Диссертация (1103257), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Отношение Лидеманна позволяет явно различить кристаллическую и жидкую фазы.В работе часто используются "ядерные"единицы измерения: ke = ~ = e = mp = 1;здесь ke - постоянная Кулона, а mp - масса протона. Соответствующие единицы основныхфизических величин следующие: ядерный боровский радиус a0N = LN = 2.9 × 10−14 м длярасстояния, ядерный хартри Ha = EN = 8.0 × 10−15 Дж для энергии, pN = 3.3 × 1026 Падля давления, ρN = 7.0 × 1013 кг/м3 для плотности и TN = 5.8 × 108 К для температуры. Вядерных единицах масса электрона составляет me = 5.4×10−4 , а (электронный) боровскийрадиус равен a0e = 1/me = 1.8 × 103 .Гамильтониан модели металлического водорода запишем в видеHf ull = KN + Ke + V0 + Ve + Vint .(98)Здесь KN и Ke - кинетическая энергия ядер (протонов) и электронов соответственно. V0 ,Ve и Vint - потенциальная энергия взаимодействия межъядерного, электрон-электронногои ядер с электронами соответственно; все они представляют собой сумму парных кулоновских взаимодейсчтвий, напримерNp i1 −1XX 1V0 =.rii12i =1 i =11(99)2Существует достаточно широкий диапазон температур и плотностей, в котором с однойстороны электроны можно рассматривать как вырожденный ферми-газ и использоватьмодель Томаса-Ферми [15] (то есть квантовый характер их статистики имеет определяющий характер), но с другой стороны протоны заведомо невырождены и их статистика неважна.
В таких предположениях иы можем рассматривать только протоны, причём применять для них классическую (больцмановскую) статистику. Учёт электронов приводитк Томас-Фермиевской экранировке взаимодействия [16]. Таким образом, эффективный гамильтонианHf ull = KN + VN .(100)Здесь VN - это потенциальная энергия пртонов с экранированным взаимодействием:Np i1 −1XX exp{−ri i /RT F }1 2VN =.ri1 i2i =1 i =112Томас-Фермиевский радиус экранировки RT F определяется по формулеrπ√RT F = 3a0e rs .125.4(101)(102)Вывод экранировки ДебаяПолучим выражение для эффективного потенциала протона в электронном газе. Рассмотрим систему частиц(электронов) с кулоновским взаимодействием в приближении самосогласованного поля, то есть каждая частица находится в неком эффективном внешнем поле(создаваемом протонами), где её поведение определяется индивидуально без привлечениядругих частиц.При этом с точки зрения функций распределения парная функция распределения распадается на произведение двух одночастичных функций распределения:−−−−−−−−−−−−F2 (t, →r1 , →r2 , →p1 , →p2 ) = F (t, →r1 , →p1 ) ∗ F (t, →r2 , →p2 ) + G(t, →r1 , →r2 , →p1 , →p2 )(103)где G F2 , которой в дальнейшем мы пренебрегаем.
Это приближение справедливо, есливнутри получающегося радиуса экранировки rd будет много частиц, то есть (a/rd )3 1,где a- среднее расстояние между частицами а также при отсутствии сильных корреляцийот столкновений, то есть rя a, где rя -радиус ядра. В этом приближении получаемкинетическое уравнение Власова:−−−−−−−−∂F (t, →r ,→p) →p ∂F (t, →r ,→p ) ∂(U + Ũ(t, →r )) ∂F (t, →r ,→p)+−=0→−→−→−∂tm∂r∂r∂p(104)где U-внешний для системы электронов потенциал, создаваемый протонами−Ũ(t, →r)=Z−−−−d→r 0 ne (t, →r 0 )Ф(|→r −→r 0 |)(105)-потенциал самосогласованного поля.N−ne (t, →r)=VZ−−−F (t, →r ,→p )d→p(106)-плотность числа электронов.Потенциал взаимодействия между электронами:e2−−Ф(|→r −→r 0 |) = →−|−r −→r 0|(107)−−−−−−F (t, →r ,→p ) = F0 (→r ,→p ) + f (t, →r ,→p)(108)Подставим в уравнение Власовагде F0 -равновесная стационарная функция распределения электрона.
Получим−−−−−−−∂f (t, →r ,→p) →p ∂F0 (→r ,→p ) ∂f (t, →r ,→p)+ (+)−→−→−∂tm∂r∂r−−−−∂(U + Ũ) ∂F0 (→r ,→p ) ∂f (t, →r ,→p)−(+)=0→−→−→−∂r∂p∂pПреобразуем производную от результирующего потенциала. УчитываяZN−e2→−−−−−U( r ) =d→r 0 d→p0 →F0p (→r 0, →p 0)−V|−r −→r 0 |)(109)(110)ПолучаемZ−e2 N∂(U + Ũ)∂e2 ne→−−→−−−−0 →00 →0V= →[ dr dp ( →F0p ( r , p ) + →F (t, →r 0, →p 0 )] =→−−−→−−→−00∂r∂r|r − r ||r − r |Z2N∂→−−−−−−−−0 →0 −e V{drdp[F0p (→r 0, →p 0 ) − f (t, →r 0, →p 0 ) − F0 (→r 0, →p 0 )]} == →−−∂−r|→r −→r 0|Ze2 N∂→−−−−0 →0V= →drdp(f (t, →r 0, →p 0)−−∂−r|→r −→r 0|(111)(112)(113)Здесь принято во внимание, что система в целом электрически нейтральна и в среднемполе протонов компенсирует поле электронного газа. С другой стороны→− −∂∂−−e E (t, →r)=− →(U + Ũ) = − →(−eФ(→r ))(114)−∂r∂−rZZe2 N1 ∂2eN→−−→−−−−−0 →00 →0V∆Ф = − →dr dp ( →f (t, r , p ) = −(−4π) d→p 0 f (t, →r ,→p 0 ) (115)−e ∂−Vr2|−r −→r 0|→− −Подставим теперь в уравнение Власова E (t, →r ) и отбросим вторые по порядку малостислагаемые.
Учтём также, что распределение по координате в F0 равномерное. Получим−−−−−−−→− ∂F0 (→∂f (t, →r ,→p) →p ∂f (t, →r ,→p)r ,→p)+−eE=0→−→−∂tm∂r∂p(116)Перейдём от распределения по импульсам к распределению по скоростям, сохранив обозначения для функций распределения:→−−−−−−−∂f (t, →r ,→v ) e E ∂F0 (→r ,→v)∂f (t, →r ,→v) →−+ v−=0→−→−∂tm∂r∂v(117)2~Поскольку в рассматриваемых случаях энергия Ферми EF = 2m(3π 2 N)2/3 kT (ρmax =Vкг , что соответствует Θ = EF = 43 ∗ 106 K, а рассматриваемые температуры2 ∗ 106 м3FkB3T ≤ 30 ∗ 10 K), электронный газ является глубоко вырожденным и его функция рас-пределения представляет из себя "ступеньку": F0 =R −этом: d→pF =1V 2m3Θ(EFN (2π~)3−mv 2).2Нормировка при0Рассмотрим теперь такую систему в поле точечного заряда q, расположенного дляпростоты в начале координат, то есть теперьZN−−−−d→v 0 f (t, →r ,→v 0 ) − 4πqδ(→r)∆Ф = 4πeV(118)Рассмотрим также установившийся стационарный случай.
При этом, расписывая явноF0,∂vуравнение (117) перепишется в виде−−∂f (t, →r ,→v)e ∂Ф V 2m3mv 2→−−v+δ(E−)(−m→v)=0F−−m ∂→2∂→rr N (2π~)3(119)Получим из (118) и (119) уравнение на фурье-образы для функции Ф:Z→−→− i−→− −1→−→−k→rkefk ( k , →v)df( r , v ) =3(2π)Z→−→− i−→−1→−k→rФ( r ) =dkeФk ( k )3(2π)Z→− −0eN−2−k Фk = 4πd→v 0 fk ( k , →v ) − 4πqV−→−→− −V 2m3mv 2e →−→−)(−m→v)=0δ(E−v (i k )fk ( k , →v ) + (i k )ФkFmN (2π~)32(120)(121)(122)(123)Подставляя fk из 123 в 122 имеем:eNk Фk = 4πq − 4πV2Фk [k 2 + 4πZmv 02V 2em3−d→v0Фδ(E−)kFN (2π~)32p2e2 m3(4π) 2mEF ] = 4πq3(2π~)→−Фk ( k ) =4πq+ æ2k2Восстанавливаем Ф из его фурье-образа:Z→−→ 4πq→− −1q→−Ф( r ) =d k ei k r 2= e−ræ32(2π)k +ær11=q√232e mæ4π (2π~)2mEF3 (4π)Подставляя сюда EF =~2(3π 2 N)2/32mV5.5(125)(126)(127)(128)получаем:√1= a0 rsæгде a0 =(124)r3π,12~2.me e2Область применимости моделиГамильтониан (98) может быть быть сведён к (100) при следующих условиях.
Во-первых,ядерные (сильные) взаимодействия между протонами должны быть пренебрежимо малы,то есть расстояние между ними (приблизительно равное rs ) должно быть много больше ихразмера Rp . Во-вторых, теория Томаса-Ферми должна быть применима к электронам, дляэтого внутри радиуса экранировки должно находиться большое количество электронов.Отсюда очевидно следует, что расстояние между ядрами должно быть меньше (электронного) боровского радиуса.
Таким образом, наши приближения применимы для плотностей,соответствующихRp rs a0e .(129)Соответствующие ограничения в ядерных единицах и в СИ следующие: Rp ≈ 3 × 10−2 ≈9×10−16 м и a0e ≈ 2×103 ≈ 5×10−11 м. Приведём также оценки для предельных плотностей(??): ρmin ≈ 3 × 103 кг/м3 и ρmax ≈ 6 × 1017 кг/м3 .Кроме этого, наше приближение корректно, если электроны вырождены, апротоны нет. Температуру вырождения можно оценить как βd ≈ mrs2 . Таким образом, допустимыйдиапазон демператур зависит от давления и определяется соотношениямиme rs2 β rs2 .(130)Предельные температуры в ядерных единицах следующие: βmin ≈ 5 × 10−4 rs2 and βmax ≈rs2 . Отсюда получаются следующие оценки при заданных плотностях (в единицах СИ):22Tmin ≈ 0.9ρ 3 кг−2/3 м2 К и Tmax ≈ 2 × 105 ρ 3 кг−2/3 м2 К.5.6Численное моделированиеВ вышеуказанных обозначениях решёточное действие, соответствующее гамильтониану(100) с потенциальной энергией (101) и периодическими пространственными граничнымиусловиями имеет вид−lnπ = S = ST + SV .ST =NpNt X3XX(xα (t) − xα (t − 1) + Lnα (t))2iNp i 1Nt XXXii2τt=1 i=1 α=1SV =(131)1Xt=1 i1 =1 i2 =1 n1,2,3 (t)=−1,(132)1 2 3exp{−rin1 in2 n (t)/RT F }τ.1 2 3rin1 in2 n (t)(133)i1 i2В случае периодических граничных условий плотность пробной вероятности, основанная на кинетической части действия, может быть представлена в виде (несущественныеиндексы для простоты опущены)(x∞ − x0 )2x(t + 1) + x(t − 1) + L(n(t + 1) − n(t))∞T (x (t)|n(t+1)−n(t)) ∼ exp −, x0 =.τ2(134)Гауссово распределение (бесконечном промежутке) величины x∞ (t) ≡ x0 (t) + Ln0 (t) можногенерировать быстро (мы используем преобразование Бокса-Мюллера) и позволяет определить n0 (t), n0 (t + 1) и x0 (t) за счёт условий −L/2 < x0 (t) < L/2 и n0 (t + 1) − n0 (t) =n(t + 1) − n(t).Будем использовать многоуровневый алгоритм.
Действие уровня можно выбирать произвольно, но существует оптимальный выбор. Действие уровня следует получать интегрированием полного решёточного действия по координатам следующих уровней:Zπk (sk ) = dsk+1 . . . dsNlevel π(s).(135)Для нашей модели с действием (131),(132),(133) получается достаточно простой и эффективный алгоритм. Распределение пробной вероятности для каждого шага деления пополамопределяется формулой (134), с временным шагом на уровне τ → τk = 2Nlevel −k τ а числонамоток сохраняется nk (t + 1) − nk (t) = nk−1 (t). Такое пробное распределение и условие(135) приводят к вероятности принятияAk (s0k )0 e−SV (sk )= min 1, −S (s ) ,e V k(136)SV (sk ) определяется соотношением (133), в котором первая сумма берётся только по временным слоям, принадлежащим уровню sk .
τ В данном случае - не временной шаг наданном уровне (как в кинетической части), а настоящий временной шаг (как на посдеднем уровне и в полном решёточном действии).Моделирование производилось при помощи многоуровневого алгоритма, один этап которого представляет собой изменение для 2 частиц отрезка конфигурации, состоящего из26 = 64 точек; шаг a = 100. Такие параметры были подобраны экспериментально, исходяиз вычислительной скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
