Автореферат (1104791), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Потомками называются поля, которые получаютсяв результате действия отрицательных операторов Вирасоро L−n , n > 0 на примарные поля. Таким образом, поля конформной теории параметризуются размерностьюпримарного поля и диаграммой Юнга Y :Vα,Y = L−Y Vα = L−kN ..L−k1 Vα ; Y = {k1 ≥ k2 ≥ .. ≥ kN }.(5).В диссертационной работе изучаются не сами поля, а их корреляторы. У корреляторов также можно выделить голоморфную и антиголоморфную компоненты. Дляэтого в коррелятор вводят дополнительные поля, по которым позже производится суммирование. Например, коррелятор четырех полей можно описать следующейформулой: P ∆,∆¯ ∆,∆¯V∆1 ,∆¯ 1 (z1 , z̄1 )V∆2 ,∆¯ 2 (z2 , z̄2 )V∆3 ,∆¯ 3 (z3 , z̄3 )V∆4 ,∆¯ 4 (z4 , z̄4 ) =C12 C34 ׯ∆,∆(6)¯ 1, ∆¯ 2, ∆¯ 3, ∆¯ 4 , c, z̄1 , z̄2 , z̄3 , z̄4 ).×B∆ (∆1 , ∆2 , ∆3 , ∆4 , c, z1 , z2 , z3 , z4 )B̄∆¯ (∆¯¯∆,∆∆,∆C12и C34— это структурные константы, описывающие зависимость коррелятора¯ i — это голоморфная и антиголоморфнаяот конкретной конформной теории.
∆i и ∆части размерности поля Vi , а суммирование производится по всевозможным промежуточным полям, которые дополнительно вводятся в коррелятор. Функции B∆и B̄∆¯ называются соответственно голоморфным и антиголоморфным конформными блоками. Разложение такого вида может быть построено и для корреляторовпроизвольного числа полей.
В данной работе рассматриваются свойства голоморфных конформных блоков B. Все вычисления, однако, могут быть повторены и дляантиголоморфного случая.В диссертационной работе используются два метода вычисления конформныхблоков. Первый напрямую основан на свойствах конформной симметрии. При этомвычисления довольно громоздки, а их сложность значительно увеличивается прирассмотрении высших порядков разложения по координатам полей в конформномблоке.Второй метод основан на использовании конкретной конформной модели — теории свободных скалярных полей, одной из простейших моделей конформной теории.С помощью данной модели можно легко получить все интересующие конформныеблоки. В качестве полей конформной теории при этом выступают экспоненты отскалярного поля:Vα (z) = eαφ(z) ,7(7)конформные размерности которых связаны с параметрами α:1∆α = α(α − Q).2(8)Однако, в данной модели присутствует закон сохранения — уравнение, жестко связыPвающее друг с другом размерности полей, входящих в конформный блок — α = 0.Тем самым эта модель не позволяет рассматривать конформный блок для произвольных размерностей полей.Один из результатов диссертационной работы связан с рассмотрением способавычисления корреляторов полей с произвольной размерностью в модели свободныхполей.
Идея такого вычисления состоит в добавлении в корреляторы экранирующихоператоров Доценко-Фатеева [12]. Экранирующими называются поля, которые задаются параметром b, связанными с Q — Q = b − 1/b. Специфика таких полей состоитв том, что конформная размерность интегралов от них равна нулю. По этой причинедобавление в выражения для корреляторов элементов видаZebφ(z)(9)не влияет на их конформные свойства. Таким образом, при добавлении экранирующих полей получается выражение для конформного блока, включающее в себяинтегралы Сельберга:IY 0 =N ZYi=10(qdzizY0NNYY2(zi − zj )2bzi2bα1 (q − zi )2bα2i<j).(10)i=1Матричные модели описываются интегралами схожего вида, включающими в себяQ2b2[13, 14]. Поэтому выражения для корреляторов конформмножитель Ni<j (zi − zj )ной теории, включающие в себя интегралы Сельберга, называют матричномодельным представлением конформной теории.
Однако, связь полученных ответов в такой“деформированной” свободной теории с ответами, полученными из конформной симметрии, не очевидна и требует проверки. В данной работе показано, что в первыхтрех порядках разложения по двойным отношениям координат полей “деформированные” константы связи и конформные блоки действительно равны рассчитаннымс помощью конформной симметрии.АГТ-соотношение связывает между собой конформный блок и функцию Некрасова для определенного состава полей конформной теории и состава материи суперсимметричной теории. Простейший и наиболее изученный случай, в котором рассматривается АГТ-соотношение — это связь между SU (2) суперсимметричной теорией Янга-Миллса и конформной теорией с полями, которые строятся с помощью8операторов Вирасоро (5). Но это соотношение допускает и обобщение на SU (N ) суперсимметричную теорию.
При этом в конформной теории рассматриваются поля,которые строятся с помощью более сложной W (N ) алгебры. В частности, в работах[15] было рассмотрено такое соотношение для случая N = 3.Исследования в этом направлении продолжены в рамках данного диссертационного исследования. Были получены некоторые общие формулы, необходимые длявычислений в случае N = 3.
Эти формулы позволяют рассмотреть конформныеблоки с алгеброй W (3) . Полученные результаты были проверены с помощью моделисвободных полей.Кроме того, в данной работе рассмотрено АГТ-соотношение для двух конфигураций полей — конформного блока для нескольких внешних полей на двумернойсфере и конформного блока для одного поля на двумерном торе.
Как конформныйблок, так и функция Некрасова представляются рядами по двойным отношениямкоординат в первой теории и по непертурбативному параметру во второй. В диссертационной работе рассмотрены низшие порядки этих разложений и проверено, чтогипотеза АГТ действительно выполняется.Вторая часть работы посвящена трехмерной теории Черна-Саймонса. Исходнаягипотеза АГТ, предложенная в [1], описывает связь между двумерной и четырехмерной теориями.
Но также существуют и обобщения на теории других размерностей.Так, рассматриваются обобщения на случай двух трехмерных теорий и трехмернойи пятимерной теорий [16]. В обоих случаях в роли (одной из) трехмерных теорийвыступает теория Черна-Саймонса с действиемk2A ∧ dA + A ∧ A ∧ A .LCS =4π3(11)Эта теория примечательна тем, что она является топологической теорией, то есть еекорреляторы не зависят от координат в трехмерном пространстве. По этой причинеее изучение актуально в контексте приложений к более сложным топологическимтеориям, в том числе к топологической теории струн [17].Исходя из топологической инвариантности теории, интересными для изученияпредставляются вильсоновские средние.1hWK i =ZZI[DA]T r P exp MiRhAdx e ML[A],(12)Kгде Z — статистическая сумма теории:RZiL[A]hMZ = [DA]e.M9(13)Вильсоновские средние (средние значения петель Вильсона) вычисляются для различных контуров K.
В трехмерной топологической теории существуют нетривиальные контуры, которые нельзя свести друг к другу с помощью топологических преобразований. Такие контуры соответствуют различным узлам. Тем самым открывается большой пласт задач об изучении свойств таких вильсоновских средних дляразличных контуров (узлов).Согласно работе Э.Виттена [18] средние значения петель Вильсона в теории ЧернаСаймонса с калибровочной группой SU (2) равны полиномам Джонса [19], построенным в математической теории узлов. Если обобщить данное утверждение на группу SU (N ), то вильсоновские средние эквивалентны полиномам ХОМФЛИ [21, 22].Полиномы ХОМФЛИ являются полиномами по двум переменным q и A, которыесвязаны с константой связи теории и группой SU (N ):q = expk+N4πA = qN .(14)Вильсоновским средние можно вычислить для полей, преобразующихся по различным представлениям калибровочной группы. Такие вильсоновские средние соответствуют полиномам ХОМФЛИ в различных представлениях (цветным полиномамХОМФЛИ).Соотношение между теорией узлов и теорией Черна-Саймонса интересно по тойпричине, что оно позволяет изучать структуру вильсоновских средних для различных контуров (узлов).
Отметим также, что теория Черна-Саймонса связана ис другими физическими теориями, например, конформной теорией Весса-ЗуминоВиттена [18].Из топологической инвариантности полиномов ХОМФЛИ, следует возможноеописание с помощью R-матриц, решений уравнения Янга-БакстераR1 R2 R1 = R2 R1 R2 .(15)Согласно [21, 22] полиномы ХОМФЛИ следует представлять в форме разложенияпо характерам группы SU (N ):HTK =XKSQ∗ (A, q)hQT .(16)QKгде SQ∗ (A, q) — это характеры, а hQ— коэффициенты, определяемые для каждогоTузла с помощью произведения R-матриц. Характеры SQ∗ (A, q) при этом берутся вспециальной точке, называемой топологическим локусом.
Стандартная запись дляхарактеров описывает их, как функции временны́х переменных tk (следы степеней10группового элемента в фундаментальном представлении). Соответственно, разложение (16) можно обобщить путем замены топологического локуса на произвольные tk ,построив, таким образом, обобщенные полиномы ХОМФЛИ.В данной работе была изучена связь между теорией Черна-Саймонса и интегрируемыми системами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
