящен процедуре вычисления четырехточечного конформногоблока. Зависимость двухточечных и трехточечных корреляторов от координат однозначно определяется конформной симметрией. Случай четырехточечного коррелятора более сложен. Основную роль при вычислении такого четырехточечного коррелятора играет операторное разложение (18). С помощью операторного разложениячетырехточеный коррелятор можно выразить через двух- и трехточечные корреляторы.
При этом в коррелятор необходимо добавить дополнительное поле, по которому необходимо произвести суммирование. Из коррелятора при этом можно выделитьголоморфную (зависящую только от z) и антиголоморфную (зависящую только отz̄) компоненты, см. (6).Голоморфный конформный блок B можно выразить через двух- и трехточечныеобъекты — матрицы Шаповалова Q и тройные вершины γ:Xx|Yα | Q−1B∆ (x) =∆α (Yα , Yβ )γ12α (0, 0, Yα )γβ34 (Yβ , 0, 0).(22)Yα ,YβРаздел 2.5 посвящен матрице Шаповалова. Матрица Шаповалова определяется,как значение скалярного произведения скалярных полей, эрмитового относительноалгебры ВирасороDEE DL−n Vα̂ |Vβ̂ = Vα̂ |Ln Vβ̂ .(23)Используя данную формулу и коммутационные соотношения алгебры Вирасоро, возможно получить выражение для любого элемента матрицы Шаповалова.Раздел 2.6 посвящен вычислению тройных вершин.
Тройные вершиные описывают голоморфную составляющую коррелятора трех полейVα̃ (z1 , z̄1 )Vβ̃ (z2 , z̄2 )Vγ̃ (z3 , z̄3 ) CF T ==Cαβγ γαβγ (Yα , Yβ , Yγ )γαβγ (Ȳα , Ȳβ , Ȳγ )¯ +∆¯ −∆¯¯ +∆¯ −∆¯¯ +∆¯ −∆¯∆ +∆β −∆γ ∆∆ +∆ −∆ ∆∆ +∆ −∆ ∆z̄12α β γ̃ z13α γ β z̄12α γ̃ β z23β γ α z̄12β γ̃ αz12α.(24)Также в данном разделе получен ряд соотношений для таких тройных вершин, которые позволяют их рассчитать. Так, получена рекурсивная формула для тройныхвершин. В случае примарных полей V3 и V4 эта формула устроена какh(L−n Vα̂ )(0) V3 (1)V4 (∞)i = (n − 1)∆3 hVα̂ (0) V3 (1)V4 (∞)i −− hVα̂ (0) (L−1 V3 )(1) V4 (∞)i + hVα̂ (0) V3 (1) L−n V4 (∞)i .(25)В разделе 2.7 описана диаграммная техника для конформных блоков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
