Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли (1102768), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Эта ось разбиваетсякорнями многочлена F (t) на четыре интервала, два “положительных” и два “отрицательных” в соответствии со знакомF (t). Пусть a1 < a2 < a3 , а z10 < z20 < z30 — корни F (t). Отметим, чтоsign[(α + ai β)3 − I2 (α + ai β) − I3 ] = sign[F (π(α, β))],где π(α, β) – проекция точки (α, β) на ось α вдоль прямойα + ai β = const. Множество интересующих нас значений αи β состоит из двух частей.

Первая часть проектируетсявдоль прямых α + a1 β = const и α + a3 β = const в “положительные” интервалы, а вдоль α + a2 β = const в “отрицательные”. Вторая область проектируется в точности наоборот.(Рис. 3)Замечание. Орбита, проходящая через вектор сдвига a, обладает более простой структурой стенок бифуркационной диаграммы, так как в этом случае три прямыеα + ai β − zi0 = 0,i = 1, 2, 3пересекаются в одной точке. Действительно, в этом случае∀i, F (ai ) = 0, и эта точка – точка (0, 1). Из-за этого все грани бифуркационной диаграммы будут вложенными образамичетырехугольников, а внутреннее ребро будет иметь толькодве общие точки с гранями.161.3Спектральная криваяХарактеристический полином матрицы X + λa, входящей в уравнение Лакса, определяет в C2 спектральную кривуюΓX : Det(X + λa − µE) = 0.В нашей задаче спектральная кривая имеет вид R(λ, µ) = 0, гдеR(λ, µ) = −i Det(X + λa − µE) =P= µ3 − I2 µ − I3 + λH1 − λµH2 − λ2 H3 + λ2 µ ai aj − λ3 a1 a2 a3 .Отметим, что при описании бифуркационной диаграммы мы уженеоднократно пользовались многочленом F (t) = R(0, t).

Вообще,следуя идеям И.М. Кричевера и С.П. Новикова, часто удается доказать такой факт: динамика системы, обладающей представлениемЛакса, линеаризуется с помощью отображения Абеля на якобианеспектральной кривой. Соответственно имеется прямая связь междубифуркационными значениями интегралов и появлением особенностей на спектральной кривой. Покажем, что таким образом можнолегко получить найденную выше параметризацию.Пусть аффинная кривая R(λ, µ) = 0 имеет особую точку (λ0 , µ0 ).Тогда многочлен R(λ, µ) представляется в виде:R(λ, µ) = (λ − λ0 )2 (−λa1 a2 a3 + χ1 ) + (λ − λ0 )(µ − µ0 )(χ2 +P+( ai aj )(λ − λ0 ) + χ3 (µ − µ0 )) + (µ − µ0 )2 (µ + χ4 ),где χ1 , χ2 , χ3 и χ4 — неизвестные параметры.

Рассматривая коэффиценты при 1, µ, µ2 и λµ2 , получаем, чтоµ30 − µ0 I2 − I3χ1 =,λ20P−3µ20 + λ20 ai aj + I2χ2 =,λ0χ3 = 0,χ4 = 2µ0 .Остается выразить H1 , H2 и H3 с помощью коэффициентов приλ, λ2 и λµ. Нетрудно видеть, что эти формулы совпадают с полученными ранее с точностью до замены µ0 на α и λ0 на −β:17Pµ303+λµH=ai aj + µλ00I2 − a1 a2 a3 λ20 + 2I001λ0λ0 ,P20H2 = 3µ+λai aj − λI20 ,0λ0P H3 = − µ230 + µ0 ai aj + µ02I2 − 2a1 a2 a3 λ0 + I32 .λλλ000Этот эффект объясняется следующим образом. Рассматриваемаясистема представляется в следующем виде:∂Aλ = [Aλ , f (Aλ , λ)+ ],(1.13)∂tгде Aλ = X + λa и f (Aλ , λ) − многочлен от Aλ , λ и λ−1 , а( )+ обозначает полиномиальную часть разложения в ряд по степеням λ. Кроме того,H1 = Resλ=0 Tr (Q(Aλ , λ)),f (µ, λ) =∂Q(µ, λ).∂µ(1.14)В такой ситуации выполняется теорема [28] о линеаризации фазового потока, заданного в виде (1.13), на якобиане спектральнойкривой ΓX .

Для su(3) функция Q(µ, λ) имеет вид − 13 µ3 λ−2 .При вырождении спектральной кривой ее якобиан вырождаетсяи становится некомпактным. При этом линейный поток на якобиане становится непериодическим, а у слоения Лиувилля появляется особый слой. Конечно, таким методом можно получить толькокомплексную бифуркационную диаграмму комплексифицированнойсистемы.

Ее вещественная часть будет содержать диаграмму вещественной системы в виде подкомплекса коразмерности 0.1.4Точки типа “фокус-фокус”Как был доказано выше, бифуркационная диаграмма сдвигов инвариантов для алгебры su(3) всегда содержит изолированный одномерный страт. Такая ситуация является типичной для сдвигов инвариантов на компактных алгебрах Ли, и поэтому мы подробно изучимстроение одной невырожденной особой точки такого типа. Фактически мы исследуем единственную, с точностью до диффеоморфизма,нетривиальную невырожденную особенность коммутативного набора на su(3).18Рассмотрим следующий векторрем исследуемую точку в виде0J =  −10сдвига a = diag(i, −i, 0) и выбе1 00 0 .0 0(1.15)Так как эта точка принадлежит блочной su(2) ⊕ R подалгебре,содержащей вектор сдвига a, то ранг отображения момента в этойточке равен 1, (см.

теорему 3). Докажем, что J является невырожденной точкой типа "фокус-фокус".Введем в окрестности точки J на орбите присоединенного представления экспоненциальные координаты:X = Adexp x J,x ∈ Z(J)⊥ .(1.16)Элемент касательного пространства к орбите выберем в видеix1ix2x3 + ix4(1.17)ix2−ix1x5 + ix6  .x=−x3 + ix4 −x5 + ix60Симплектическая форма Кириллова-Костанта в этих координатахприобретает следующий вид:ω = 16dx1 ∧ dx2 + 2dx3 ∧ dx5 + 2dx4 ∧ dx6 .(1.18)Разложения интегралов в точке J с точностью до членов третьегопорядка имеют вид:H1 = x23 + x24 − x25 − x26 + o(x2 ),H2 = −x2 + o(x2 ),H3 = 2x4 x5 − 2x3 x6 + o(x2 ).(1.19)Для того, чтобы получить приведенные формулы, достаточно подставить в (1.16) разложение exp x в ряд Тейлора с точностью доo(x2 ), а затем подставить результат в формулы для интегралов(1.1) и привести подобные члены.

(Так как требовалось приведениенескольких сотен слагаемых, то был использован математическийпакет Maple V.)19Как мы видим, рассматриваемая особенность распадается в прямое произведение неособой точки и четырехмерной особенности интегралов H1 и H3 на подпространстве hx3 , x4 , x5 , x6 i. Для определения типа этой особенности, согласно критерию 1.1.4, [7] и теоремеВильямсона [35], следует рассмотреть корни многочленаdet(Ad2 H1 + Bd2 H3 − λω).(1.20)Подставляя полученные выше формулы для d2 H1 , d2 H3 и ω в (1.20),мы получаем, чтоλ = ±A ± B.Следовательно, рассматриваемая точка J — это действительноневырожденная особенность типа "фокус-фокус".20Глава 2Точки сильного вырождениясдвигов инвариантов2.1Подалгебры, состоящие из критических точекРассмотрим сдвиги инвариантов на двойственном пространстве кнекоторой алгебре Ли g.

Оказывается, что в алгебре g существуютцелые подалгебры, состоящие из особых точек отображения моментаF . Ниже мы опишем их строение в зависимости от вектора сдвигаa.Напомним, что для любого элемента a двойственного пространства g∗ к алгебре, его аннулятор определяется как:Ann a = { x ∈ g | ∀ξ ∈ g, ha, [x, ξ]i = 0 }.(2.1)Индексом алгебры g по определению называется размерность ковектора общего положения в g∗ .Напомним также простую и полезную лемму:Лемма 1. ([19]) Предположим, что x – регулярный элемент коалгебры g∗ . Тогда линейная оболочка дифференциалов локальных инвариантов коприсоединенного представления в точке x совпадаетс аннулятором Ann(x) .Теоремa 2.

Рассмотрим произвольную алгебру g над R или C, ирегулярные элементы a ∈ g∗ и x0 ∈ g∗ . Пусть l — подалгебра g.Обозначим ограничения линейных функций a и x0 на подалгебру lкак b и y0 . Предположим, что21(1) ind l = ind g;(2) функциональная размерность кольца инвариантов коприсоединенного представления на g∗ и на l∗ совпадает с индексомg;(3) существуют такие λ, µ, что µx0 + λa – регулярный элементg∗ , и µy0 + λb – регулярный элемент l∗ ;(4) для любого регулярного элемента z = µx0 + λa выполняется:Ann(z) ⊂ l.Тогда линейные пространства, порожденные дифференциаламисдвигов инвариантов g∗ на ковектор a, и порожденные сдвигамиинвариантов l∗ на ковектор b, совпадают.Доказательство. Пусть z = x0 + λa.

Тогдаdef4Anng (z) = {x ∈ g|∀g ∈ g, z([x, g]) = 0} = {x ∈ l|∀g ∈ g, z([x, g]) = 0} ∈∈ {x ∈ l|∀g ∈ l, z([x, g]) = 0} = Ann(z|l )(2.2)С другой стороны, по предположению теоремы, индекс l и индекс gсовпадают. Следовательно, dim Anng (z) = dim Annl (z|l ).Заметим, что дифференциалы инвариантов являются непрерывными функциями. Сингулярные точки прямой x0 + λa образуют наней множество нулевой меры и поэтому не влияют на рассматриваемую линейную оболочку. Применение леммы 1 завершает доказательство:SShdI(x0 + λa)i = hAnng (x0 + λa)i =I∈I(g∗ )x0 +λa∈Reg(g∗ )=hSx0 +λa∈Reg(g∗ )Annl (x0 + λa)i = hy0 +λb∈Reg(l∗ )SJ∈I(l∗ )y0 +λb∈Reg(l∗ )22dJ(y0 + λb)i.(2.3)Следствие 1. Предположим, что в условиях теоремы 2 элементы x0 и y0 регулярны. Тогда пространства, порожденные дифференциалами ограничений рассматриваемого инволютивного наборана орбиты O(x0 ) ∈ g∗ и O(y0 ) ∈ l∗ , совпадают:[[dJ|O(y0 ) (y0 + λb)i.(2.4)dI|O(x0 ) (x0 + λa)i = hhI∈I(g∗ ), ∀λJ∈I(l∗ ), ∀λДоказательство.

Повторяя доказательство теоремы 2, мы видим,что теперь Ann x0 = Ann y0 . Это подпространство принадлежит обеим частям (2.3). Касательное пространство к орбите коприсоединенного представления канонически отождествляется с факторпространством алгебры по аннулятору рассматриваемой точки. Поэтому, факторизуя (2.3) по Ann x0 , мы получаем (2.4).Рассмотрим класс редуктивных алгебр. Инвариантная метрикапозволяет отождествить присоединенное и коприсоединенное представления, а также аннуляторы и централизаторы элементов алгебры.Теоремa 3. Пусть g — компактная полупростая алгебра Ли ранга r, l — редуктивная подалгебра индекса r.

Предположим, чтоa, x0 — регулярные элементы g, принадлежащие также подалгебре l. Обозначим линейную оболочку дифференциалов функций сдвигов инвариантов на g, ограниченных на орбиту Og (x0 ), в точке x0как dFag |Og (x0 ) . Дифференциалы сдвигов инвариантов подалгебры lна тот же вектор a, ограниченных на меньшую орбиту Ol (x0 ),обозначим как dFal |Ol (x0 ) .

Характеристики

Список файлов диссертации