Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли (1102768), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Функции Λij (Ak ) линейно независимы и их число равно размерности подпространства Vk . Определитель Dnk , образованный их коэффициентами, вычисляется по формуле:YkDn =(ai − aj ),(4.17)(i,j)∈Mгде множество индексов M имеет видM = {(i, j)|i − j ≥ k} ∪ (1, 2)\(1 + k, 1).(4.18)Доказательство. Пусть S – множество из s переменных λ1 , . . . , λs .Обозначим коэффициент многочленаP (t) = (t − λ1 )(t − λ2 ) . . . (t − λs )38при ts−k как σk (S).Каждая переменная из Vk входит в единственный главный минорпорядка k + 1. Пусть множество его индексов — это S+ , S+ t S− ={a1 , .
. . , an }. Тогда данный минор входит в функции fij степени kс коэффициентами σ0 (S− ), . . . , σk−1 (S− ). Выпишем явно множестваS− для всех переменных из Vk :ak+2,1 :S1 = (a2 , ak+3 , . . . , an ),ak+2,2 :S2 = (a1 , ak+3 , . . . , an ),ak+3,3 :S3 = (a1 , a2 , ak+4 , . . . , an ),···an−1,n−k−1 : Sn−k−1 = (a1 , a2 , . . .
, an−k−2 , an ),an,n−k :Sn−k = (a1 , a2 , a3 , . . . , an−k−1 ).Определитель Dnk матрицы коэффициентов линейныхпринимает в таких обозначения следующий вид: σ (S )σ0 (S2 )...σ0 (Sn−k )0 1 σ (S )σ1 (S2 )...σ1 (Sn−k )1 1Dnk = ............ σn−k−1 (S1 ) σn−k−1 (S2 ) . . . σn−k−1 (Sn−k )функций Mnk.(4.19)Формулу (4.17) нетрудно доказать индукцией по размерности алгебры n. Действительно, при n = k + 2 определитель имеет порядок2 и равен a1 − a2 . Шаг индукции:kDnk = Dn−1(an − a1 )(an − a2 ) .
. . (an − ak ) =(4.20)k= Dn−1 (akn + σ1 ak−1+...+σ),k−1nгде симметрические многочлены σi вычислены от переменныхa1 , . . . , ak . Разлагая определитель (4.19) по первому столбцу, получаем, что нам достаточно доказать следующий факт: алгебраическоеkдополнение к элементу строки с номером i равно (−1)i Dn−1ank−i . Заметим, чтоσi (S t an ) = σi (S) − σi−1 (S)an .(4.21)Поэтому матрица M̃nk , полученная из Mnk вычеркиванием первогостолбца, представляется в виде: k Mn−10 + an .M̃nk = (4.22)k0Mn−139После того, как из этой матрицы вычеркивается строка с номеромi, ее определитель легко вычисляется.
Для этого нужно заметить,что производя элементарные преобразования над строками матрицы, мы можем привести ее к такому виду, в котором первые i − 1строк совпадают с первыми i − 1 строками в первом слагаемом разложения (4.22), a последние k − i строк совпадают с последнимиk − i строками второго слагаемого. Вынося из последних k − i строкмножитель ak−i , мы завершаем доказательство индукционного перехода. Лемма доказана.Доказательство основной теоремы теперь завершено, так как повектору ξ можно, двигаясь по градуировке, вычислить все элементыискомой матрицы b.40Глава 5Регулярные точки отображениямомента на компактных алгебрахЛиРассмотрим инволютивный набор функций (f1 , . .
. , fN ), полученныйметодом сдвига инвариантов на компактной полупростой алгебреЛи g. В силу полноты данного набора функций, его неособые совместные поверхности уровня являются объединениями торов. Докажем следующие утверждения о строении множества особых точек.Теоремa 9. Для почти всех регулярных векторов сдвига a множество неособых точек отображения момента Fa связно.Теоремa 10. Любая неособая совместная поверхность уровня состоит ровно из одного тора.Доказательство. Пусть Sing(g) обозначает множество сингулярных элементов алгебры. Определим множестваg1 (a) = { x ∈ g | ∃λ ∈ R, x + λa ∈ Sing(g) },g2 (a) = { x ∈ g | ∃λ ∈ C \ R, x + λa ∈ Sing(gC ) }.(5.1)Критерий Болсинова (7) для компактной алгебры Ли имеет такой же вид, но сингулярные элементы надо рассматривать не только в алгебре g, но и в ее комплексификации gC .
Поэтому, множествоg1 (a) ∪ g2 (a) есть в точности множество сингулярных точек отображения момента Fa .Коразмерности множества g1 (a) равняется 2. Это сразу следует из того, что для полупростой алгебры codim Sing(g) = 3. Дока41жем,что для почти всех a коразмерность множества g2 (a) не меньше 4. Действительно, пусть это не так. Множество ненулевых вещественных чисел обозначим как R∗ . Имеем codim g2 (a) ≤ 3. Тогдакоразмерность множестваS(a) = Sing(gC ) ∩ (g + iR∗ a)(5.2)в g + iR∗ a меньше или равна 4 для почти всех a, в силу того, чтоg2 (a) = Prg (S(a)) + Ra.(5.3)С другой стороны,CSing(g ) = [S(a) ∪ Sing(g),(5.4)a∈P gгде P g — это проективизация алгебры g, dim P g = dim g − 1. Получаем противоречие, так как вещественная коразмерность множестваSing(gC ) равна 6.Лемма 7.
Если x1 принадлежит g1 (a) и Fa (x2 ) = Fa (x1 ), то x2также принадлежит g1 (a), т.е. Fa (g1 (a)) не разделяет множества регулярных значений.Следствие 2. Для почти всех векторов сдвига a регулярные точки отображения момента Fa образуют открытое связное множество.Доказательство. По условию существует такое λ0 ∈ R, что y1 =x1 + λ0 a ∈ Sing(g). Рассмотрим элемент y2 = x2 + λ0 a. Инвариантыалгебры принимают на нем те же значения, что и на y1 . Так какзначения инвариантов однозначно определяют орбиту в компактнойалгебре, то y1 и y2 лежат на одной и той же орбите и, следовательно,сингулярны одновременно.Пусть a таково, что codim g2 (a) ≥ 4.
Рассмотрим два регулярныхзначения ξ1 = Fa (x1 ) и ξ2 = Fa (x2 ). Точки x1 и x2 можно соединитьнепрерывным путем γ(t), проходящим только через регулярные точки. Путь Fa (γ(t)) соединяет ξ1 и ξ2 . При этом он не может пересекатьFa (g1 (a)) в силу только что доказаной леммы. Также можно считать,что этот путь не пересекает Fa (g2 (a)), так как в точках g2 (a) ранг42отображения момента падает не менее чем на 2, и соответственноcodim Fa (g2 (a)) ≥ 2.
Следствие 2 доказано.Докажем теперь теорему 10. Так как для почти всех a у нас ужеесть связность множества регулярных значений, то остается проверить утверждение теоремы 10 хотя бы в одной точке. В качестветакой точки мы возьмем точку максимального падения ранга инволютивного набора на регулярной орбите и докажем ее невырожденность в смысле теории интегрируемых систем (см. [7]). Окончательное доказательство теоремы следует из леммы 8 и соображенийнепрерывности.Зафиксируем некоторую картановскую подалгебру H и соответствующее разложение алгебры в прямую сумму g = H ⊕ V. Длявектора сдвига a ∈ H любой регулярный элемент x0 ∈ H является точкой максимального вырождения коммутативного набора нарегулярной орбите O(x0 ) (см.
теорему 4).Лемма 8. Пусть прямая x0 + λa находится в общем положениис гиперплоскостями Ker α, α ∈ ∆(H). Тогда инволютивный набор(f1 , . . . , fN ) имеет в точке x0 невырожденную особенность типа"центр-центр-...-центр".Доказательство. Касательное пространство к орбите O(x0 ) канонически отождествляется с пространством V , которое является прямой суммой двумерных вещественных корневых подпространств видаVα = hEα + E−α , i(Eα − E−α )i,α ∈ ∆+ (H).Определим число λi условием αi (x0 + λi a) = 0. Рассмотрим напространстве H многочлен, который в точке yi = x0 + λi a имеетвид αi2 (h) + o(h2 ) и вид 0 + o(h2 ) в точках W yi , где W — группаВейля.
Усреднив этот многочлен по дествию группы W , мы можемпродолжить его до некоторого инварианта алгебры I, grad I(yi ) =0. Разлагая этот инвариант в ряд Тейлора в точке yi , мы видим,что его квадратичная часть совпадает с квадратичным инвариантомцентрализатора элемента yi и имеет вид αi2 (h) + p2α + qα2 , где pα и qα— координаты на Vα .Для доказательства этого факта достаточно дважды продифференцировать соотношение I(Adexp(v) yi ) = const43по v и получить, что hd2 I(yi ), adv yi i = 0, т.е. квадратичная частьрассматриваемого инварианта равна нулю на подпространсте Vα⊥ ⊂V .
Таким образом, для каждого i = 1, . . . , 12 dim O построена функция вида I(x + λi a), принадлежащая кольцу сдвигов инвариантов иимеющая вид p2α + qα2 + o(v 2 ) на касательном пространстве к орбите. Из линейной независимости квадратичных форм p2α + qα2 следуетутверждение леммы.Для завершения доказательства теоремы 10 рассмотрим поверхность уровня Mξ . Она является компактным подмножеством некоторой орбиты O. Рассмотрим cходящуюся последовательность {ai } →a, такую, что для любого i поверхность уровня Fa−1(ξ) — регулярныйiтор.Если Mξ имеет хотя бы две компоненты связности M1 и M2 ,то они имеют непересекающиеся открытые ε-окрестности Uε (M1 ) иUε (M2 ).
Так все Fa−1(ξ) связны, то они имеют непустое пересечениеiс замкнутым множеством O \ (Uε (M1 ) ∩ Uε (M2 )). Следовательно, существует последовательность {xi }, xi ∈ Fa−1(ξ), из которой нельзяiвыделить подпоследовательность, сходящуюся к Mξ . Это противоречит непрерывной зависимости компонент отображения Fa от a.Теорема доказана.44Глава 6Компактные полупростые алгебрыЛи и спектральные кривыеРассмотрим компактную простую алгебру Ли g ранга r, принадлежащую одной из основных серий Ar , Br , Cr или Dr , в матричномпредставлении минимальной размерности n.В кольце инвариантов присоединенного представления I(g) можно выбрать систему порождающих элементов I1 , I2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
