Диссертация (1103257), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Генерация производится с пробным распределением (69) поалгоритму (75),(134) с обрезанием по топологическому числу omax = 5. Действие уровнявыбирается в соответствии с (135), то есть вероятность принятия новых координат точек уровня определяется соотношением (136). Так как используются периодические граничные условия, потенциал взаимодействия вычисляется по формуле (78) с обрезаниемна oV = 1 (сумма по 27 копиям системы) и вычитанием "собственной энергии" – взаимодействия частицы с самой собой.
Кроме того по данным численного моделированияопределялось давление[3]1hP i =3L3X ∂V2K −rij∂riji<j!.(137)6РезультатыВычисления проводились для Np = 128 частиц при следующих значениях параметров.N a = 1/β от 0.5 × 10−5 до 4.75 × 10−5 с шагом 0.25 × 10−5 и дополнительными точками0.57 × 10−5 и 0.66 × 10− 5.
rs изменялся от 200 до 450 с шагом 50. Эти значения параметровв ядерных единицах соответствуют значениям температуры от 2.9 × 103 К до 27.7 × 103К и плотности от 183 × 103 кг/м3 до 2085 × 103 кг/м3 . Сетка точек, в которых производились вычисления показана на Рис. 6. Полученные значения для энергии и давленияпредставлены в таблице.Таблица 2: Параметры системы при ρ = 2085 × 103 кг/м3 , Vρ = 117.678 МДж/мольTкКKV − VρE − VρPМДж/моль МДж/моль МДж/моль ППа27.7 1.035(1)2.089(1)3.124(1)262.010(2)26.1 1.028(1)2.085(1)3.113(1)261.997(2)24.7 1.026(1)2.080(1)3.105(1)261.988(2)23.2 1.020(1)2.076(1)3.096(1)261.975(2)21.7 1.014(1)2.072(1)3.086(1)261.964(2)20.3 1.008(1)2.068(1)3.076(1)261.950(2)18.8 1.005(1)2.065(1)3.070(1)261.942(2)17.4 1.001(1)2.061(1)3.062(1)261.932(2)15.9 0.999(1)2.057(1)3.057(1)261.925(1)14.5 0.993(1)2.054(1)3.048(1)261.912(1)13.1 1.018(1)1.967(1)2.985(1)261.899(1)11.6 1.019(1)1.964(1)2.983(1)261.899(1)10.2 1.019(1)1.961(1)2.980(1)261.894(1)8.7 1.021(1)1.959(1)2.980(1)261.895(1)7.2 1.019(1)1.958(1)2.977(1)261.891(1)Мы видим, что свойства системы зависят от плотности значительно сильнее, чем оттемпературы.
Соответственно, внутренняя энергия почти полностью состоит из потенциальной энергии, определяемой расстоянием между протонами, то есть плотностью.Несмотря на это, скачки кинетической и потенциальной энергии на фазовом переходеТаблица 3: Параметры системы при ρ = 1068 × 103 кг/м3 , Vρ = 73.777 МДж/мольTкКKV − VρE − VρPМДж/моль МДж/моль МДж/моль ППа27.7 0.774(1)1.252(1)2.027(1)85.8599(9)26.1 0.767(1)1.246(1)2.007(1)85.8523(9)24.7 0.761(1)1.241(1)2.002(1)85.8456(9)23.2 0.751(1)1.236(1)1.987(1)85.8361(9)21.7 0.741(1)1.231(1)1.972(1)85.8274(9)20.3 0.739(1)1.226(1)1.966(1)85.8236(8)18.8 0.733(1)1.221(1)1.954(1)85.8169(8)17.4 0.727(1)1.217(1)1.944(1)85.8104(8)15.9 0.722(1)1.213(1)1.935(1)85.8050(7)14.5 0.718(1)1.208(1)1.926(1)85.7993(7)13.1 0.716(1)1.204(1)1.920(1)85.7960(7)11.6 0.715(1)1.178(1)1.893(1)85.7853(6)10.2 0.726(1)1.125(1)1.851(1)85.7719(6)8.7 0.726(1)1.122(1)1.848(1)85.7699(5)7.2 0.725(1)1.120(1)1.845(1)85.7684(5)5.8 0.724(1)1.120(1)1.844(1)85.7684(4)4.3 0.725(1)1.118(1)1.843(1)85.7659(4)Таблица 4: Параметры системы при ρ = 618 × 103 кг/м3 , Vρ = 50.064 МДж/мольTкКKV − VρE − VρPМДж/моль МДж/моль МДж/моль ППа24.7 0.608(1)0.859(1)1.466(1)34.3231(5)23.2 0.599(1)0.852(1)1.451(1)34.3177(5)21.7 0.590(1)0.847(1)1.436(1)34.3126(5)20.3 0.581(1)0.841(1)1.422(1)34.3077(5)18.8 0.574(1)0.835(1)1.409(1)34.3033(5)17.4 0.568(1)0.830(1)1.398(1)34.2995(4)15.9 0.561(1)0.824(1)1.386(1)34.2953(4)14.5 0.554(1)0.819(1)1.373(1)34.2910(4)13.1 0.549(1)0.814(1)1.363(1)34.2877(4)11.6 0.545(1)0.809(1)1.354(1)34.2845(4)10.2 0.550(1)0.747(1)1.297(1)34.2716(3)8.7 0.550(1)0.741(1)1.291(1)34.2695(3)7.2 0.547(1)0.738(1)1.285(1)34.2678(3)5.8 0.547(1)0.735(1)1.282(1)34.2669(3)4.3 0.546(1)0.737(1)1.283(1)34.2680(2)3.9 0.546(1)0.737(1)1.283(1)34.2685(2)Таблица 5: Параметры системы при ρ = 389 × 103 кг/м3 , Vρ = 35.906 МДж/мольTкКKV − VρE − VρPМДж/моль МДж/моль МДж/моль ППа24.7 0.515(1)0.656(1)1.172(1)15.7622(3)23.2 0.503(1)0.649(1)1.153(1)15.7581(3)21.7 0.493(1)0.642(1)1.135(1)15.7543(3)20.3 0.482(1)0.635(1)1.118(1)15.7503(3)18.8 0.475(1)0.629(1)1.104(1)15.7473(3)17.4 0.468(1)0.623(1)1.091(1)15.7446(3)15.9 0.458(1)0.616(1)1.074(1)15.7410(3)14.5 0.450(1)0.611(1)1.061(1)15.7380(3)13.1 0.445(1)0.605(1)1.050(1)15.7358(2)11.6 0.438(1)0.600(1)1.038(1)15.7331(2)10.2 0.433(1)0.594(1)1.026(1)15.7308(2)8.7 0.428(1)0.585(1)1.013(1)15.7283(2)7.2 0.434(1)0.533(1)0.967(1)15.7215(2)5.8 0.431(1)0.530(1)0.961(1)15.7200(2)4.3 0.430(1)0.529(1)0.959(1)15.7200(1)3.9 0.430(1)0.528(1)0.959(1)15.7198(1)Таблица 6: Параметры системы при ρ = 261 × 103 кг/м3 , Vρ = 26827.5 кДж/мольV − VρкДж/мольE − VρкДж/мольPППа17.4 398.0(9)500.2(1)898.2(9)8.0021(2)15.9 387.4(9)493.2(1)880.5(9)7.9995(2)14.5 379.4(9)486.4(1)865.8(9)7.9973(2)13.1 372.5(9)480.1(1)852.5(9)7.9955(2)11.6 363.3(9)473.3(1)836.7(9)7.9931(2)10.2 358.6(8)466.9(1)825.6(8)7.9916(1)8.7 352.5(8)461.6(1)814.1(8)7.9900(1)7.2 352.1(7)411.9(1)764.0(7)7.9845(1)5.8 350.6(6)406.8(1)757.4(6)7.9837(1)4.3 349.6(5)404.5(1)754.2(5)7.9833(1)3.9 350.1(5)404.3(1)754.4(5)7.9834(1)3.3 348.7(5)403.8(1)752.5(5)7.9831(1)2.9 348.5(4)404.3(1)752.8(4)7.9833(1)TкКKкДж/мольТаблица 7: Параметры системы при ρ = 183 × 103 кг/м3 , Vρ = 20686.0 кДж/мольV − VρкДж/мольE − VρкДж/мольPППа11.6 311.5(9)392.0(1)703.4(9)4.3908(1)10.2 304.1(8)385.1(1)689.1(8)4.3894(1)8.7 296.4(8)378.5(1)674.8(8)4.3879(1)7.2 292.9(7)371.4(1)664.2(7)4.3869(1)5.8 292.8(6)327.5(1)620.3(6)4.3835(1)4.3 290.8(5)324.1(1)614.9(5)4.3831(1)3.9 290.6(5)323.4(1)614.1(5)4.3830(1)3.3 290.4(5)322.9(1)613.3(5)4.3829(1)2.9 289.8(4)322.9(1)612.7(4)4.3829(1)TкКKкДж/мольимеют одинаковый порядок величины.
Чтобы выделить значимую часть потенциальнойэнергии, введём Vρ - аналог энергии Маделунга. Она равна потенциальной энергии "идеального кристалла при абсолютном нуле"с юкавским взаимодействием между узлами:Np i1 −1X exp{−ri0 i /RT F }X1 2Vρ =,0ri 1 i2i =1 i =11(138)2где r0 - положения частиц в узлах объёмно-центрированной кубической решётки.6.1Энергия, давление, уравнение состоянияСредняя внутренняя энергия hEi вычисляется по формуле (96) с учётом (7),(132),(133):SVi,β(139)3Np ST−i.2τβ(140)hV i = hhKi = hЗаметим, что наблюдаемая для потенциальной энергии имеет интуитивно очевидный вид,а для кинетической энергии это не так.На Рис.
1 показана потенциальная энергия V как функция температуры при плотности 2085 × 103 кг/м3 (rs = 200). Мы наблюдаем небольшой рост с ростом температурыи резкий скачок при определённой температуре, указывающий на фазовый переход. НаРис. 2 изображена кинетическая энергия при данной плотности. Её поведение отличаетсяот поведения потенциальной энергии: она также растёт с температурой, но при фазовомпереходе имеет скачок вниз. При более низких плотностях этот скачок исчезает и остаётсятолько излом (скачок производной).
Таким образом, зависимость выглядит как фазовыйпереход первого рода при плотностях 261 × 103 кг/м3 и меньше и как фазовый переходвторого рода при плотностях 618 × 103 кг/м3 и больше.Наблюдаемая для давления имеет вид2hP i =3L3!1 X ∂VhKi − hrij i .2 i<j ∂rij(141)На Рис. 3 изображена зависимость давления от температуры при плотности 2085 × 103кг/м3 (rs = 200). Она имеет скачок при той же температуре, что и энергия, что подтверждает существование фазового перехода.
Как и энергия, давление в основном зависитот плотности и незначительно меняется с температурой. Впрочем, именно этого следовало ожидать в конденсированной среде. Недостатком этого свойства является сложность21,4021,38E, MJ/mol21,3621,3421,3221,30510T, x10Рис. 14: E(T ) при ρ = 183 × 103 kg/m3 (rs = 450)120,80120,78120,76120,74120,72120,70120,68120,6610152025Рис. 15: E(T ) при ρ = 2085 × 103 kg/m3 (rs = 200)21,0821,0621,0421,0221,00510Рис. 16: V (T ) при ρ = 183 × 103 kg/m3 (rs = 450)119,76119,74119,72119,70119,68119,66119,6410152025Рис. 17: V (T ) при ρ = 2085 × 103 kg/m3 (rs = 200)0,320,300,28510T, x10Рис.
18: K(T ) при ρ = 183 × 103 kg/m3 (rs = 450)1,041,021,0010152025Рис. 19: K(T ) при ρ = 2085 × 103 kg/m3 (rs = 200)12010060V0K, MJ/mol80402000500100015002000ρРис. 20: V0K (ρ)3,02,0density,x10E-V0K, MJ/mol2,51,53kg/m3208510686183891,02611830,5510152025Рис. 21: E(T ) − V0K при различных плотностях2,0V-V0K, MJ/mol1,5density,1,0x103kg/m3208510686183890,526118351015T, x1020253Рис.
22: V (T ) − V0K при различных плотностях1,00,8density,0,6x103kg/m3208510686180,43892611830,2510152025T, x10Рис. 23: K(T ) при различных плотностяхчисленных термодинамических расчётов, так как частные производные по температуреи плотности, встречающиеся в уравнениях, различаются на порядки величин. Формально функция P (ρ, T ) позволяет построить изобары, но разрешения численных данных дляэтого недостаточно, несмотря на большое количество точек на фазовой плоскости. Мыможем лишь понять, что изобары - линии, близкие к линиям постоянной плотности, ноимеющие небольшой неизвестный наклон.
Эта проблема может быть решена различнымиспособами, но мы не будем их здесь обсуждать.4,3924,390P, PPa4,3884,3864,3844,382510T, x103Рис. 24: P (T ) при ρ = 183 × 103 kg/m3 (rs = 450)6.2Уравнение состояния жидкой фазы металлического водородаДля астрофизических приложений крайне важно знать уравнение состояния веществадля замыкания системы уравнений гидростатического равновесия [21]. Как правило дляописания поведения вещества используют степенную зависимость давления от плотности:P = kργ(142)Как показано в [21] необходимым условием конечности атмосферы планеты-гиганта является условие γ > 1. В нашем анализе мы проведём исследование уравнения состояния на262,02262,00261,98P, PPa261,96261,94261,92261,90261,8810152025Рис. 25: P (T ) при ρ = 2085 × 103 kg/m3 (rs = 200)250P0K, PPa20015010050005001000ρ, x1031500kg/mРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
