Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли (1102768), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

на вершинах бифуркационнойдиаграммы, имеет естественный стабилизатор — группу Вейля полупростой части алгебры l. Следовательно, если в качествеинтегралов задачи о движении n-мерного твердого тела выбранысдвиги образующих кольца инвариантов I(g), то бифуркационнаядиаграмма будет иметь 2n!k вершин кратности 2[(n−1)/2] .32Глава 4Спектральная криваяалгебры sl(n, C)Рассмотрим простую алгебру Ли g = sl(n, C) в стандартном матричном представлении. Отождествим двойственное пространство g∗с самой алгеброй g при помощи метрики Киллинга h , i. При этоммы получаем на алгебре g стандартную пуассонову структуру:{f, g}(X) = hX, [df (X), dg(X)]i,X ∈ g,f, g ∈ C ∞ (g).(4.1)Заметим, что эта пуассонова структура имеет центр, состоящийиз инвариантов присоединенного представления соответствующейгруппы Ли, причем совместные поверхности уровня этих инвариантов являются многообразиями, на которых данная пуассоноваструктура невырождена.В кольце инвариантов присоединенного представления I(g) можно выбрать систему порождающих элементов I1 , I2 , .

. . , In−1 , взявнетривиальные коэффициенты характеристического многочленаматрицы X:L(µ) = det(X − µE),X ∈ g,(4.2)где E — единичная матрица.Выберем некоторый фиксированный регулярный полупростойэлемент a ∈ g, который мы будем далее считать диагональным:a = diag(a1 , a2 , . . .

, an ).Рассмотрим кольцо Ba , порожденное всеми функциями видаf (X) = I(X + λa),X ∈ g,33λ ∈ C,f ∈ I(g).(4.3)Это кольцо Ba замечательно тем, что по теореме Мищенко и Фоменко [20] оно является коммутативным относительно рассматриваемой скобки Пуассона. Кроме того, для регулярных элементов a вкольце Ba содержится максимально возможное количество попарнокоммутируюцих и функционально независимых функций.

Это число N = 12 (dim g + ind g) = 12 n(n + 1).Определение 1. Спектральной кривой элемента X ∈ g называется алгебраическая кривая ΓX , заданная в C2 с координатами (λ, µ)уравнениемdefΓX : RX (λ, µ) = det(X + λa − µE) = 0.(4.4)Коэффициентами старшей части многочлена RX являются постоянные величины c1 = I1 (a), . . . , cn−1 = In−1 (a). Остальныекоэффициенты многочлена RX — это полиномиальные функцииf1 (X), . . . , fN (X), образующие в совокупности функциональный базис Φa — базис коммутативного набора, среди которых первые n − 1функции являются инвариами орбитыI1 (X) = f1 (X), . . . , In−1 (X) = fn−1 (X).Пример 1. Алгебра sl(3, C) :R(λ, µ) = (µ3 + c1 µλ2 + c2 λ3 ) + I1 + I2 µ + f3 λµ + f4 λ + f5 λ2 .Для анализа коммутативного набора сдвигов инвариантов мы исследуем вырождения отображения моментаF a : g → CN ,X 7→ (f1 (X), . . .

, fN (X)).(4.5)Для этого определим его бифуркационную диаграмму:Σ = { ξ ∈ CN | ∃X ∈ g, rk dFa (X) < N, ξ = Fa (X) }(4.6)Заметим теперь, что спектральная кривая ΓX полностью определяется вектором ξ и, следовательно, ее можно доопределить для любого элемента линейного пространства CN . Обозначим такую кривуюкак Γξ .Будем говорить, что кривая Γξ : R(λ, µ) = 0 имеет особую точкуP = (λ0 , µ0 ) ∈ C2 , еслиR(P ) =∂R∂R(P ) =(P ) = 0.∂λ∂µ34(4.7)Назовем следующее множество дискриминантом:D = { ξ ∈ CN | ∃P ∈ Sing(Γξ ) }.(4.8)Приведенная ниже лемма составляет первую часть теоремы осовпадении дискриминанта и бифуркационной диаграммы отображения момента.Лемма 4.

Пусть X, a ∈ sl(n, C), и существуют неколлинеарныесобственные векторы v, w матрицы X с собственным значениемµ0 . Тогда спектральный многочлен R(λ, µ) = det(X + λa − µE)вырождается в точке P = (0, µ0 ).Доказательство. Так как спектральный многочлен инвариантенотносительно замены базиса в пространстве Cn , то мы можем считать, что векторы v и w входят в этот базис как первые векторы.Тогда матрица X −µ0 E имеет два первых нулевых столбца, а матрица X −µ0 a+λa−(µ−µ0 )E в этих же столбцах имеет элементы видаcλ+d(µ−µ0 ).

Разлагая определитель по двум первым столбцам, получаем, что каждое слагаемое начинается с некоторой квадратичнойфункции (c1 λ+d1 (µ−µ0 ))(c2 λ+d2 (µ−µ0 )) и удовлетворяет условию(4.7) как многочлен от λ и µ. Следовательно, весь определитель, являясь суммой таких слагаемых, также удовлетворяет условию (4.7).Будем говорить, что коммутативный набор функций являетсяполным в некоторой точке алгебры Ли g, если ранг соответствующего отображения момента максимален и равен N = 12 (dim g + rk g).Коммутативный набор Ba , рассматриваемый в этой работе, происходит из пары согласованных скобок Пуассона – скобки (4.1) из скобкиЛи-Пуассона на g∗ и постоянной скобки{f, g}a (X) = ha, [df (X), dg(X)]i,X ∈ g,f, g ∈ C ∞ (g).(4.9)Для согласованных скобок Пуассона имеется общий критерий полноты коммутативного набора, полученный Болсиновым [5].

В нашемслучае этот критерий имеет вид:Теоремa 7. Пусть g — комплексная полупростая алгебра Ли.Коммутативный набор Ba является полным в точке X тогдаи только тогда, когда a и X не пропорциональны, и плоскость35{ λa + δX | λ, δ ∈ C } не содержит ненулевых сингулярных элементов алгебры g.Теоремa 8. Бифуркационная диаграмма Σ совпадает с дискриминантом D.Доказательство. Докажем, что Σ ∈ D, т.е.

проверим следующийфакт: если отображение момента вырождено в точке X ∈ g, то спектральная кривая ΓX имеет особую точку. Действительно, по теореме 7 существует такое λ0 , что x + λ0 a — сингулярный элемент алгебры g. В силу леммы 4 cуществует такое значение µ0 , что многочленP (λ, µ) = det(X + λa − µE) имеет особую точку (λ0 , µ0 ).Обратное утверждение является менее очевидным, и его доказательство состоит в построении отображения S : Σ → g такого, чтоFa ◦ S = Id|Σ , и обладающего следующим свойством:ξ ∈ D ⇒ corank dF |S(ξ) ≥ 1.Рассмотрим произвольную точку дискриминанта ξ ∈ D. Пусть(λ0 , µ0 ) – особая точка кривой Γξ . Предположим, что мы нашли такие b и Y , что I1 (Y ) = ξ1 , .

. . , In−1 (Y ) = ξn−1 , элемент b сопряженэлементу a в SL(n, C) : b = P aP −1 , и det(Y + λb − µE) = Rξ , причемесли (λ0 , µ0 ) — особая точка кривой Γξ , то Y0 = Y + λ0 b ∈ Sing(g).Тогда P −1 Y P + λ0 a ∈ Sing(g), и S(ξ) = P −1 Y P является искомымрешением. Заметим, что если такие элементы b и Y0 найдены, то ониудовлеворяют условиюdet(Y0 + λb − µE) = det(Y + (λ0 + λ)b − µE) =def= Rξ (λ0 + λ, µ) = φλ0 Rξ (λ, µ).(4.10)Преобразование сдвига φλ0 линейно, обратимо и сохраняет старшуючасть многочлена Rξ .

Если ξij – коэффициент при мономе λi µj , а ξij∗– соответствующий базисный вектор в CN , тоφλ0 ξij∗=iX∗Cik λ0 i−k ξkj.(4.11)k=0Применив преобразование φλ0 , мы получаем, что отображение S(ξ)достаточно построить только для таких ξ, что кривая Γξ имеет особую точку (0, µ0 ).36Будем искать элементыa1 00 ··· 0 a0 ···2a ab =  31 32 a3 · · · ......

. . . ...an1 an2 an3 · · ·b и Y0 в следующем виде:µ0 0 10 0 µ0 10 0  , Y0 =  0 0 x3 . . ...  .. .. ... an0 0 0··· 0··· 0... 0... 1· · · xn.Диагональная часть матрицы b должна совпадать с векторомсдвига a с точностью до перестановки ее элементов. Это обеспечивает требуемый вид старшей части многочлена Rξ . Так как элементa регулярен, то из этого следует также, что b и a сопряжены. Диагональные элементы Y0 являются корнями уравнения(φλ0 Rξ )(0, µ) = Rξ (λ0 , µ) = 0,(4.12)и среди них по предположению есть кратное значение µ0 . Теперьнам остается определить значения внедиагональных элементов aijматрицы b.Обозначим стандартный базис из матричныx единиц в gl(n, C)как {eij }. Пространство V , в котором мы ищем матрицу b, обладаетследующей фильтрацией:V = V0 ⊕ V1 ⊕ .

. . ⊕ Vn−2 ,(4.13)где V0 является диагональной подалгеброй, а Vi определено как линейная оболочка Vi = he2+i,1 , e2+i,2 , e3+i,3 , . . . , en,n−i i. Cоответствующее разложение b обозначимb = A0 + A1 + . . . + An−2 .Лемма 5. Пусть i + j = k, i ≥ 1, k ≥ 1, тогда коэффициент fijпри мономе λi µj многочлена det(Y0 + λb − µE) имеет вид:fij (b) = Λij (An−k ) + Fij (An−k−1 , An−k−2 , .

. . , A1 ),(4.14)где Λij (An−k ) — линейные функции.Доказательство. Пусть ψpq – базис коалгебры gl(n, C)∗ , двойственный базису матричных единиц. Назовем высотой базисной функцииψpq числоht(ψpq ) = q − p.(4.15)37Соответственно, высотой монома от переменных ψpq назовем сумму высот его сомножителей. Коэффициенты характеристическогомногочлена матрицы являются суммами ее главных миноров, т.е.одночленов высоты 0. Заметим, что матрица Y0 + λb содержит только один (ненулевой) элемент высоты 2 и n − 2 элемента высоты 1;остальные ее элементы имеют неположительную высоту.

Следовательно, разлагая главный минор порядка k, не содержащий первогостолбца и первой строки матрицы, мы получаем единственный моном высоты (−k):±apq · 1 · . . . · 1,q − p = −k.(4.16)Рассмотрим теперь главный минор, содержащий первый столбецматрицы Y0 + λb. В разложении этого минора есть единственноеслагаемое, в которое входит ψk+1,1 , так как ht(ψk+1,1 ) = −k. Другихмономов, содержащих элементы A∗n−k , в рассматриваемом миноренет. Докажем это.Если в рассматриваемый моном входит ψ1,1 (Y0 + λb), то мы возвращаемся к предыдущему случаю. В противном случае, мы имеемв некотором мономе, кроме элемента A∗n−k высоты −k + 1, еще одинэлемент высоты −2 или меньше, так как (Y0 +λb)11 уже рассмотрено,а (Y0 + λb)21 = 0 по построению.Для завершения доказательства леммы достаточно заметить, чтофункция fij является линейной комбинацией главных миноров матрицы Y0 − λb, каждый из которых линейно зависит от An−k .Лемма 6.

Характеристики

Список файлов диссертации