Автореферат (1104791), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Диаграммная техника позволяет построить конформный блок для любой конфигурацииполей конформной теории с помощью матрицы Шаповалова и тройных вершин.14В разделе 2.8 приведен список рассчитанных тройных вершин, которые далееиспользуются для рассмотрения АГТ-соотношения в главе 3.Раздел 2.9 посвящен конформной теории с алгеброй W (3) . Алгебра W (3) — этообобщение алгебры Вирасоро. Она позволяет рассчитать конформные блоки, связанные АГТ-соотношением с SU (3) суперсимметричной теорией.
В данной главеполучены рекурсивные формулы на тройные вершины с операторами алгебры W (3) .Аналогом формулы (25) при этом являетсяh(W−n Vα̂ )(0) V3 (1)V4 (∞)i = − (n−2)(n−1)w3 hVα̂ (0) V3 (1)V4 (∞)i +2+(n − 2) hVα̂ (0) (W−1 V3 )(1) V4 (∞)i − hVα̂ (0) (W−2 V3 )(1) V4 (∞)i −(26)− hVα̂ (0) V3 (1) (Wn V4 )(∞)i .В разделе 2.9.2 выполнена проверка полученных соотношений с помощью теориисвободных полей.Глава 3 посвящена гипотезе АГТ. Согласно данной гипотезе конформный блокравен инстантонному вкладу в статистическую сумму суперсимметричной теории.Такой инстантонный вклад описывается функцией Некрасова. Свойства и процедуравычисления функции Некрасова описаны в разделе 3.1.Раздел 3.2 посвящен АГТ-соотношению для корреляторов полей конформнойтеории на двумерной сфере.
В частности, рассмотрены четырехточечный (раздел3.2.2), пятиточечный (раздел 3.2.3) и шеститочечный (раздел 3.2.4) конформные блоки. Для этих случаев были получены выражения для первых трех порядковразложения по теории возмущения для конформных блоков и функции Некрасова. Это позволило проверить, что гипотеза АГТ в данных случаях действительноверна. Рассмотренные случаи также позволяют сделать более общее утверждение овыполнении гипотезы АГТ в первых трех порядках разложении и для произвольногочисла полей (раздел 3.2.5).
Параметры суперсимметричной и конформной теорийсвязаны следующим образом:µ1 = − 2 + α0 + β0 ,µ3 =νij =3− αn−322αi (−αj ),1 2µ2 =− βn−2 , µ4 =22+ α 0 − β0 ,− αn−3 + βn−2 ,mi = αi ,(27)где µi и mi — это массы мультиплетов суперсимметричной теории, а ∆i — конформные размерности полей.Раздел 3.3 посвящен АГТ-соотношению для коррелятора одного поля конформной теории на двумерном торе. Так, получены выражения для первых двух порядковразложения по теории возмущений для конформного блока и функции Некрасова.Это позволило проверить, что гипотеза АГТ в данном случае действительно верна.15Параметры теорий при этом связаны следующим образом:∆ext =m( − m)2m( − m), ν =1−.1 21 2(28)В разделе 3.3.1 рассмотрен предел конформного блока для одного поля надвумерном торе.
В суперсимметричной теории часто рассматривают асимптотически свободный предел. Такой предел соответствует большой массе мультиплетовсуперсимметричной теории при сохранении постоянным параметра Λ = xm4 , гдеx — параметр разложения по теории возмущений. Согласно (28) в таком пределе∆2 ∼ m4 ∼ Λ/x. В разделе 3.3.1 доказано, что в таком пределе выражение дляконформного блока имеет формуlimm−→∞qm4 =Λ4 =constB(x) =∞XnnΛ4n Q−1∆ ([1 ], [1 ]) .(29)n=0Это выражение совпадает с полученным в работах [10, 11] в аналогичном пределевыражением для четырехточечного конформного блока на сфере.Глава 4 посвящена вычислениям в теории свободных скалярных полей.
Согласно(21) в теории такого типа возможно получить только корреляторы полей, размерности которых связаны законом сохранения. С помощью конформной симметриивозможно получить также и корреляторы других типов, как было описано в главе2. Для деформации закона сохранения в коррелятор согласно [12] добавляют экранирующие поля Доценко-Фатеева (9). Представление для конформного блока, котороеполучается при добавлении таких полей, называется представлением бета-ансамбля.Корреляторы и структурные константы выражаются в таком представлении черезобобщенные интегралы Сельберга (10).Разделы 4.1, 4.2 и 4.3 посвящены вычислению структурных констант с помощью представления бета-ансамбля.
Получены выражения для структурных констант и проверено, что они совпадают с полученными в главе 2.В разделе 4.4 описан метод построения бета-ансамбля для конформных блоковразличных типов.Раздел 4.5 посвящен описанию свойств обобщенных интегралов Сельберга. Простейшие примеры интегралов Сельберга для диаграмм Юнга, состоящих из одногостолбца Y = {1n }, были получены в [23]. В данном разделе получены выражениядля некоторых диаграмм Юнга с двумя и тремя столбцами, [2], [2, 1n ] и [3]. Такжеприведены выражения для линейных комбинаций интегралов Сельберга.В главе 5 рассмотрена теория Черна-Саймонса.
Теория Черна-Саймонса — этотрехмерная топологическая теория. Наибольший интерес в этой теории представляют средние значения петель Вильсона (12). Если обобщить утверждения, сделанные16в работе Э.Виттена [18], вильсоновские средние равны полиномам узлов. При рассмотрении теории Черна-Саймонса с калибровочной группой SU (N ) вильсоновскиесредние равны полиномам ХОМФЛИ (параметры теорий связаны согласно (14)).Исходя из свойств топологических инвариантов полином ХОМФЛИ можно представить как произведение R-матриц.
Ответ для полинома ХОМФЛИ при этом даетсяразложением по характерам!HTK =XSQ∗ (A, q)TrQYRiiQ`n|T |X=SQ∗ (A, q)hTR (q),(30)Q`n|T |где TrQ — след по представлению Q, SQ∗ — характер представления Q группы SUq (N ),взятый в специальной точке, называемой топологическим локусом, а hTR — коэффициенты разложения по характерам.В разделе 5.1 описаны свойства R-матриц, необходимых для вычисления полиномов ХОМФЛИ для узлов, представимых косами с двумя, тремя и четырьмянитями.В разделе 5.2 описан полученный в работах [24] ответ для полиномов торических узлов.
Это — единственный класс узлов, для которых известен наиболее общийответ. Коэффициенты операторного разложения в этом случае даются:nQκm QC ,hQR = qR(31)где CRQ можно получить с помощью “процедуры Адамса”:X Q[m]SR (p[m] ) =CR SQ (p),pk = pmk ,(32)Qа κQ определяется представлением (диаграммой Юнга) Q = {Q1 , Q2 , ..}:κQ =X1XQi (Qi − 2i + 1) =(i − j).2 i(33)(i,j)∈QВ разделе 5.3 рассмотрена связь между теорией узлов и интегрируемыми системами.
Для этого удобно ввести обобщенные полиномы ХОМФЛИ, которые получаются с помощью замены переменных в характерах:XHTK =SQ {t}hTQ (q).(34)Q`n|T |Также удобно ввести производящую функцию обобщенных полиномов ХОМФЛИдля данного узла, описывающую ответ для произвольного представления:XXHK {t|t̄} =HTK {t}ST {t̄} =hTQ SQ {t̄}ST {t}.TT,Q17(35)Обобщенные полиномы ХОМФЛИ, таким образом, зависят от набора временныхпеременных {t}.Одна из наиболее простых интегрируемых систем — это уравнение КП. Решенияэтого уравнения, а также обобщенных уравнений КП дается τ -функциями КП. Описанию τ -функций КП посвящен раздел 5.3.1.
τ -функции КП являются решениямибилинейного уравнения Хироты (17).Если рассмотреть разложения по характерам для τ -функций τ {p |g} =PQgQ SQ {p },то оказывается, что коэффициенты такого разложения должны удовлетворять бесконечному набору уравнений Плюккера вида:g[22] g[0] − g[21] g[1] + g[2] g[11] = 0.(36)В разделе 5.3.2 доказано, что производящие функции обобщенных полиномов ХОМФЛИ торических узлов являются τ -функциями КП. Это связано с тем,что для торических узлов полиномы могут быть выражены с помощью оператораразрезания-склейкиŴ[2]1X∂∂2+ abpa+b=(a + b)pa pb,2 a,b∂pa+b∂pa ∂pbpn = tn /n(37)Производящие функции обобщенных полиномов ХОМФЛИ торических узлов приэтом даютсяnPH[m,n] {t, t̄} = q − m Ŵ (t) ekmktmk t̄k.(38)PСогласно работам [25] оператор W[2] не изменяет интегрируемых свойств, a ekmktmk t̄k— это простейшая τ -функция.
Тем самым, производящие функции обобщенных полиномов ХОМФЛИ действительно являются τ -функциями. Для простейших неторических узлов данное свойство не выполняется, так как не выполняется уравнениеПлюккера (36).Раздел 5.4 посвящен рассмотрению полинмов ХОМФЛИ в высших представлениях для простейшего неторического узла — узла-восьмерки. Получен ответ длятакого полинома в произвольном симметрическом представлении:41∗H[p](A| q) = S[p](A| q) 1 +pXk=1!k−1Y[p]q !{Aq p+i }{Aq i−1 } .[k]q ![p − k]q ! i=0(39)Цветные полиномы ХОМФЛИ обладают определенными симметриями.
Так, характеры обладают Z2 симметрией при преобразованиях1A, q, SQ∗ ←→ A, − , SQ∗ 0q18(40)где Q0 — это транспонированная диаграмма Юнга Q. Из этого следует, что из полинома для симметрических представлений можно получить и полиномы для антисимметрических представлений с помощью соответствующей замены:H[141p ] (A|q) = S[1∗ p ] (A|q) 1 +pXk=1!k−1Y[p]q !{Aq −p−j }{Aq −j+1 } .[k]q ![p − k]q ! j=0(41)В разделах 5.4.2 и 5.4.3 описаны различные проверки полученных цветныхполиномов ХОМФЛИ.Раздел 5.4.4 посвящен цветным суперполиномам узла-восьмерки — β-деформацииполиномов ХОМФЛИ. Такие полиномы для узла-восьмерки описываются следующим выражением:∗41(A|q, t)P[p]∗(A|q, t)M[p]=pXXk=01≤i1 <...<ik ≤pZi1 (A)Zi2 (Aq)Zi3 (Aq 2 ) . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
