Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли (1102768)
Текст из файла
Московский Государственный Университет им. М. В. ЛомоносоваМеханико-математический факультетНа правах рукописиБраилов Юрий АндреевичУДК 513:944Геометрия особенностей интегрируемых системна алгебрах Ли01.01.04. – геометрия и топологияДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучные руководители — академик А. Т. Фоменко,д. ф.-м. н. А. В. БолсиновМОСКВА – 2003Оглавление0 Введение31 Cдвиги инвариантов на алгебре su(3)1.1 Уравнения движения . .
. . . . . . . . . .1.2 Регулярные уровни отображения момента1.3 Спектральная кривая . . . . . . . . . . .1.4 Точки типа “фокус-фокус” . . . . . . . . .....10101117182 Точки сильного вырождения сдвигов инвариантов2.1 Подалгебры, состоящие из критических точек . . . .2.2 Вершины и ребра бифуркационной диаграммы . . . .2121253 Классическое n-мерное твердое тело3.1 Точки максимального падения ранга отображения момента . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294 Спектральная кривая алгебры sl(n, C)33........................295 Регулярные точки отображения момента на компактных алгебрах Ли416 Компактные полупростые алгебры Ли и спектральные кривые45Библиография5120ВведениеНастоящая диссертация посвящена исследованию критических точек отображения момента многомерных интегрируемых гамильтоновых систем на полупростых алгебрах Ли. Основной идеей диссертации является использование богатой алгебраической структурытаких систем для определения их геометрических и топологическихсвойств.Семейство исследуемых в диссертации интегрируемых гамильтоновых систем построено в работе А.
С. Мищенко и А. Т. Фоменко [18]. Предложенный ими метод сдвига аргумента позволяет получить полный коммутативный набор полиномиальных интеграловдля уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли. Эти полиномиальные интегралы являются обобщениями интегралов, найденныхС. В. Манаковым [17] в задаче о движении n-мерного твердого тела,закрепленного в центре масс, и представляют собой одну из самыхбольших и интересных серий нетривиальных интегрируемых систем.Современный алгебро-геометрический подход в теории интегрируемых систем был заложен в работе С. П. Новикова [21], где конечнозонные решения уравнения Кортевега - де Фриза были полученыпутем их линеаризации на якобиане спектральной кривой уравнения Лакса. Как показывает развитие этого подхода, если для интегрируемых уравнений Гамильтона известно представление в формеЛакса со спектральным параметром, их решение обычно можно явно выписать в тэта-функциях.
Конечно, здесь надо отметить, чтонекоторые классические системы, такие, например, как волчок Ковалевской, были проинтегрированы гораздо раньше, чем для нихоткрыли соответствующие L–A пары [16].3Явные формулы в тета-функциях для решений интегрируемойсистемы мало говорят, однако, о ее глобальном поведении, особеннов тех случаях, когда рассматриваемая система вещественна. Поэтому нашей основной целью будет переход от интуитивного понимания свойств спектральной L–A пары и ее спектральной кривой кточным утверждениям о структуре вырождений рассматриваемогокоммутативного набора сдвигов инвариантов.Исторически большинство интегрируемых систем, для которых внастоящее время известна геометрия слоения Лиувилля, были исследованы методами гладкого анализа.
Так, бифуркационные диаграммы отображения момента для основных интегрируемых случаев в динамике твердого тела вычислены в работе М. П. Харламова,[30]. Дальнейшее исследование этих случаев можно найти в работах А. А. Ошемкова [26],[27], [32], А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко[7], О. Е. Орел [24] и целого ряда других авторов. Впоследствиинекоторые из этих результатов были повторно получены алгеброгеометрическими методами в работе М. Оден [23].
Таким образом,для ряда интегрируемых систем де-факто установлена связь междувырождениями спектральной кривой представления Лакса и поведением торов Лиувилля, однако отсутствие каких-либо общих результатов в этом направлении говорит о том, что данная областьтеории интегрируемых систем пока еще изучена недостаточно. Среди тех работ, в которых геометрия интегрируемой системы впервыеисследована именно алгебро-геометрическими методами, можно отметить лишь некоторые примеры [25],[33],[34].Перейдем к краткому изложению результатов диссертации. Первая глава посвящена исследованию модельного примера — гамильтоновой системы, образованной сдвигами инвариантов на алгебре Лиsu(3). Алгебра su(3) является минимальной среди тех полупростыхалгебр Ли, на которых сдвиги инвариантов дают пример нетривиальной интегрируемой системы.
Подробно исследуя структуру отображения момента в этой системе, мы получаем наглядный примердля иллюстрации основных результатов, относящихся к последующим главам диссертации. Бифуркационная диаграмма для алгебрыЛи su(3) полностью описана следующей теоремой:4Теорема 1.Бифуркационная диаграмма отображения момента состоит изшести вершин, каждая из которых соединена с тремя другимипрямолинейными ребрами, и четырех стенок, замыкание которыхсодержит восемь ребер из девяти. Общий вид диаграммы изображен на Рис. 1 и Рис. 2, а параметризации отдельных стратовсодержатся в доказательстве.Вторая глава диссертации посвящена теоремам, устанавливающим связь между сдвигами инвариантов алгебры Ли и сдвигамиинвариантов ее подалгебры.
Из этих теорем следует, что такие подалгебры, содержащие вектор сдвига, состоят целиком из критических точек отображения момента. В частности, для полупростыхалгебр Ли выполняетсяТеорема 3.Пусть g — компактная полупростая алгебра Ли ранга r, l – редуктивная подалгебра индекса r. Предположим, что a, x0 регулярные элементы g, принадлежащие также подалгебре l. Обозначимлинейную оболочку дифференциалов функций сдвигов инвариантовна g, ограниченных на орбиту Og (x0 ) в точке x0 как dFag |Og (x0 ) .Дифференциалы сдвигов инвариантов подалгебры l на тот же вектор a, ограниченных на меньшую орбиту Ol (x0 ), обозначим какdFal |Ol (x0 ) . Эти пространства совпадают:dFag |Og (x0 ) = dFal |Ol (x0 ) ,и, в частности, совпадают их размерности.Критические точки отображения момента любой интегрируемойсистемы образуют полиэдр, стратифицированный рангом дифференциала отображения момента.
Его образом при отображении момента F является бифуркационная диаграмма Σ. При этом точки ранга 0 соответствуют вершинам бифуркационной диаграммы,а точки ранга 1 соответствуют ее ребрам. Замечательным фактомявляется то, что, в случае сдвигов инвариантов на полупростых алгебрах Ли, страты ранга 0 и 1 удается полностью описать в терминах корневого разложения рассматриваемой алгебры g относительно картановской подалгебры ha , содержащей вектор сдвига a. Для5этого мы доказываем теорему 3 в обратную сторону — отдельно дляточек ранга 0 и для точек ранга 1.Теорема 4. Пусть ha ⊂ g – подалгебра Картана, содержащая вектор сдвига a.
Тогда точкам ранга 0 на регулярной орбите O являются точки ее пересечения с подалгеброй ha :rank dF(x0 ) = 0 ⇔ x0 ∈ O ∩ ha .Теорема 5. Точки ранга 1 являются пересечениями орбиты и подалгебр вида ha + Vα :rank dF(x0 ) ≤ 1 ⇔ ∃α ∈ ∆(ha ), x0 ∈ O ∩ (ha + Vα ).Третья глава диссертации содержит обобщение результата обописании точек ранга 0 на случай задачи о движении n-мерноготвердого тела, закрепленного в центре масс. Эта задача существенно отличается от обычных сдвигов инвариантов тем, что в качествесимплектического многообразия выступает орбита коприсоединенного представления в алгебре Ли so(n), а вектор сдвига лежит вобъемлющей алгебре gl(n).
Несмотря на это, также удается полностью описать точки ранга 0 и, в частности, получить тот же ответ,который был известен в случае четырехмерного волчка Эйлера [26].Теорема 6.x100... 0 −x1 0 . . . 00 .... . . . ..rk dF (x0 ) = 0 ⇐⇒ x0 ∼ ... 00 ... 000 . . . −xk000...xk00,где ∼ oбозначает равенство матриц с точностью до одновременной перестановки строк и столбцов. Если n четно, то k = n/2.Если n нечетно, то k = (n − 1)/2, а x0 содержит одну нулевуюстроку и один нулевой столбец.6В четвертой главе настоящей диссертации содержится ее центральный результат.
Для полупростой алгебры Ли sl(n, C) в стандартном матричном представлении определим спектральную кривую:Определение. Спектральной кривой элемента X ∈ g называетсяалгебраическая кривая ΓX , заданная в C2 с координатами (λ, µ)уравнениемdefΓX : RX (λ, µ) = det(X + λa − µE) = 0.Коммутативный набор сдвигов инвариантов состоит из коэффициентов многочлена RX , и, следовательно, определяется только вектором ξ = F (X) ∈ CN . Дискриминантом D назовем множество такихвекторов ξ ∈ CN , что соответствующая спектральная кривая имеетхотя бы одну особую точку P :∂R∂R(P ) =(P ) = 0.∂λ∂µБифуркационная диаграмма отображения момента определяетсякак множество его сингулярных значений:R(P ) =Σ = { ξ ∈ CN | ∃X ∈ g, rk dFa (X) < N, ξ = Fa (X) }Теорема 8.
Бифуркационная диаграмма Σ совпадает с дискриминантом D.Доказательство этой теоремы является по сути конструктивными основано на построении глобального обратного к отображениюмомента над дискриминантом D. При этом образ построенного обратного отображения S : D → g целиком состоит из критическихточек отображения момента F , что и приводит к требуемому утверждению.Анализируя полученный результат, можно сделать следующиевыводы: 1) доказательство основано на свойствах жордановой нормальной формы, что позволяет надеяться на его обобщение для произвольной комплексной полупростой алгебры Ли; 2) мотивация появления именно такой конструкции остается пока совершенно не яс7ной, возможно для нее существует другое, более естественное и инвариантное описание; 3) доказательство существенно опирается наалгебраическую замкнутость основного поля, что не позволяет непосредственно применить его при рассмотрении компактных алгебр,где аналогичное утверждение представляется весьма правдоподобным.
На данный момент сдвиги инвариантов на алгебре sl(n, C)представляют собой единственную серию интегрируемых систем,для которых вопрос о связи бифуркационной диаграммы и дискриминанта спектральной кривой полностью решен.Пятая глава диссертации содержит основные результаты работы, касающиеся топологической структуры слоения Лиувилля длясдвигов инвариантов на компактных алгебрах Ли. Наиболее неожиданным свойством таких систем оказалась связность множества регулярных значений отображения момента.Теорема 9. Для почти всех регулярных векторов сдвига a множество неособых точек отображения момента Fa связно.Далее мы подробно рассматриваем малую окрестность одной точки максимального вырождения и, пользуясь связностью множествакритических значений, доказываем следующий факт:Теорема 10. Любая неособая совместная поверхность уровня состоит ровно из одного тора.Таким образом, показано, что сдвиги инвариантов на компактных алгебрах Ли существенно отличаются от большинства известных интегрируемых систем, имеющих “седловые” критические значения, разбивающие множество регулярных значений на несвязныеобласти.Среди нетривиальных интегрируемых систем, обладающих связным множеством регулярных значений, можно отметить, пожалуй,только классический случай Лагранжа в динамике твердого тела(при определенных значениях параметров).
Единственной изолированной критической точкой этой системы с двумя степенями свободы является так называемая, точка типа “фокус-фокус”. Это единственная устойчивая невырожденная особенность интегрируемыхсистем, не сводящаяся к произведению одномерных особенностей.Ее подробное описание можно найти в [7].8Однопараметрическое семейство таких особенностей можно обнаружить уже на алгебре Ли su(3). Соответствующим вычислениямпосвящена четвертая часть первой главы, где предъявляется невырожденная особая точка такого типа.Основываясь на результатах пятой главы, можно выдвинуть гипотезу о том, что все невырожденные особенности компактных сдвигов инвариантов локально сводятся к минимаксным особенностям,точкам типа “фокус-фокус” и к их прямым произведениям.Заметим, что сдвиги инвариантов определяются в терминах алгебры Ли, в то время как для определения спектральной кривой требуется выбрать некоторое конкретное представление этой алгебры.Последняя глава диссертации рассматривает сдвиги инвариантов наосновных сериях компактных полупростых алгебр Ли, а также наих прямых суммах.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
