Диссертация (1103257), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Это, помимо прочего,существенно для подбора параметров программы, так как от них зависят скорость работыи точность получаемых результатов. Принимая во внимание свойства алгоритма Метрополиса для вычисления интегралов по траекториям методом Монте-Карло, надо достичьпредельного состояния марковской цепи и желаемого уровня ошибок, и сравнить результат с аналитическими выражениями.

Мы используем следующие обозначения параметровпрограммы: Np - число генерируемых траекторий, Ns - число проходов для генерации новой траектории, Nt - число слоёв во мнимом времени, τ - шаг по мнимому времени, N число попыток изменения каждого qi . Описываемые ниже результаты получены при следующих значениях параметров программы: Np = 1000, Ns = 5000, Nt = 100, τ = 0.1, N = 10.0.005Calculation dataFit<q(t) q(t + s)>0.0040.0030.0020.0010123sРис. 38: Корреляционная функция при m = 100, ω = 1.Для корреляционной функции мы имеем хорошее согласие с теоретическими предсказаниями (152) (см. Рис.

1). Аппроксимируя её функциейhq(t)q(t + s)i = a exp (−b|s|),получаем значения параметров a = 1.006 ± 0.004 and b = (503.0 ± 1.4) × 10−5 . Мы знаем,что для абсолютно нерелятивистского гармонического осциллятора эти значения должныбыть a = mω = 1 и b = 1/(2mω) = 500 × 10−5 .Рассмотрим сравнение теоретических предсказаний и численных результатов для hq 2 (t)i(см. Рис.

2). Используя аппроксимациюhq 2 (t)i =a,mполучаем для a значение a = 0.5040 ± 0.0022, тогда как для абсолютно нерелятивистскогогармонического осциллятора должно быть a = 1/(2ω) = 0.5.Calculation dataFit<q(t) 2 >0.0050.0040.003100120140160180200mРис. 39: Зависимость hq 2 (t)i от массы при ω = 1.Рассмотрим результаты, полученные программой для энергии. Для неё имеем аналитические значения (151) (см.

Рис. 3).Аппроксимируем энергию константой:hT (p)i = a,hV (q)i = b.Получаем a = 0.251 ± 0.003, b = 0.2476 ± 0.0003, тогда как теоретические предсказанияa = b = ω/4 = 0.25.Мы можем сравнить плотность вероятности с аналитическим выражением (150) (см.Рис. 4).

Аппроксимируя её функцией Гауссаρ(q) = a exp (−bq 2 ),получаем значения параметров a = 100.1 ± 0.7 и b = 99.5 ± 0.8. Мы знаем, что в нерелятивистском пределе a = b = mω = 100.Как мы видим, наблюдается согласие результатов численных расчётов с аналитическими выражениями в случае классического (абсолютно нерелятивистского) гармоническогоосциллятора, то есть в нерелятивистском пределе пределе m ω.

Хотя мы имеем согласие с точностью хуже чем два стандартных отклонения, это значит скорее, что следуетувеличить отношение m к ω, но в этом случае значительно увеличится время, необходимоедля численных расчётов.0.5EnergyKinetic energyPotential energyFull energy0.25100120140160180200mРис. 40: Зависимость энергии от массы при ω = 1.Сравним результаты работы программы с теоретическими предсказаниями в случаеp2 m2 или в пределе ω m. Для численных расчётов использовались следующиепараметры программы: Np = 100, Ns = 5000, Nt = 1000, τ = 0.01, N = 10.Для корреляционной функции имеем (см.

Рис. 5). Аппроксимируем её экспонентойhq(t)q(t + s)i = a exp (−b|s|),что даёт нам значения параметров a = (536.5 ± 1.8) × 10−5 and b = 10.60 ± 0.05. Хотя мы непредставили аналитического выражения для корреляционной функции, есть существенные общетеоретические основания полагать, что она должна иметь видhq(t)q(t + s)i = q 2 (0)e−(λ1 −λ0 )(mω2 )1/3 s,где λ1 (mω 2 )1/3 - следующий (первый возбуждённый) уровень энергии ультра-релятивистскогоосциллятора, где λ1 = 2.338 . . .

. Теоретические предсказания дают a = 0.539 и уровеньэнергии b = 10.47. Так как для корреляционной функции мы видим хорошее согласие стеоретическими предсказаниями, продолжим сравнение результатов.Рассмотрим среднее значение q 2 (t). Для него имеем аналитическое выражениеhq 2 (t)i =2λ0,3(mω 2 )2/3и вычисления методом Монте-Карло дают следующий результат (см. Рис. 6). Аппрокисимруемэту зависимость функциейhq 2 (t)i =2a3(0.1x2 )2/38Calculation dataFitDensity of Probability6420-0.20q0.2Рис. 41: Зависимость плотности вероятности |ψ(q)|2 от q при m = 100, ω = 1.что даёт a = 0.8088 ± 0.0027, при теоретических предсказаниях a = λ0 = 0.8086 . .

.Рассмотрим результаты вычислений энергии для ультра-релятивистского осциллятораи сравним их с аналитическими выражениями (156), (157) (см. Рис. 7). Аппроксимацияэтих результатов функциями2hT (p)i = a(mω 2 )1/3 ,31hV (q)i = b(mω 2 )1/3 ,3hE(p, q)i = c(mω 2 )1/3даёт следующие значения: a = 0.801 ± 0.004, b = 0.812 ± 0.004 and c = 0.804 ± 0.003.Теоретически ожидаемые значения a = b = c = λ0 = 0.8086 .

. . .Наконец сравним рзультаты вычислений методом Монте-Карло с теоретическими предсказаниями для плотности вероятности (155) (см. Рис. 8).Как мы видим, результаты вычислений интегралов по траекториям методом МонтеКарло для релятивистского гармонического осциллятора в ультра-релятивистском пределе имеют хорошее согласие с теоретическими предсказаниями, полученными из гамильтониана (153).Calculation dataFit<q(t) q(t + s)>0.0050.0030.00100.050.10.150.20.25sРис. 42: Зависимость корреляционной функции hq(t)q(t + s)i от |s| при m = 0.1, ω = 100.7.6Сравнение метода Монте-Карло и решения уравнения ШрёдингераРелятивистский гармонический осциллятор определяется гамильтонианомĤ =p1p̂2 + m2 + mω 2 q̂ 2 .2(159)Относительно координаты он является квадратичной формой.

Зависимость от импульсаописывается более сложной функцией, в отличие от обычных нерелятивистских гамильто∂нианов. Поэтому удобно рассматривать задачу в импульсном представлении p̂ = p, q̂ = i ∂p.Уравнение Шрёдингера в этом случае имеет видmω 2 ∂Ψp p 22 + E Ψ = 0.+p+mp2 ∂p2(160)Оно эквивалентно уравнению Шрёдингера в потенциале V =pq 2 + a2 в координатномпредставлении и может быть решено обычными методами его решения. Получаемая функция Ψp (p) может переведена в координатное представление Ψq (q) при помощи преобразования Фурье. Уровни энергии Ei не зависят от представления.Уравнение (160) может быть приведено к безразмерным переменным p̃ = p/m = p/mc,Ẽ = E/m = E/mc2 , ω̃ = ω/m = ω~/mc2pω̃ 2 00 Ψp + Ẽ − p̃2 + 1 Ψp = 0,2(161)где 0 обозначает производную по импульсу p.

Это уравнение содержит единственный безразмерный параметр ω̃, который регулирует роль производной. При ω̃ 1 волноваяCalculation dataFit<q(t) 2>0.0050.0030.001100300w500Рис. 43: Зависимость hq 2 (t)i от ω при m = 0.1.функция сильно локализована вблизи минимума "потенциала"(в импульсном представлении) то есть данная ситуация соответствует нерелятивистскому случаю p̃ → 0. Соответственно, при ω̃ 1 волновая функция слабо локализована, что соответствует ультрарелятивистскому случаю p̃ → ∞. В обоих случаях под импульсом следует понимать среднее значение его величины.Для ω̃ 1, p̃ → 0 асимптотическая форма уравнения (161) имеет видω̃ 2 00p̃2Ψ + Ẽ − 1 −Ψp = 0.2 p2(162)Оно совпадает по форме с уравнением Шрёдингера для классического гармоническогоосциллятора.

Соответствующие волновые функции и уровни энергии всем известны:p√ 4ω̃/π2exp −ω̃ p̃ /2 Hnω̃ p̃ ,(163)Ψp n = √2n n!Ẽn = 1 + ω̃ (n + 1/2) .(164)Асимптотическая форма уравнения (161) для случая ω̃ 1, p̃ → ∞ имеет видω̃ 2 00Ψ + (Ẽ − p̃)Ψp = 0.2 pЕго решение, регулярное на бесконечности - функция Эйри первого рода:√ !2/3√2 223/2Ψp = A ∗ Ai (p̃ − Ẽ) ∼ e− 3ω (p̃−Ẽ) .ω(165)(166)25Kinetic energyPotential energyFull energy20Energy151050100200300w400500Рис.

44: Зависимость энергии от ω от m = 0.1.Соответсвующие уровни энергии определяются выражениемẼn = (3π ω̃n)2/3 /2.(167)Уравнение (161) было численно решено методом стрельбы для 10−5 ≤ ω̃ ≤ 105 . Таккак асимптотическое поведение волновой функции на бесконечности - экспоненциальноеубывание, стрельба производится с ±∞ с произвольным достаточно малым значением вкачестве граничных условий. Сшивка производится в нуле. Параметр стрельбы - энергияE. Уровни энергии вычисляются с относительной точностью 10−6 .

Собственные функцииΨp n (p) и собственные значения Ei вычисляются для десяти первых уровней. Собственныефункции в координатном представлении Ψn (x) получены при помощи преобразованияФурье.На Рис. 46 и Рис. 47 показаны низшие десять уровней энергии для уравнения (161) какфункции ω̃. Как видно, они фактически эквидистантны с промежутком 1 при ω̃ → 0, чтосогласуется с асимтотикой (164). При ω̃ → ∞ они фактически пропорциональны ω̃ 2/3 , чтосогласуется с асимптотикой (167). Поэтому мы полагаем, что численное решение справедливо также и в переходной области, в которой нет аналитического решения.

Это численноерешение уравнения Шрёдингера может быть использовано для проверки результатов, полученных на основе вычисления интегралов по траекториям методом Монте-Карло.На Рис. 48 и Рис. 49 показаны результаты вычислений методом Монте-Карло для полной энергии основного состояния при ω = 1. В нерелятивистском пределе энергия основ-8Calculation dataTheoretical predictionDensity of Probability6420-0.20.2qРис. 45: Зависимость плотности вероятности от q при m = 0.1 и ω = 100.ного состояния равна ω/2 = 0.5.

Зелёная линия показывает результат решения уравненияШрёдингера. Можно видеть, что результаты, полученные двумя этими разными способами хорошо согласуются друг с другом. На основании этого мы можем сделать вывод,что описываемый вариант метода квантового Монте-Карло для релятивистского случаяприменим в том числе и для достаточно сильных потенциалах.Основным результатом, достигнутым в описываемой работе, является разработка релятивистского обобщения метода вычисления интегралов по траекториям методом МонтеКарло. Он может быть использован для исследования свойств релятивистских квантовыхсистем с мгновенным взаимодействием между частицами.

Это последнее условие позволяет избежать проблем со допустимостью квантовомеханического описания взаимодействияв системе многих частиц. Также он имеет перспективные приложения в релятивистскойквантовой химии и физике конденсированного состояния.Описываемый метод применён для исследования одномерной системы с простым внешним потенциалом - релятивистского гармонического осциллятора. Это дало возможностьпроверить корректность данного подхода, так как эта задача может быть решена припомощи уравнения Шрёдингера в импульсном представлении. Сравнение результатов, полученных этими двумя методами, показало, что описываемое релятивистское обобщениеметода квантового Монте-Карло может быть использовано для исследования квантовыхсистем релятивистских частиц. Надо подчеркнуть, что в ультрарелятивистском случаенеобходимы некоторые дополнительные предположения, чтобы решить проблему терма-10987(E-1)/w65432101E-51E-41E-30,010,1110100100010000 100000wРис.

Характеристики

Список файлов диссертации