Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли (1102768), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для минимальных представлений таких алгебропределяется понятие спектральной кривой и доказываются следующие утверждения:Теорема 11. Бифуркацонная диаграмма Σ принадлежит множеству D ∩ F (g).Теорема 12. Для почти всех векторов сдвига acodim(D ∩ F (g) − Σ) ≥ 2.Далее мы строим параметризацию множества D и сводим задачуо нахождении основного страта бифуркационной диаграммы к отбору ветвей дискриминанта, проходящих через образ отображениямомента. Этот отбор является в каком-то смысле тривиальным, таккак мы уже доказали в предыдущей главе, что множество регулярных значений связно, и основной страт Σ ограничивает ровно однукамеру в дополнении к дискриминанту.

При этом вопрос о непустоте множества (D \ Σ) ∩ F (g) остается открытым для компактныхалгебр.Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям — академику А. Т. Фоменко и профессору А. В. Болсинову за большое внимание к работе и ряд ценных замечаний, определивших направления ее развития.9Глава 1Cдвиги инвариантов наалгебре su(3)Минимальная компактная алгебра, на которой сдвиги инвариантовобразуют нетривиальную интегрируемую систему – это su(3). В третьей главе приведена теорема 3, сводящая изучение ранга отображения момента в точках подалгебры к изучению ранга сдвигов инвариантов подалгебры. Так как su(3)-подалгебры есть почти во всехкомпактных полупростых алгебрах Ли, то мы проведем подробноеисследование этого случая.

На примере алгебры su(3) мы изучимосновные геометрические свойства отображения момента, исследованию которых посвящена данная работа.1.1Уравнения движенияПусть X – элемент алгебры su(3),a = diag(ia1 , ia2 , ia3 ),b = diag(ib1 , ib2 , ib3 ),фиксированные регулярные элементы из диагональной подалгебрыh в стандартном матричном представлении, D — симметричный оператор на h. Определим оператор ϕ следующим образом: на h он совпадает с D, а на ортогональном дополнении к h по биинвариантнойформе имеет вид (ada )−1 ◦ adb .

Динамика системы задается уравнениями:∂X = [X, ϕ(X)],∂t10или∂(X + λa) = [X + λa, ϕ(X) + λb],∂tгде λ — произвольный скалярный параметр [20].Отметим, что коммутативный набор интегралов исследуемой системы полностью определяется вектором сдвига a. Значения b и Dопределяют выбор гамильтониана в этом наборе в соответствии сформулой H1 = 12 Tr(Xϕ(X)). Так как в дальнейшем нам понадобится только сам гамильтониан, то мы не будем искать конкретныйвид b и D.Пусть матрица X + λa − µE имеет видi(z1 + λa1 − µ)x3 + iy3x2 + iy2. −x3 + iy3i(z2 + λa2 − µ)x1 + iy1−x2 + iy2−x1 + iy1i(z3 + λa3 − µ)PPPТак как X, a, b ∈ su(3), тоzi = ai = bi = 0. Положимψi = xi + iyi ,i = 1, 2, 3.При любом λ матрица X + λa испытывает изоспектральную деформацию, и поэтому коэффиценты характеристического полинома−i Det(X + λa − µE) при различных мономах λi µj дают интегралыдвижения:I3 = z1 z2 z3 + 2 Im ψ1 ψ̄2 ψ3 − z1 |ψ1 |2 − z2 |ψ2 |2 − z3 |ψ3 |2 ,I2 = −z1 z2 − z2 z3 − z3 z1 + |ψ1 |2 + |ψ2 |2 + |ψ3 |2 ,H1 = a1 |ψ1 |2 + a2 |ψ2 |2 + a3 |ψ3 |2 − a1 z2 z3 − a2 z3 z1 − a3 z1 z2 ,H2 = a1 z1 + a2 z2 + a3 z3 ,H3 = a1 a2 z3 + a2 a3 z1 + a3 a1 z2 .(1.1)Интегралы I2 и I3 являются инвариантами алгебры, H1 — квадратичный гамильтониан, а H2 и H3 — линейные интегралы, задающиепуассоново действие двумерного тора.1.2Регулярные уровни отображения моментаДля изучения топологии слоения Лиувилля в данной задаче необходимо определить те значения интегралов, при которых инвариантное трехмерное многообразие не будет регулярным трехмерным11тором.

Классическим методом проверки регулярности уровня является вычисление ранга матрицы первых частных производных отображения моментaF : su(3) → R5 ,F (X) = {I3 (X), I2 (X), H1 (X), H2 (X), H3 (X)}.Кроме пяти указанных интегралов, в девятимерном пространствес координатами xi , yi , zi имеется одно уравнение связи: z1 + z2 + z3 =0. Заметим, что в силу регулярности элемента a линейные функцииH2 , H3 и z1 + z2 + z3 функционально независимы: 111 a1aa23 = (a1 − a2 )(a2 − a3 )(a3 − a1 ) 6= 0.

a2 a3 a3 a1 a1 a2 Таким образом, ранг отображения моментов зависит только отпроизводных по переменным xi и yi . Запишем соответствующие векторы 21 ∂I2 , 12 ∂H1 и 12 ∂I3 в виде матрицы J размера 6 × 3 :J =x1y1x2y2x3y3a1 x 1a1 y 1a2 x 2a2 y 2a3 x 3a3 y 3−z1 x1 + x2 y3 − x3 y2−z1 y1 + x2 x3 − y2 y3−z2 x2 + x3 y1 + x1 y3−z2 y2 − x1 x3 + y1 y3−z3 x3 + x2 y1 − x1 y2−z3 y3 + x1 x2 + y1 y2Теоремa 1. Бифуркационная диаграмма отображения моментасостоит из шести вершин, каждая из которых соединена с тремядругими прямолинейными ребрами, и четырех стенок, замыканиекоторых содержит восемь ребер из девяти.

Общий вид диаграммы изображен на Рис. 1 и Рис. 2, а параметризации отдельныхстратов содержатся в доказательстве.Доказательство.• Вершины бифуркационной диаграммы:rk J = 0 ⇒ ψ1 = ψ2 = ψ3 = 0. ⇒12I3 = z1 z2 z3 I2 = −z1 z2 − z2 z3 − z3 z1H1 = −a1 z2 z3 − a2 z3 z1 − a3 z1 z2 ⇒ ∀i, zi3 − zi I2 − I3 = 0.H = a1 z1 + a2 z2 + a3 z3 2H3 = a1 a2 z3 + a2 a3 z1 + a3 a1 z2Нетрудно видеть, что числа z1 , z2 и z3 являются различнымикорнями многочленаF (t) = t3 − tI2 − I3 = 0.(1.2)Те значения I2 и I3 , при которых этот многочлен имеет триразличных вещественных корня, в точности определяют регулярные орбиты коприсоединенного представления.

В результате мы получаем шесть перестановок корней многочлена(1.2) и, соответственно, шесть вершин бифуркационной диаграммы. Отметим также, что соотвтствующие критические точки являются пересечениями рассматриваемой орбиты и диагональной картановской подалгебры h.• Ребра бифуркационной диаграммы: rk J = 1.Заметим, что если ∃i, j, i 6= j такие, что ψi 6= 0 и ψj 6= 0, тов силу регулярности элемента a два первых столбца матрицыJ будут линейно независимы и ее ранг будет больше 1.Не теряя общности, можно считать, что ψ1 = ψ2 = 0. ТогдаI3 = z1 z2 z3 − z3 |ψ3 |232 ⇒ z3 − z3 I2 − I3 = 0. (1.3)I2 = −z1 z2 − z2 z3 − z3 z1 + |ψ3 |Обозначим корни многочлена (1.2) как z10 , z20 и z30 .

Таким образом z3 = z30 является фиксированным корнем. В силу (1.3)получаем, что числа z1 , z2 , z3 удовлетворяют уравнениюF (t) = t3 − I2 t − I3 = − |ψ3 |2 (t − z3 ).(1.4)Геометрический смысл этого соотношения заключается втом, что z1 и z2 являются точками пересечения графикаt3 − I2 t − I3 и подвижной прямой − |ψ3 |2 (t − z3 ) с параметром13|ψ3 |2 . Таким образом, изменение |ψ3 |2 соответствует тому,что z1 и z2 меняются местами (см. рис. 1). Следовательно,это ребро ведет из вершины (z10 , z20 , z30 ) в вершину (z20 , z10 , z30 ).Выберем в качестве нового параметра z1 ∈ [z10 , z20 ]. Учитываяформулы z2 = −z1 −z3 и |ψ3 |2 = I2 +z1 z2 −z2 z3 −z3 z1 , получаем,что ребро является отрезком прямой и задается следующимобразом: H1 = a3 I2 + z1 z3 (a1 − a2 ) + z32 (a1 − a3 )H = z1 (a1 − a2 ) + z3 (a3 − a2 ) 2H3 = z1 a3 (a2 − a1 ) + z3 a1 (a2 − a3 )(1.5)Аналогично доказывается, что любая другая вершина(zi0 , zj0 , zk0 ) соединена прямолинейными ребрами с вершинами (zj0 , zi0 , zk0 ), (zi0 , zk0 , zj0 ) и (zk0 , zj0 , zi0 ).• Стенки бифуркационной диаграммы: rk J = 2.Пусть для ∀i ∈ {1, 2, 3}, ψi 6= 0.

Видно, что тогда для любого a векторы 21 ∂I2 и 21 ∂H1 линейно независимы, поэтому мыбудем искать линейную зависимость столбцов в виде111α∂I2 + β∂H1 = ∂I3 .222(1.6)Для упрощения последующих вычислений введем вспомогательные переменныеωi = −α − βai + zi ,i = 1, 2, 3.(1.7)Тогда условие (1.6) принимает вид:ω1 x1 = x2 y3 − x3 y2ω3 ω1 x1 = |ψ2 |2 x1ω1 y1 = x2 x3 + y2 y32 ω3 ω1 y1 = |ψ2 | y1ω2 x2 = x3 y1 + x1 y3⇒ω3 ω2 x2 = |ψ1 |2 x2 .ω2 y2 = −x1 x3 + y1 y32ωωy=|ψ|y23221ω3 x3 = x2 y1 − x1 y2ω3 ψ3 = iψ̄1 ψ2ω3 x3 = x1 x2 + y1 y2Учитывая полученые соотношения, получим, что14(1.8)|ψi |2 = ωj ωk ,i 6= j 6= k 6= i,(1.9)и формулы для инвариантов можно преобразовать к следующему виду:I3 = z1 z2 z3 + 2ω1 ω2 ω3 − z1 ω2 ω3 − z2 ω3 ω1 − z3 ω1 ω2 ,I2 = −z1 z2 − z2 z3 − z3 z1 + ω1 ω2 + ω2 ω3 + ω3 ω1 .Подставим выражения для ωi в предыдущие формулы и убедимся, что после приведения подобных членов они становятсялинейными по zi .

Дополним их соотношением z1 + z2 + z3 = 0до системы трех линейных уравнений, решив которую мы выразим z1 , z2 и z3 через α и β. PP22332(α+aaβ−aαβ)z=I+2α+2βaaa+2αβai ajjkii3123i=1,2,3 PP(−2α + ai β)zi = I2 − 3α2 − β 2 ai aji=1,2,3Pzi = 0i=1,2,3⇓(I3 − α + αI2 + βI2 − 3ai α β + ai β 3 (a2i + aj ak ) + αβ 2 (−a2i + aj ak ))zi =,β 2 (ai − aj )(ai − ak )32где j и k таковы,что (i, j, k) — положительная перестановка.Для того, чтобы получить искомую параметризацию стенокбифуркационной диаграммы, используем формулы: H1 = a1 ω2 ω3 + a2 ω3 ω1 + a3 ω1 ω2 − a1 z2 z3 − a2 z3 z1 − a3 z1 z2 ,H = a1 z1 + a2 z2 + a3 z3 , 2H3 = a1 a2 z3 + a2 a3 z1 + a3 a1 z2(1.10)Подставляя в эти формулывыражения для zi , получим:Pα3H=−−αβai aj − αIβ 2 − a1 a2 a3 β 2 − 2Iβ3 ,1βP2H2 = − 3αβ − β ai aj + Iβ2 , H = − α3 + α P a a + αI2 + 2a a a β + I3 ,3i j1 2 3β2β2β215(1.11)Pdefai aj = a1 a2 + a2 a3 + a3 a1 .Область изменения параметров α и β в силу (1.9) определяется условиямиω1 ω2 > 0, ω2 ω3 > 0, ω3 ω1 > 0.(1.12)Это эквивалентно тому, что все ωi имеют одинаковый знак.Несложные выкладки позволяют убедиться в том, что(ai − aj )(ai − ak )ωi > 0 ⇐⇒ (α + ai β)3 − I2 (α + ai β) − I3 < 0.Рассмотрим ось α на плоскости (α, β).

Характеристики

Список файлов диссертации