Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли (1102768), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. , Ir , взявнетривиальные коэффициенты характеристического многочленаL(µ) = in det(x − iµE),x∈g(6.1)с той оговоркой, что для алгебры so(2r) в качестве последнего инварианта нужно взять вместо определителя матрицы ее пфаффиан.Пусть a — вектор сдвига, который мы, как и раньше, выберем вдиагональной подалгебре.Определение 2. Спектральной кривой элемента x ∈ g называется алгебраическая кривая Γx , заданная в C2 с координатами (λ, µ)уравнениемdefRx (λ, µ) = in det(x + λa − iµE) = 0.(6.2)В том случае, если g = so(2r +1), спектральная кривая всегда приводима и имеет тривиальную компоненту {µ = 0}. Поэтому мымодифицируем определение для данного случая, поделив многочленR на µ.Теперь нужно сделать еще одну процедуру — для алгебры so(2n)многочлен R содержит µ только в четных степенях.
Заменим вэтом случае µ2 на µ.45Указанный вид многочленов (6.1) и (6.2) обеспечивает то, чтоих коэффициенты являются вещественными многочленами от вещественных и мнимых частей матричных элементов. Базисныефункции кольца сдвигов инвариантов — это сами инвариантыI1 (x), . . . , Ir (x) и полиномиальные функции f1 (x), . . . , fN (x).Пример 2. Алгебра so(5) :R(λ, µ) = (µ4 + c1 µ2 λ2 + c2 λ4 ) + I1 + I2 µ2 + f1 λ + f2 λ2 + f3 λ3 + f4 µ2 λ.Пример 3. Алгебра so(8) :R(λ, µ) = (µ8 + c2 µ6 λ2 + c3 µ4 λ4 + c4 µ2 λ6 ) + I2 µ6 + I3 µ4 + I4 µ2 +µ6 λf1 + µ4 λf2 + µ4 λ2 f3 + µ4 λ3 f4 + µ2 λf5 + µ2 λ2 f6 + µ2 λ3 f7 ++µ2 λ4 f8 + µ2 λ5 f9 + (I1 + f10 λ + f11 λ2 + f12 λ3 + c1 λ4 )2 .Определим отображение момента и его бифуркационную диаграммупо обычным формулам:F : g → Rr+N , x 7→ (I1 (x), .
. . , Ir (x), f1 (x), . . . , fN (x)).Σ = { ξ ∈ Rr+N | ∃x ∈ g, rk dF (x) < r + N, ξ = F (x) }Заметим теперь, что спектральная кривая Γx полностью определяется вектором ξ(x) и, следовательно, ее можно доопределить длялюбого вектора из линейного пространства Rr+N . Обозначим такуюкривую как Γξ .Лемма 9. Рассмотрим сингулярный элемент x классической комплексной простой алгебры Ли g. Тогда в пространстве минимального представления ρ : g → sl(n, C) существуют неколлинеарныесобственные векторы v, w:ρ(x)v = µ0 v,ρ(x)w = µ0 w.Доказательство.
Элемент x называется сингулярным, если размерность его централизатора больше ранга алгебры. Для алгебры sl(n, C) утверждение леммы доказывается приведением матрицыρ(x) к жордановой нормальной форме, строение централизатора которой хорошо известно (см. [13]). Размерность централизатора больше n только в том случае, когда для некоторого µ0 существует неменее двух жордановых клеток с таким собственным значением.46В случае алгебр so(n, C) и sp(n, C) нужно сделать то же самое— привести матрицу ρ(x) к жордановой нормальной форме ортогональным [13] или симлектическим преобразованием. Предположивпротивное, т.е. что каждому собственному значению соответствуетодна жорданова клетка, вычислим централизатор Z(x) как пересечение централизатора ρ(x) в sl(n, C) с алгеброй g, и убедимся, чтоего размерность равна рангу g.Обозначим ρ(x) за X.
Для алгебр so(n, C) и sp(n, C) жорданова форма любого элемента симметрична в том смысле, что каждойклетке с ненулевым собственным значением µ соответствует такаяже клетка с собственным значением −µ. Это следует из того, чтоматрицы X и −X имеют одинаковые наборы инвариантных множителей (см. [13]).
Следовательно, в обоих случаях достаточно вычислить централизатор пары соответствующих клеток с собственнымизначениями µ и −µ, а также централизатор клетки с нулевым собственным значением. Пусть жорданова форма X состоит из клетокY1 , Y2 , . . . , Ys с собственными значениями µ1 , µ2 , . . . , µs . Тогда цетрализатор X в sl(n, C) имеет блочный вид Z(Y1 ) ⊕ Z(Y2 ) ⊕ . . . ⊕ Z(Ys ).Жорданову клетку размера k × k с собственным значением µобозначим как J(µ). Вычислим Z(y) = Z(Yµ ) ⊕ Z(Y−µ ) ∩ g.0J(µ)A BY =, Z(Y ) =,0 −J(µ)>C Dгде B = C = 0, [A, J(µ)] = 0, [C, −J(µ)] = 0.
В случае g = so(n, C),Z(Y ) надо пересечь с множеством {A = −D> , B = −B > , C =−C > }, а в случае g = sp(n, C) с множеством {A = −D> , B =B > , C = C > }. В обоих случаях получаем dim Z(y) = k.Рассмотрим теперь нулевую клетку в so(n, C). При четном n этаклетка не может быть единственной, так как ранг матрицы X всегда четный. Если n нечетно, то может существовать единственная0-клетка Y размера (2k + 1) × (2k + 1).
В соответствующей блочнойподалгебре so(2k + 1, C) она является главным нильпотентным элементом, и, следовательно, размерность Z(y) = Z(Y ) ∩ so(2k + 1, C)равна k (см. [14]). Аналогично доказывается, что централизатор 0клетки размера 2k × 2k в sp(2k, C) имеет размерность k.Суммируя размерности централизаторов отдельных клеток, вычисленные выше, мы получаем, что dim Z(x) = rk g, т. е. элемент x47сингулярен.
Полученное противоречие доказывает лемму.Для изучения дискримината D мы рассмотрим его комплексификацию DC и построим ее параметризацию. Идея построения параметризации заключается в том, чтобы, зафиксировав вектор a,все координаты I, кроме двух (I1 , I0 ), и все координаты ξ, кромеодной (h), выразить значения (I1 , I0 , h) через координаты особойточки (λ0 , µ0 ).
Вектор зафиксированных координат обозначим как−1.ν ∈ CIr−2 ⊕ CNfПусть g = su(n). В качестве I0 возьмем свободный член R, а в качестве I1 и h — коэффициенты при µ и λ. Получаем, что многочленR имеет вид:R = P (λ, µ) + hλ + I1 µ + I0 ,(6.3)где P — фиксированный многочлен, определяемый вектором его коэффициентов ν. Особая точка P определена уравнениями:R(P ) =∂R∂R(P ) =(P ) = 0.∂λ∂µРешая эти уравнения, находим искомую параметризацию: h = −Pλ (λ0 , µ0 ),I = −Pµ (λ0 , µ0 ), 1I0 = λ0 Pλ (λ0 , µ0 ) + µ0 Pµ (λ0 , µ0 ) − P (λ0 , µ0 ),(6.4)(6.5)где Pλ — частная производная P по λ, а Pµ — частная производнаяP по µ.Для простых алгебр g = so(2r + 1) и sp(r) в качестве I0 опятьвозьмем свободный член R, а в качестве I1 и h - коэффициенты приµ2 и λ. Получаем, что многочлен R имеет видR = P (λ, µ) + hλ + I1 µ2 + I0 ,(6.6)где P — фиксированный многочлен, определяемый вектором его коэффициентов ν.
Заметим, что многочлены R и P содержат переменную µ только в четных степенях.Решая уравнения (6.4), находим искомую параметризацию: h = −Pλ (λ0 , µ0 ),I1 = − 2µ1 0 Pµ (λ0 , µ0 ),(6.7)1I0 = λ0 Pλ (λ0 , µ0 ) + 2 µ0 Pµ (λ0 , µ0 ) − P (λ0 , µ0 ),48если µ0 6= 0. При µ = 0 получается еще одно решение: для ∀γ ∈ Ch = −Pλ ,I0 = −P + λ0 Pλ ,I1 = γ.(6.8)Рассмотрим последний случай: g = so(2r). Многочлен R теперьимеет видR = P (λ, µ) + I1 µ + (Q(λ) + hλ + I0 )2 ,(6.9)где P (λ, µ) и Q(λ) — многочлены с фиксированными коэффициентами. Решая систему (6.4), получаемh = ∓ √ Pλ− Qλ ,2 µ0 Pµ −PI1 = −Pµ ,(6.10)λ0 Pλ +2µ0 Pµ −2P I0 = ± √− Q + λ0 Qλ ,2µ0 Pµ −Pпри µ0 Pµ − P 6= 0. Остальные решения системы (6.4) существуютпри условии µ0 Pµ − P = 0, Pλ = 0 и даются формулами:h = −Qλ ,I0 = −Q + λ0 Qλ ,I1 = −Pµ .(6.11)Тривиальная проверка показывает, что параметризации (6.5),(6.7) (6.8) и (6.10) почти всегда задают двумерную поверхность.
Дляэтого достаточно рассмотреть P = µk +λ2 в первом случае, положивk = 2r для so(2r + 1) и sp(r), а также k = r + 1 для su(r + 1). Вовтором случае положим P = µr , Q = λ2 .Таким образом мы убеждаемся в том, что для почти всех векторов сдвига a, комплексная коразмерность множества DC равна 1.Следовательно, codim D ≥ 1, а равенство проверяется теми же самыми примерами в силу того, что все использованные в них функции были вещественными.Рассмотрим подмножество дискриминанта, состоящее из кривыхс несколькими особыми точками:D2 = { ξ ∈ Rr+N | ∃P, Q ∈ Γξ , P, Q ∈ Sing(Γξ ), P 6= Q }.Лемма 10. Для почти всех векторов сдвига a codim D2 ≥ 2.Доказательство.
Также, как и в предыдущей лемме, рассмотримкомплексификацию (D2 )C ⊂ DC . Для проверки нашего утвержде−1разния достаточно показать, что для почти всех ν ∈ Cr−2⊕ CNIf2мерность множества точек самопересечения S(Mν ) двумерной поверхности Mν2 , задаваемой парамеризациями (6.5, 6.7, 6.8, 6.7), равна0 или 1.49Рассмотрим те же самые многочлены P = µk + λ2 для (6.5, 6.7)и P = µr , Q = λ2 для (6.10). Для поверхности (6.8) утверждениеочевидно. Пусть, например, g = su(r + 1), k = r + 1 и пары (λ0 , µ0 )и (λ1 , µ1 ) задают одну и ту же точку Mν2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
