Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли (1102768), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда из (6.5) следует, что −2λ1 = −2λ0 ,(6.12)−kµk−1 = −kµ0k−1 , 2 1k2kλ1 + (k − 1)µ1 = λ0 + (k − 1)µ0 .Соотношения (6.12) выполняются только для (λ0 , µ0 ) = (λ1 , µ1 ).Следовательно, параметризация пробегает поверхность Mν2 однократно, и для почти всех ν размерность S(Mν2 ) не превышает2 dim Mν2 − 3 = 1. Коразмерность страта, задаваемого формулами(6.11), не менее 3 и, переходя к вещественной части (D2 )C также каки в предыдущей лемме, мы получаем требуемый результат.Теоремa 11.
Бифуркацонная диаграмма Σ принадлежит множеству D ∩ F (g).Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно проверить следующий факт: если отображение момента вырождено в точке x ∈ g, то спектральная кривая Γx имеет особую точку. Действительно, по критерию Болсинова [5] существует такое λ0 , что x + λ0 a— сингулярный элемент алгебры gC . В силу леммы 9 cуществует такое значение µ0 , что многочлен P (λ, µ) = det(x + λa − µE) имеетособую точку (λ0 , µ0 ). Таким образом теорема полностью доказанадля gC = sl(n, C) или sp(n, C), а также в случае µ0 6= 0.Пусть g = so(2n), µ0 = 0, и многочлен P не делится на µ4 .
Cледовательно, он делится только на µ2 , и матрица элемента x + λ0 aимеет ровно две одномерные жордановы клетки со значением 0. Таккак централизатор нулевой матрицы в so(2) одномерен, а элементx0 = x + λ0 a должен быть сингулярным, то подсчитывая размерность централизатора Z(x0 ), получаем (см. лемму 9), что существует несколько жордановых клеток для некоторого ненулевого собственного числа. Подставляя соответствующие собственные векторы в лемму 4.7, получаем утверждение теоремы.Для алгебры so(2n + 1) необходимо доказать, что если µ0 = 0,то P делится на µ3 . Это следует из того, что в данном случае P50содержит только нечетные степени µ и в тоже время делится на µ2 .Теоремa 12.
Для почти всех векторов сдвига acodim(D ∩ F (g) − Σ) ≥ 2.Доказательство. В силу предыдущей теоремы и леммы 10 достаточно проверить, что для любого ξ из образа отображения момента,ξ ∈ D \ D2 следует, что ξ ∈ Σ. Действительно, рассмотрим любойпрообраз x = F −1 (ξ). Единственная особая точка кривой Γx имеет вещественные координаты (λ0 , µ0 ), так как в противном случае(λ̄0 , µ̄0 ) — также особая точка Γ−x̄ = Γx . Следовательно, элементx0 = x + λ0 a полупрост и имеет двукратное собственное значение µ0(если µ0 = 0, то трехкратное для so(2n + 1) и четырехкратное дляso(2n)). Таким образом, x0 — сингулярный элемент, и применениекритерия Болсинова завершает доказательство.51Литература[1] Арнольд В.
И. Математические методы классической механики, Москва, Наука, 1979.[2] Браилов Ю. А. Топология бифуркационных диаграмм интегрируемых систем на полупростых алгебрах Ли, Докл. Акад. Наук, Сер. матем., 375, No.2, 151-153, 2000.[3] Браилов Ю. А. Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли, Докл.
Акад. Наук, Сер. матем., 393, No.3,300-303, 2003.[4] Браилов Ю. А. Геометрия сдвигов инвариантов на полупростых алгебрах Ли, Мат. Сборник, 194, N.11, 3-16, 2003.[5] Болсинов А. В. Критерий полноты семейства функций в инволюции построенных методом сдвига аргумента, Докл. Акад.Наук СССР, Сер.
матем., 301, N.5, 1037-1040, 1988.[6] Болсинов А. В., Йованович Б. Интегрируемые геодезическиепотоки на однородных пространствах, Мат. Сборник, 192, N.7,21-40, 2001.[7] Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновысистемы. Геометрия, топология, классификация, Издательский дом "Удмуртский университет Ижевск, 1999.[8] Болсинов А. В., Фоменко А. Т.
Введение в топологию интегрируемых интегрируемыех гамильтоновых систем, Москва,Наука, 1997.[9] Борисов А. В., Мамаев И. С. Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003.52[10] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебрыЛи в гамильтоновой механике, РХД, Издательский дом "Удмуртский университет Ижевск, 1999.[11] Бурбаки Н.
Группы и алгебры Ли, Москва, Мир, 1978.[12] Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, Москва, Наука, 1988.[13] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, Москва. Наука. 1966.[14] Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры, Москва,Мир, 1978.[15] Дубровин Б. А., Кричивер И. М., Новиков С. П. Интегрируемыесистемы I. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления.
т.4, М. ВИНИТИ, 179-288,1985.[16] Ковалевская С. В. Задача о вращении твердого тела околонеподвижной точки, В кн.: Ковалевская С. В. Научные работы(Классики науки), Москва, 153-232, 1948.[17] Манаков С. В. Замечание об интегрировании уравнений Эйлерадинамики n-мерного твердого тела, Функциональный анализ иего приложения, 10, N.4, 1976.[18] Мищенко А.
С., Фоменко А. Т. Об интегрируемости уравненийЭйлера на полупростых алгебрах Ли, Докл. Акад. Наук, 231,1976, N.3, 536-538.[19] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли, Изв. Акад. Наук СССР, Сер. матем., 42,N.2, 396-415, 1978.[20] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Интегрируемость уравненийЭйлера на полупростых алгебрах Ли, Труды сем.
по вект. и тенз.анализу. 19, Москва, Изд-во Моск. Унив. 3-94. 1979.[21] Новиков С. П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза I,Функц. анализ, 8, вып. 3, 54-66, 1974.53[22] Нгуен. Т. З. Топологические инварианты интегрируемых геодезических потоков на многомерном торе и сфере, Труды МИРАН, 205, 73-91, 1994.[23] Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем,Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет 1999.[24] Орел. О. Е. Функция вращения для интегрируемых задач, сводящихся к уравнения Абеля. Траекторная классификация систем Горячева-Чаплыгина, Матем.
Сборник, 186, вып. 2, 105128, 1995.[25] Орел. О. Е., Такахаши. Ш. Траекторная классификация интегрируемых задач Горячева-Чаплыгина методами компьютерного анализа, Матем. Сборник, 187, вып. 1, 95-112, 1996.[26] Ошемков А. А. Топология изоэнергетических поверхностей ибифуркационные диаграммы интегрируемых случаев динамикитвердого тела на SO(4), УМН, 42, вып.
2, 199-200, 1990.[27] Ошемков А. А. Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых систем с двумя степенями свободы, Труды семинара по векторному и тензорному анализу, вып. 23, Москва,изд-во МГУ, 122-132, 1988.[28] Рейман А. Г. Интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с градуированными алгебрами Ли, Записки ЛОМИ, т. 95,3-54, 1980.[29] Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений, М.,Факториал, Изд-во Удм. ун-та, 1995.[30] Харламов М. П.
Топологический анализ классических интегрируемых случаев динамики твердого тела, Докл. Акад. НаукСССР, Сер. матем., 273, N.6, 1322-1325, 1983.[31] Brailov Yu. A., Fomenko A. T. Lie groups and integrableHamiltonian systems, Recent Advances in Lie Theory, Heldermann,2002.54[32] Oshemkov A.
A. Fomenko Invariants for the Main IntegrableCases of the Rigid Body Motion Equations, Advances in SovietMathematics, AMS, 6, 67-146, 1991.[33] Mumford D. Tata lectures on theta, Birkhaüser, Boston, 1984. Пер.с англ.: Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях, Москва, Мир,1988.[34] Moser J. Integrable Hamiltonian System and Spectral Theory,Lezioni Fermiani, Pisa, 1981. Пер. с англ.: Мозер Ю. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория, М.-Иж.,РХД, 184-254, 1999[35] Williamson J. On the algebraic problem concerning the normalforms of linear dinamical systems, American Journal ofMаthematics, 1937, vol. 47, N.4, 719-733, 1995.55.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
