Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 18
Текст из файла (страница 18)
. . , и 1 >2 > ⋅ ⋅ ⋅ > . Рассмотрим базис пространства , в котором матрицыоператора = −1 и формы имеют блочно-диагональный вид⎛1⎞⎜⎟⎟, =⎜⋱⎜⎟⎝ ⎠⎛1⎞⎜⎟⎟,=⎜⋱⎜⎟⎝ ⎠(3.3.4)при этом блоки и равны⎛ 0⎜⎜ 2 ⋱ = ⎜⎜⎜⋱ ⋱⎜⎝2⎞⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎠⎛2⎜⎜⋰и = ⎜⎜⎜⋰⎜⎝ 2111⎞⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎠(3.3.5)⎛ 0 ⎞, а — это единичная × -матрица.
Тогда алгебра⎝− 0 ⎠Ли группы автоморфизмов Aut (, , ) состоит из элементов видагде 2 =⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝11,121,1 11,1⋮⋱⋮1,112,1⋮2,1⋱⋯⋱⋯⋱11,2⋱⋯⋱⋮ ⋱1,21,1⋯ 1 ⋯ 11,212,2⋮ ⋱2,2⋯ 12,212,1⋯⋯⎞⎟⎟⎟⋯⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎟⎟⋯⎟⎟⎟⎟⎟⋯⎠(3.3.6)где , — это × матрицы, удовлетворяющие соотношениям(, ) 2 + 2 , = 0(3.3.7)В частности, элементы диагональных блоков , должны лежать в симплектической алгебре Ли (2 , K), так как(, ) 2 + 2 , = 0(3.3.8)Схема доказательство теоремы 33. Очевидно, что любое подпространствовида (3.3.1) имеет вид (3.3.2), и наоборот.
Например,1(1 ) ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ ( )= ⊕(Ker ∩ Im − )=1Также очевидно, что подпространства вида (3.3.1) инвариантны. Поэтому остаётся показать, что любое инвариантное подпространство имеет вид(3.3.2). Далее, если фиксировано разложение = 1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ ,то определено естественное вложение ( ) ↪ (, , ), при которомэлементы ( ) тождественно действуют на всех слагаемых , кроме112 . Поэтому любое инвариантное подпространство разлагается в прямуюсумму инвариантных подпространств = ⊕( ∩ )Таким образом, задача сводится к случаям, когда есть только один или дватипа жордановых блоков.
Вначале, используя теорему 34, можно доказатьследствие 11. Тем самым будет доказано, что инвариантными подпространствами пространства являются подпространства ( ) и только они.После этого остаётся доказать неравенства (3.3.3). Они вытекают из следующих двух утверждений, которые также могут быть легко доказаны припомощи теоремы 34.Утверждение 38.
Если в инвариантном подпространстве ⊂ (, , )существует вектор ∈ 1 ∩ Im , то 2 ∩ Im ⊂ для любого 2 < 1 .Утверждение 39. Если в инвариантном подпространстве ⊂ (, , )существует вектор ∈ 2 ∩ Ker , то 1 ∩ Ker ⊂ для любого2 < 1 .Вещественный случай. Рассмотрим теперь случай двух комплексносопряжённых собственных значений. Этот случай легко сводится к комплексному благодаря наличию естественной комплексной структуры.Лемма 17. В каждом корневом подпространстве оператора , соответствующем паре комплексно-сопряженных собственных значений ± ,полупростая часть оператора −является комплексной структурой ,самосопряжённой относительно и .Доказательство леммы 17.
является комплексной структурой, т.е. 2 =−, так как характеристический полином −равен (2 + 1) . Оператор самосопряжён, так как он является полиномом от .Пусть пространство (, , ) состоит только из вещественных жордановых блоков с одинаковым комплексным собственным значением = + .113Обозначим через C комплексификацию пространства при помощи комплексной структуры из леммы 17.
Определим следующие комплексныебилинейные формы на :C (, ) = (, ) − (, ),и C (, ) = (, ) − (, ).Формы C и C являются корректно определёнными комплексными билинейными формами на , так как оператор самосопряжён относительно и .Отметим, что пространство C состоит из тех же блоков, что и пространство , т.е.
каждому вещественному жорданову -блоку с собственным значением + в разложении соответствует комплексный жорданов -блокс тем же собственным значением в разложении пространства C .При комплексификации автоморфизмы пространства (, , ) переходятв автоморфизмы пространства ( C , C , C ), а вещественные инвариантныеподпространства — в комплексные инвариантные подпространства.Теорема 35. Пусть пространство (, , ) состоит только из вещественных жордановых блоков с одинаковым комплексным собственнымзначением = + . Тогда любой автоморфизм ∈ Aut (, , ) сохраняет естественную комплексную структуру из леммы 17: = .Как следствие, имеет место естественное взаимно-однозначное соответствиеAut (, , ) ≅ Aut ( C , C , C ).(3.3.9)Подпространство ⊂ (, , ) инвариантно тогда и только тогда, когдаоно -инвариантно и соответствующее подпространство C пространства ( C , C , C ) инвариантно.Доказательство.
Автоморфизм ∈ Aut (, , ) сохраняет структуру потому, что он сохраняет формы и . Для доказательства того, что инвариантные подпространства комплексифицируются можно воспользоватьсятем, что если инвариантное подпространство содержит вектор , то она114содержит и всевозможные (конечные) линейные комбинации векторов вида, где ∈ Aut (, , ). Для доказательства того, что если ∈ , то и ∈ достаточно фиксировать произвольную форму Жордана-Кронекераи рассмотреть операторы, которые действуют на одном вещественном жордановом блоке при помощи матрицы⎛ 0 ⎞,⎝ 0 −1 ⎠где⎛⎜⎜=⎜⎜⎜⎝ − ⋱ − ⎞⎟⎟⎟,⎟⎟⎠, ∈ R,2 + 2 ≠ 0и тривиально действуют на остальных жордановых блоках.3.4Локальное устройство невырожденныхбигамильтоновых структурВ этом разделе мы опишем основные результаты, доказанные Туриэлем в[57], переформулировав их в удобном для нас виде.
В работе [57] описанаструктура согласованных 2-форм в окрестности таких регулярных точек 0 ∈(, 0 , 1 ), что каждое собственное значение либо постоянно, либо не имееткритических точек в некоторой окрестности точки 0 : () ≡ constили () ≠ 0.Такие регулярные точки мы будем называть регулярными некритическими.Следующая общая теорема позволяет свести задачу к случаю, когда характеристический многочлен поля эндоморфизмов = 0−1 1 неразложим.Теорема 36 (Ф.
Туриэль, [57]). Пусть (0 , 1 ) — пара согласованных 2форм на многообразии . Предположим, что характеристический многочлен () поля эндоморфизмов = 0−1 1 распадается в прямое произведение многочленов взаимно-простых в каждой точке многообразия :() = 1 ()2 (),НОД (1 (), 2 ()) ≡ 1.115Тогда у любой точки ∈ существует окрестность , которую можноразложить в прямое произведение(, 0 , 1 ) = (′ , 0′ , 1′ ) × (′′ , 0′′ , 1′′ )так, что характеристические многочлены пар форм (0′ , 1′ ) и (0′′ , 1′′ ) равны 1 () и 2 () соответственно.Отметим, что теорема 36 выполнена в окрестности любой регулярной точки.Случай постоянных собственных значений описывается следующей теоремой.Определение 30.
Невырожденную бигамильтонову структуру (0 , 1 ) мыбудем называть плоской в точке ∈ , если в существуют такие локальныекоординаты в окрестности этой точки, в которых матрицы обеих форм 0 и1 записываются с постоянным коэффициентами.Теорема 37 (Ф. Туриэль, [57]). Невырожденная бигамильтонова структура (0 , 1 ) является плоской в окрестности точки ∈ тогда и толькотогда, когда точка регулярна и все собственные значения постоянны.Случай одного собственного значения без критических точек описываетсяследующими теоремами 38 и 39.Определение 31. Пару невырожденных бигамильтоновых структур( ′ , 0′ , 1′ ) и ( ′′ , 0′′ , 1′′ ) мы будем называть изоморфными, если существует диффеоморфизм ∶ ′ / ′′ такой, что ∗ 0′′ = 0′ , и ∗ 1′′ = 1′ .Теорема 38 (Ф.
Туриэль, [57]). Рассмотрим две пары согласованных 2форм (0′ , 1′ ) и (0′′ , 1′′ ) на многообразиях ′ и ′′ такие, что каждойпаре соответствует только одно непостоянное собственное значение безкритических точек. Тогда регулярные точки ′ ∈ ′ и ′′ ∈ ′′ имеют изоморфные окрестности тогда и только тогда, когда разложения Жордана–Кронекера пар форм (0′ , 1′ ) и (0′′ , 1′′ ) в этих точках совпадают (т.е.состоят из одного и того же набора жордановых блоков).116Не все инварианты Жордана–Кронекера можно реализовать неплоскимисогласованными 2-формами.Теорема 39 (Ф. Туриэль, [57]).
Пусть (0 , 1 ) — пара согласованных 2форм на многообразии с одним собственным значением , которое неимеет критических точек на . Тогда для любой регулярной точки 0 ∈ в разложении Жордана–Кронекера соответствующего касательного пространства (0 , 0 , 1 ) наибольший жорданов блок всегда (строго) больше, чем остальные жордановы блоки.Для каждого набора жордановых блоков, в котором самый большой жорданов блок только один, опишем реализующую его невырожденную бигамильтонову структуру.Теорема 40 (Ф. Туриэль, [57]). Пусть 0 и 1 — согласованные 2-формына многообразии , а 0 ∈ — регулярная точка. Пусть далее у поляэндоморфизмов = 0−1 1 только одно собственное значение и ⋃︀0 ≠0.
Пусть разложение Жордана-Кронекера пары форм 0 и 1 в точке 0состоит из жордановых 1 + 1, 2 , . . . , блоков, где 1 ≥ 2 ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥ . Тогдав окрестности точки 0 существуют локальные координаты(11 , . . . , 11 , 11 , . . . , 11 , 12 , . . . , . . . , , , )такие, что 0 = (∑ ∑ ∧ ) + ∧ =1 =1 −1(3.4.1)1 = 0 + (∑ ∑ ∧ +1 ) + ∧ + 11 ∧ ,=1 =1где 11 = ∑ ∑( + ) + ( − ) .22=1 =1117(3.4.2)Иными словами, матрицы форм имеют следующий вид:⎛ 0 1⎞⎜ −⎟0⎜⎟1⎜⎟⎜⎟⋱⎜⎟⎜⎟⎟,0 = ⎜0⎜⎟⎜⎟⎜⎟−0⎜⎟⎜⎟⎜⎟01⎜⎟⎝−1 0 ⎠1 ()⎛⎜ − ()0 1 + 0⎜ 1⎜⎜⋮⋮⋱⎜⎜1 = ⎜0 () 0⎜⎜⎜− ()00⎜⎜⎜00⋯000⎜⎝ −−1 − ⋯ −− −01001⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(3.4.3)где3 1⎞⎛2 ⎟⎜5 2⎟⎜⎟⎜2 ⎟, = ⎜⎟⎜⋮⎟⎜⎟⎜⎝( + 1 ) ⎠21 1⎛⎞2 ⎜⎟3 2⎜⎟⎜⎟2 ⎟, = ⎜⎜⎟⋮⎜⎟⎜⎟⎝( − 1 ) ⎠2⎛1⎞⎜ ⎟⎜0⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜⋮⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝0⎠(3.4.4)Замечание 14.
∙ Подчеркнём, что последняя координата — это собственное значение . Также отметим, что — это гамильтоново векторное поле с гамильтонианом ± относительно формы 0 . (Знак ± зависитот соглашения о знаках при определении гамильтонова векторного поля.)∙ Слагаемое ∧ нужно, чтобы форма 1 была замкнута.∙ Слагаемое 11 ∧ нужно, чтобы инварианты Жордана-Кронекера вокрестности точки 0 были постоянны.118Следствие 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
