Развитие асимптотических методов в моделях реакция - диффузия и их приложения в задачах о межфазовых переходах (1104587), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

е. функция u0 (x, ε) в некоторой точке отрезка (−1, 1)имеет внутренний переходный слой.Формирование и движение внутренних слоев являются одним из приоритетных направлений в исследовании контрастных структур (см., например, [24]). Рассмотренная задача является упрощением интегро-дифференциальной задачи, описанной в [25].10Для данной задачи получены и опубликованы [26, 27] следующие результаты:• Построено асимптотическое разложение решения и разложение произвольного порядка для скорости движениявнутреннего слоя в области, не содержащей стационарныерешения.• Доказано существование такого решения.Глава 5.

Движение всплескав уравнении реакция — диффузияКонтрастные структуры типа всплеска рассмотрены, например, в работах В. Ф. Бутузова и А. Б. Васильевой [28] иН. Н. Нефедова [29, 30]. В этих работах исследовались стационарные решения типа всплеска.В диссертации рассмотрена следующая задача 2∂∂2εu − u = f (u, x, ε),∂t∂x2(x, t) ∈ (−1, 1) × (0, T ),(4)u0 (±1, t, ε) = 0,u(x, 0, ε) = u0 (x, ε).Здесь ε — малый положительный параметр.Для данной задачи получены следующие результаты:• Построена формальная асимптотика произвольного порядка по ε.• Получен результат о приближении решения по невязке.11u1x1 v 0 00−1x ∗ t , x2 1xu 2  x , a xu  x ,t , u 1  x , −1Рис.

3: Контрастная структура типа всплескаГлава 6. Приложениеасимптотических методовк описанию фазового переходаВ качестве приложения полученных результатов и результатовтеории контрастных структур была рассмотрена математическая модель разделения фаз, качественно описывающая• явления пространственного разделения — формированиемежфазных границ (контрастных структур),• эволюцию границ раздела (межфазных границ),• а также стационарные (конечные, наблюдаемые в эксперименте) состояния.12Формирование наночастиц алмазав ходе релаксациихимически активированной плазмыФормирование наночастиц (алмазоподобных кластеров) в ходерелаксации химически активированной плазмы было открытово второй половине XX века, и с тех пор было предложенонесколько механизмов для описания таких процессов [31].

Этиописания далеки от детальных и не объясняют все стадии процесса.Возможно расширить описание формирования наночастици рассмотреть процесс с точки зрения теории контрастныхструктур.Предложена модель формирования фазовых состояний,в которой эволюция неоднородности является ключевым механизмом [19]. На основе статистического анализа экспериментальных снимков углеродных структур произведена оценка характерного размера появляющихся неоднородностей и (среднее) расстояние между ними, что позволяет оценить энергетические характеристики неоднородностей в процессе эволюции.В работе сделано предположение о том, что именно неоднородности (их геометрическое и энергетическое распределение)в конечном счете и определяют электронные свойства систем,содержащих тонкодисперсный углерод.

Это предположение нашло экспериментальное подтверждение [19].Математическая модельУравнение Аллена — Канаkε2∂u∂F= ε2 ∆u −,∂t∂uописывает процесс фазового разделения в среде, для которойF — свободная энергия, ∂∂uF — ее плотность [32].13Пусть,плотность свободной энергииa(x, ε) (см. рис. 4), тогда отношениеε2∂ 2 u ∂u−∂t∂x2∂F∂uравна (u2 − 1) u −= (u2 − 1) u − a(x, ε)(5)описывает процессы возникновения и эволюции межфазныхграниц. При этом считаем, что u = −1 соответствует неплотнойфазе, а u = +1 — плотной фазе, а ε — малый положительныйпараметр.F−1a x ,1uРис.

4: Зависимость свободной энергии F от параметра порядкаu обладает двумя минимумами в точках u = ±1. Точка a(x, ε)определяет границу между зонами влияния левого (u = −1) иправого (u = 1) устойчивых фазовых состоянийНачальное состояние u(x, 0) при t = 0 задается в видеu(x, 0) = u0 (x).Уравнение (5) рассматривается в некоторой ограниченной области, на границе которой ставятся условия непроницаемости.Таким образом, предложен еще один механизм формирования наночастиц — как результат эволюции неоднородностей, ипредложена математическая модель этого механизма.14Интерпретация моделиu+101x-1Рис.

5: Стратификация. Пунктирная линия — начальное состояние u0 (x), сплошная линия — стратифицированное состояниеu(x), штриховая линия — функция a(x, ε). Границы разделафаз определяются точками пересечения a(x, ε) и u0 (x).На основании модели можно дать следующее качественноеописание динамики процесса:• Быстрое разделение нестратифицированного вначале вещества на различные состояния с появлением ярко выраженных границ раздела (рис.

5).• Медленное по сравнению с первым этапом движение границ раздела с изменением структуры к одному из стационарных состояний (рис. 6).В рамках математической модели, предложенной в работе,функция a(x, ε) определяет энергетическое и геометрическое(пространственное) “распределение” управляющего параметра(см. рис. 4, 5, 6).В условиях, при которых происходит процесс релаксации углерод-содержащей плазмы в эксперименте, электронные15u+101x-1Рис. 6: Стационарное (наблюдаемое) состояние. Сплошная линия — стационарное состояние, штриховая линия — a(x, ε). Границы раздела фаз определяются точками пересечения a(x, ε) сосью x.свойства и характерные геометрические масштабы (а значит,и функцию a(x, ε)) определяют законы квантовой механики.Более того понимание природы этой взаимосвязи — ключ куправлению процессом синтеза наночастиц. В таком случаевозникает вопрос: каким образом можно исследовать этот параметр?Микроскоп контрастных структурВо взвеси размерно квантованного [33] углерода (полученногов процессе релаксации углерод-содержащей плазмы) в полярной жидкости наблюдается образование характерных структур (см.

рис. 8), индуцированное неоднородностью электронных свойств материала на наномасштабах. Данный результатпрошел апробацию на международной конференции [34].Эффект заключается в том, что геометрическое распределение и электронные свойства межфазных границ наноструктурированного углерода взаимосвязаны с геометрической16Рис. 7: Детонационныйуглерод. Видна мозаичнаяструктура, связанная сналичием характерного расстояния между “горячимиточками” [35].Рис. 8: Индукция электронных свойств наноструктурированного [33] углерода намакромасштабы.структурой, возникающей во взвеси. Аналогом кратности увеличения здесь будет отношение характерных размеров и масштабов времени.

Характерное время образования контрастныхструктур в ходе релаксации составляет 10−7 сек, а в растворе —порядка секунды. Для структур, показанных на рис. 7 и 8, этоотношение составляет 6 порядков.Необходимо отметить, что “изображение” на макромасштабах получается не в результате оптического увеличения, а является следствием масштабирования геометрического распределения неоднородностей с нано- на макромасштаб.Задача описания взаимосвязи структурных геометрическихраспределений на нано- и макромасштабах может быть рассмотрена в рамках предложенной математической модели втерминах функции a (см.

(5)).17Защищаемые положенияАвтор выносит на защиту следующие положения:• Для рассмотренных классов задач доказано существование решений типа контрастных структур.• Для таких решений построены асимптотические разложения произвольного прядка точности.• Доказана устойчивость стационарныхструктур в рассмотренных задач.контрастных• Разрабатываемые асимптотические методы нашли приложение в исследовании релаксационных процессов в химически активированной плазме: предложена качественнаямодель возникновения структуры межфазных границ.Публикации автора по теме диссертации• Божевольнов Ю. В., Нефедов Н.

Н. Движение фронтав параболической задаче реакция — диффузия // Ж.вычисл. матем. и матем. физ. — 2010. — Т. 50, № 2. —С. 276–285.• Нефедов Н. Н., Божевольнов Ю. В. Фронты в задаче реакция — диффузия // Труды восемнадцатых математических чтений РГСУ. — 2009. — С. 153–165.• Божевольнов Ю. В., Божевольнов В. Б., Яфясов А. М.Формирование структуры углерода с нанометровым характерным масштабом при релаксации химически активированной плазмы // Труды VII Международной конференции “Аморфные и микрокристаллические полупроводники”. — 2010.

— С. 162–163.18• Нефедов Н. Н., Божевольнов Ю. В. Исследование процессов возникновения неоднородностей в химически активированной плазме в процессе ее релаксации. — 2008.http://dl.dropbox.com/u/9823550/carbon2008.pdf.• Нефедов Н. Н., Божевольнов Ю. В. Модель возникновения неоднородностей фазового состава на этапах синтезаи сепарации продуктов детонационного синтеза.

— 2009.http://dl.dropbox.com/u/9823550/carbon2009.pdf.Список литературы[1] Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. —1948. — Т. 22(64), вып. 2. — С. 193–204.[2] Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений,содержащих параметры // Матем. сб.

— 1950. — Т. 27(69),вып. 2. — С. 147–156.[3] Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений,содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. — 1952. — Т. 31(73), вып. 3. — С. 575–586.[4] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. —М.: «Наука», 1973. — 272 с.[5] Введение в общую теорию сингулярных возмущений / Подред. С.

А. Ломов. — М.: Наука, 1981. — 400 с.[6] Пограничный слой / Под ред. А. М. Ильин. — Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные исследования, т.34, ВИНИТИ изд. — М.: Наука, 1988. — 336 с.19[7] Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Нефедов Н.

Н. Асимптотические методы в исследовании контрастных структур. —М.: МГУ, 1999.[8] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах //Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. —Т. 4, № 3. — С. 799–851.[9] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями // Труды Математического институтаим.

Характеристики

Список файлов диссертации