Развитие асимптотических методов в моделях реакция - диффузия и их приложения в задачах о межфазовых переходах (1104587)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваФизический факультетНа правах рукописиБожевольнов Юстислав ВладиславовичРазвитие асимптотических методовв моделях реакция — диффузияи их приложенияв задачах о межфазовых переходахСпециальность 01.01.03 — математическая физикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква — 2011Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имениМ. В.

Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математическихнаук, профессор Нефедов Н. Н.Официальные оппоненты: доктор физико-математическихнаук, профессор Малинецкий Г. Г.доктор физико-математическихнаук, профессор Дмитриев М. Г.Ведущая организация:Институтпроблеммеханикиим. А. Ю. Ишлинского РАНЗащита диссертации состоится 17 февраля 2011 г. в 16:30 назаседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В.

Ломоносовапо адресу: Россия, 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ,физический факультет, Северная физическая аудитория.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физическогофакультета МГУ.Автореферат разослан2011 г.Ученый секретарь диссертационного советапрофессорГрац Ю. В.Актуальность темы диссертацииДиссертация посвящена исследованию существования и устойчивости стационарных решений типа контрастных структур иописанию движения (эволюции) контрастных структур в важных для приложений начально-краевых задач для уравненийреакция — диффузия.Теоретические исследования в области асимптотическихметодов в теории сингулярных возмущений ведутся довольнодавно. Их начало положено классическими работами А. Н.

Тихонова [1, 2, 3], А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова [4], С. А. Ломова [5], А. М. Ильина [6] и ряда других исследователей. Впоследние годы интенсивно развивается важное направлениеэтой теории — исследование контрастных структур, основы которого заложены в работах А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова,Н. Н. Нефедова (см.

обзорные работы [7, 8, 9]). Несмотря назначительный прогресс в этой области, ряд интересных дляприложений задач все еще не исследован полностью.В сингулярно возмущенных задачах типа реакция — диффузия разработанные методы позволяют строить формальнуюасимптотику, что активно используется на практике, в частности при численном моделировании процессов в социологии(работы А. П. Михайлова [10, 11]) или космической динамики(работы Д.

Д. Соколова и А. П. Петрова [12, 13, 14, 15], а такжесм. [16]). В приложениях вопросы обоснования существованиярешения часто остаются вне рассмотрения. В настоящей работе предложено теоретическое обоснование существования решений для рассмотренного класса задач. Проведение строгогодоказательства существования и устойчивости стационарныхрешений для систем уравнений наряду с построением асимптотики произвольного порядка точности движущегося фронтабыли основными целями данной работы. Результаты был получены в развитии асимптотического метода дифференциальных3неравенств, предложенного Н. Н. Нефедовым (см., например,[17, 9]).В работе также рассмотрены некоторые аспекты применения развиваемого аппарата для качественного описания процесса синтеза алмазоподобных кластеров в ходе релаксацииуглерод-содержащей плазмы [18, 19].Научная новизнаВ выбранных классах задач в диссертации получены теоремыо существовании и устойчивости стационарных контрастныхструктур, построена их асимптотика произвольного порядкаточности, описана эволюция движущихся контрастных структур.

Эти результаты являются новыми.Практическая значимость работыПолученные в работе результаты использованы для:• качественного описания процесса синтеза алмазоподобных кластеров в ходе релаксации углерод-содержащейплазмы.Следует отметить, что в работе выдвинуто предположение отом, что именно неоднородности (их геометрическое и энергетическое распределение) в конечном счете и определяют электронные свойства систем, содержащих тонкодисперсный углерод. Это предположение нашло экспериментальное подтверждение (см. [18, 19]). Данный результат является новым.Также результаты могут быть использованы для:• теоретического обоснования результатов численных экспериментов в задачах реакция — диффузия в ряде дисциплин (физика, химия, социология и др.)4Методы исследования:метод пограничных функцийи метод дифференциальных неравенствВ ходе исследований использовались следующие основные подходы:• метод пограничных функций (см.

[20]) и его модификации для задач с контрастными структурами (см. [8, 7]),что позволяет построить формальную асимптотику, атакже• асимптотический метод дифференциальных неравенств, позволяющий провести строгое обоснованиесуществования решения (см. [17]).Остановимся кратко на описании этих методов.Решение задачи ищется в виде суммы регулярной и пограничной частей. Выбор такого представления решения обусловлен тем, что регулярная часть решения (с точностью до величин порядка ε) является решением вырожденного уравнения(т.

е. исходной задачи, в которой малый параметр полагаетсяравным нулю), а пограничный слой “служит” для удовлетворения граничных условий.Каждое слагаемое в представлении, рассматривается какряд по степеням малого параметра ε. Коэффициенты асимптотического разложения ищутся следующим образом:• Уравнения, составляющие исходную задачу, раскладываются в ряд по степеням малого параметра.• Полученные (в результате разложения) уравнения в старшем (по ε) порядке определяют старшие коэффициентыасимптотическою разложения.5• Уравнения при следующей степени ε служат для отыскания следующих (более младших) приближений.• Процесс отыскания коэффициентов идет “шагообразно”по степеням малого параметра (в сторону увеличения степени ε).Разрешимость получаемых уравнений выражается в видедополнительных условий.Для задач со внутренними контрастными проводится построение пограничных слоев на двух отрезках: левее и правее точки x∗ ∈ (−1, 1), описывающей положение контрастнойструктуры, при этом полученные “левая” и “правая” задачи решаются связанно — через дополнительные условия “сшивания”в точке x∗ .

При этом, в ходе построения асимптотики определяется заранее неизвестная локализация внутреннего слоя.В результате предложенного процесса удается построить формальное асимптотическое разложение. Доказательство существования решения и оценка точности построенногоасимптотического ряда требует отдельного рассмотрения. Оноосновано на применении асимптотического метода дифференциальных неравенств, основная идея которого заключается виспользовании формальной асимптотики для построения верхних и нижних решений.Краткое содержание диссертацииГлава 1 — вводная.

В главе 2 “Пограничные слои в системе реакция — диффузия” описан алгоритм построения асимптотики решения параболической системы тихоновского типа, длярешений доказаны существование и устойчивость. Рассмотрено два варианта граничных условий. В главе 3 “Внутренние слои в системе реакция — диффузия” исследован вопрос6существования решения со внутренней контрастной структурой типа ступенька. В главе 4 “Движение фронта в уравнении реакция — диффузия” рассмотрена параболическая сингулярно возмущенная задача Неймана.

Построено асимптотическое разложение решений с движущимся фронтом и доказанатеорема существования таких решений. В главе 5 “Движениевсплеска в уравнении реакция — диффузия” построено разложение первого порядка асимптотики для решения с контрастной структурой типа всплеска.В главе 6 описано приложение разрабатываемых методовк задаче релаксации углеродсодержащей плазмы, предложена модель формирования фазовых состояний (алмазоподобныхкластеров), в которой эволюция неоднородности является ключевым механизмом [19].Глава 1.

ВведениеВо введении описаны основные идеи диссертации, описаны методы исследования поставленных задач и приведено краткоесодержание глав.Глава 2. Пограничные слоив системе реакция — диффузияОписан алгоритм построения асимптотики классического решения параболической системы тихоновского типа, для решений доказаны существование и устойчивость. Рассмотрено дваварианта граничных условий. Эта задача развивает направление исследований параболических задач на многомерных областях (см.

[21, 22]), расширяя применение метода дифференциальных неравенств на систему из двух уравнений.7Постановка задачи: пусть, D — открытая область в R2 .Пусть, u(x, t), v(x, t) — вещественнозначные функции точкиx ∈ D и времени t ∈ [0, +∞). Пусть, ε — малый положительныйпараметр, а функции u и v связаны уравнениями∂ε2 ∆u − ε u = g(u, v, x, ε),∂t∂(1)∆v − ε v = f (u, v, x, ε),∂t(x, t) ∈ D × (0, +∞).И пусть для функции u задано одно из следующих граничныхусловий∂u(x, t) = u0 (x),x ∈ ∂D,∂nu(x, t) = u0 (x),x ∈ ∂D,для v — условие Дирихлеv(x, t) = v 0 (x),x ∈ ∂D.Для данной задачи получены следующие результаты:• Построено асимптотическое разложение стационарногорешения и доказана теорема о существовании такого решения.• Доказана теорема об устойчивости стационарных решений, и описана локальная область устойчивости стационарного решения.Глава 3.

Внутренние слоив системе реакция — диффузияРассмотрена задача в классе дважды дифференцируемых на(−1, 1) за исключением некоторой точки этого интервала и8uu−1su∂u=0∂x1−1xРис. 1: Пограничные слои в одномерной задаче (1), где D =(−1, 1). Слева задано условие Дирихле, справа — условие Неймана. (Одномерная задача — частный случай рассмотреннойдвумерной.)непрерывных вместе с производной на [−1, 1] вещественнозначных функций:ε2 u00 = f (u, v), x ∈ (−1, 1),v 00 = g(u, v), x ∈ (−1, 1),u0 (±1) = 0,(2)v 0 (±1) = 0.Исследован вопрос существования решения со внутреннимслоем. Данная система рассматривалась в работе А. Б.

Васильевой и А. С. Авдеева [23]. Расширено применение метода дифференциальных неравенств на эту систему и полученыследующие результаты:• Построено асимптотическое разложение решения.• Доказано существование решения и получена оценка точности построенной асимптотики.9u u − −1x∗ t ,1xРис. 2: Внутренние слои в задаче (2)Глава 4. Движение фронтав уравнении реакция — диффузияРассмотрена сингулярно возмущенная начально-краева задачаε2∂u∂2u−ε−gu,x,ε= 0,∂t∂x2(x, t) ∈ (−1, 1) × (0, T ),∂u(±1, t, ε) = 0,∂xu(x, 0, ε) = u0 (x, ε),(3)где ε — малый параметр.Предполагается, что фронт в начальный момент сформирован, т.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации