Диссертация (1104775), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(2.1) отвечает за оптический отклик индуцированных ионизацией свободных электронов}{σ(ω)(iωTc + 1)F T [ρA] ,(2.6)P L[A] = F Tω→t2гдеµ0 e2ωTcσ(ω) =mβ(ω) ω2 Tc2 + 1– сечение обратного тормозного поглощения в модели Друде [118], e – заряд электрона, m – масса электрона, µ0 – магнитная восприимчивость вакуума, Tc – характерное время столкновения электронов. Величина ρ = ρ(z,t) выражает плотностьсвободных носителей заряда и подчиняется уравнению∂ρρσ(ω0 )ρ|A|2 − ,(2.7)= W (A) +∂tUiTeгде W(A) – скорость фотоионизации (количество носителей заряда, освобождаемых в единице объема в единицу времени), описываемая формулой Келдыша длятвердого тела [119], Ui – ширина запрещенной зоны среды, Te – характерное время релаксации плотности плазмы.
В правой части выражения (2.6) первый членописывает собственно отклик свободных электронов, второй же учитывает поглощение излучения при фотоионизации. Для плавленого кварца Ui = 9 эВ, Te = 150фс, Tc = 10 фс.Математически, уравнение (2.1) – это нелинейное интегро-дифференциальноеуравнение в частных производных. Существенные приближения, позволяющиеполучить уравнение (2.1) из точных уравнений Максвелла, таковы:– Малость волны, распространяющейся в обратном направлении. Используя это приближение, возможно свести уравнения Максвелла к уравнению для комплексной амплитуды с первой производной по координате z,и затем проводить решение в системе отсчёта, движущейся вместе с импульсом, избавляясь от необходимости одновременно рассматривать всюпротяжённость волокна.42– Распространение излучения в одной пространственной моде волновода.Строго говоря, даже у волокна, поддерживающего одну моду, существуют вытекающие моды; нелинейные члены NL[A] и PL[A] обеспечиваютмежмодовую связь.Моделирование уравнений (2.1)—(2.6) проводилось методом расщепленияпо физическим факторам [120].
На каждом вычислительном шаге по переменнойуравнения (2.1) отдельно искалось решение уравнения, содержащего только линейную часть:∂A= LA.(2.8)∂zРешение уравнения (2.8) может быть найдено точно (при условии известных собственных чисел и собственных векторов линейного оператора L) и имеет вид:A(t,z + δz) = eδzL A(t,z).(2.9)Решение (2.8) в форме (2.9) затем используется в качестве начального условия дляуравнения, содержащего только нелинейнo-оптические отклики∂A= N L[A] + P L[A].∂z(2.10)Уравнение (2.10) решается с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка на каждом шаге, и результат используется как начальное условие для уравнения (2.8).Метод расщепления по физическим факторам, как показано в [120], является методом второго порядка точности по отношению к величине вычислительного шага δz, причем величина погрешности определяется коммутатором][L, (N L[A] + P L[A]) A−1 . Таким образом, контролируя величину нелинейнооптического отклика, или изменение поля за счет уравнения (2.10), можно простои эффективно контролировать погрешность решения и адаптировать шаг δz.Данные уравнения хорошо поддаются решению на параллельных вычислительных системах.
Интегро-дифференциальные операторы в откликах (2.2), (2.4)и (2.6) превращаются в алгебраические путем применения преобразования Фурье.Таким образом, основной операцией, требующей коммуникации между вычислительными узлами, является преобразование Фурье, для которого существуютоптимизированные библиотеки как для кластерных систем на основе стандартаMPI, так и для массово-параллельных систем на основе стандарта OpenMP и графических ускорителей на основе технологии CUDA.43Количество операций, затрачиваемых на расчет нелинейной части (2.10),растет с числом точек временной сетки N как:M ∝ Nt log Nt .(2.11)Множитель log Nt – следствие применения алгоритма быстрого преобразованияФурье [121].Результатом построений, выполненных в этом разделе, является численнаямодель, позволяющая решать одномерные задачи распространения лазерного излучения в среде.
Она позволяет воспроизводить практически все явления, не требующие рассмотрения динамики поперечного профиля пучка. За счёт этого онаявляется незаменимой при анализе распространения лазерного излучения в волокне в тех случаях, когда основной задачей является рассмотрение спектральныхили временны́х преобразований импульса.2.2 Расчёт объёма эффективной области возбуждения и сборафлуоресцентного сигнала для одно- и двухфотонного возбуждения дляразличных архитектур волокна.Метод расчёта распределения поля в пространстве после выхода из волокнажелательно должен быть достаточно простым для регулярного применения. Точное численное решение задачи дифракции в трёхмерном пространстве, например,решение уравнений Максвелла или нахождение интеграла Френеля-Кирхгофа, является в данном случае избыточно сложным и слишком ресурсоёмким для оценкии интерпретации экспериментальных данных. С этой точки зрения, значительноболее разумной альтернативой такому подходу может служить разработка упрощённой и значительно менее ресурсоёмкой при численном расчёте физическоймодели, описывающей распространение излучения из волоконного зонда и позволяющей с хорошей точностью оценить эффективность сбора люминесцентногоотклика.Расчеты всех параметров волоконно-оптического зондирования, таких какчувствительность метода и геометрические размеры области эффективного сбора сигнала, могут быть проделаны с помощью методов численного моделирования и следующей модели.
Волоконный зонд с числовой апертурой N A =44()1/2n2core − n2clad[41], где ncore и nclad – показатели преломления сердцевины иоболочки волокна, соответственно, доставляет излучение накачки до флуоресцентно окрашенной ткани и собирает флуоресцентный отклик в рамках угла сбора, определяемого числовой апертурой волокна θ0 = arcsin(N A/n0 ), [41] где n0 –это показатель преломления ткани.Рассмотрим процесс однофотонной люминесценции. В этом процессе каждый физически малый объем люминафора излучает некогерентный люминесцентный отклик в 4π стерадиан с мощностью, пропорциональной интенсивности излучения накачки в этой области пространства.
Коэффициентами пропорциональности выступают сечение поглощения и характерная эффективность процесса.При этом в случае волоконного зонда распространение излучения за волоконнымзондом, а следовательно и интенсивность излучения накачки, может быть описано аналитически. Часть излученной в полную сферу люминесценции попадаетна торец волновода, захватывается в одну из поддерживаемых им волноводныхмод и распространяется в обратном направлении.
Следовательно, эта часть задачи эффективности сбора из конкретной точки пространства тоже может бытьупрощена аналитическим выражением. При этом полная мощность собранноговолокном сигнала будет определяться интегралом по всему пространству от таких физически малых объемов люминофора. Таким образом, полную мощностьлюминесцентного сигнала, собранного волоконным зондом в случае однофотонного возбуждения в предположении слабо поглощающей однородной люминесцирующей среды и отсутствии рассеяния можно оценить по следующей формуле[122]:∫∫∫∫P ∝∞φ(r,z) · I(r,z)rdrdz =∞dz0φ(r,z)rdr,(2.12)0где z и r – цилиндрические координаты, I(r,z) – интенсивность возбуждающегоизлучения.
φ(r,z) – эффективность сбора сигнала волокном, которая определяется отношением телесного угла w к полному телесному углу испускания флуоресцентных биомолекул 4π.Функция ψ(r,z) = φ(r,z)I(r,z) под интегралом в уравнении (2.12) определяет вклад физически малого объема с центром r и z внутри исследуемой областик полному флуоресцентному сигналу, собранному волоконным зондом.∫ θmaxφ = 2πsin(ξ)dξ,(2.13)045где θmax - максимальный угол падения луча на торец волокна (рис. 2.1б), при котором излучение будет захвачено в одну из волноводных мод. Проинтегрировавуравнение (2.13), получим выражение для эффективности сбора сигнала волокном φ(r,z):1φ(r,z) = [1 − cos(θmax )](2.14)2Интенсивность возбуждающего сигнала по определению равна [117]:A · A∗PI(r,z) = ∝SS(2.15)Считаем, что амплитуда возбуждающего сигнала в случае одномодового волновода, или волновода, в котором энергия преимущественно сосредоточена в одноймоде, распределена по Гауссу [122]:()A0r2A(r,z) =exp − 2,(2.16)1 + ikρ202ρ0 (1 + z/ikρ20 )где ρ0 – радиус сердцевины волокна, k = 2πλ , λ = 0.473 мкм.В случае существенно многомодового волокна, на выходе из волокна излучение представляет собой суперпозицию расходящихся под разным углом и имеющих разный эффективный диаметр волоконных мод.
При большом количествемод из общих соображений, а также на основании успешности применения такогоподхода [55; 56], все расходящиеся из волокна моды можно заменить излучениемс усреднёнными эффективными параметрами диаметра моды и расходимости изаписать его в виде f (r,z) = a2m (z tg θd + am )−2 , где am – эффективный̆ радиусмоды, θd – эффективный угол расхождения.Определим максимальный угол θmax , исходя из параметров волокна и положения флуоресцирующей частицы относительно торца волокна. Этот угол точноравен углу полного внутреннего отражения θf для данного волокна, если маркерная биомолекула находится достаточно близко к торцу волокна, в области, ограниченной торцом волокна и двумя красными пунктирными линиями на рис.
2.1б.Для нахождения θf мы записываем законы Снеллиуса для углов, определяющих траекторию луча внутри и вне волокна (рис. 2.1а):n · sin θ = ncore · sin θ1(2.17)ncore · sin θ2 = nclad · sin θclad ,(2.18)где θ – угол падения сигнального луча на волокно, θ1 – угол преломления, θ2 –угол падения луча на поверхность, разделяющую оболочку и сердцевину, θclad –46θncorencladθmrθ1θ2θf zθfθcladсигналоболочкасердцевина(а)(б)Рисунок 2.1: Схематичное изображение волоконного сенсора, доставляющегофлуоресцентный сигнал от биомолекул к детектору (а) и максимальных угловхода луча в зависимости от положения флуоресцирующей биомолекулы относительно торца волокна (б)угол преломления луча в оболочке волокна (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
